高考数学2轮复习压轴提升练3文80

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压轴提升卷(三)
解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤
1．(此题总分值12分)平面上动点P 到点F ( 3 ,0)的距离与直线x ＝433的距离之比为32
,记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；
(2)设M (m ,n )是曲线E 上的动点 ,直线l 的方程为mx ＋ny ＝1.
①设直线l 与圆x 2＋y 2＝1交于不同两点C ,D ,求|CD |的取值范围；
②求与动直线l 恒相切的定椭圆E ′的方程；并探究：假设M (m ,n )是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点 ,是否存在与直线l ：mx ＋ny ＝1恒相切的定曲线Γ′ ?假设存在 ,直接写出曲线Γ′的方程；假设不存在 ,说明理由．
解：(1)设P (x ,y ) ,由题意 ,得 (x － 3 )2＋y 2⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －433＝32 , 整理 ,得x 24
＋y 2＝1 , 所以曲线E 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)①圆心(0 ,0)到直线l 的距离d ＝
1m 2＋n 2 ,
∵直线与圆有两个不同交点C ,D ,
∴|CD |2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1m 2＋n 2 ,又m 24＋n 2＝1(n ≠0) , 故|CD |2＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－43m 2＋4 , 由0＜d ＜1 ,得m ＞0 ,又|m |≤2 ,∴0＜m ≤2.
∴0＜1－43m 2＋4≤34
, 因为|CD |2∈(0 ,3] ,|CD |∈(0 , 3 ] ,
即|CD |的取值范围为(0 , 3 ]．
②当m ＝0 ,n ＝1时 ,直线l 的方程为y ＝1；当m ＝2 ,n ＝0时 ,直线l 的方程为x ＝12
,根据椭圆对称性 ,猜测E ′的方程为4x 2＋y 2＝1.
下证：直线mx ＋ny ＝1(n ≠0)与4x 2＋y 2＝1相切 ,其中m 24
＋n 2
＝1 , 即m 2＋4n 2＝4 ,
由⎩
⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1y ＝1－mx n 消去y 得：(m 2＋4n 2)x 2－2mx ＋1－n 2＝0 , 即4x 2－2mx ＋1－n 2＝0 ,
∴Δ＝4m 2－16(1－n 2)＝4(m 2＋4n 2－4)＝0恒成立 ,
从而直线mx ＋ny ＝1与椭圆E ′：4x 2＋y 2＝1恒相切．
假设点M (m ,n )是曲线Γ：Ax 2＋By 2＝1(A ·B ≠0)上的动点 ,那么直线l ：mx ＋ny ＝1与定曲线Γ′：x 2A ＋y 2B
＝1(A ·B ≠0)恒相切． 2．(2021·山东潍坊市二摸)函数f (x )＝(x －a )e x －12
ax 2＋a (a －1)x .(x ∈R ) (1)假设曲线y ＝f (x )在点(0 ,f (0))处的切线为l ,l 与x 轴的交点坐标为(2 ,0) ,求a 的值；
(2)讨论f (x )的单调性．
解：(1)f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x －ax ＋a (a －1) ,
∴f ′(0)＝(a －1)2 ,又f (0)＝－a ,
∴切线方程为：y ＋a ＝(a －1)2(x －0) ,
令y ＝0得x ＝a
(a －1 )2＝2 , ∴2a 2－5a ＋2＝0 ,
∴a ＝2或a ＝12
. (2)f ′(x )＝(x －a )e x ＋e x －ax ＋a (a －1)＝[x －(a －1)](e x －a ) ,
当a ≤0时 ,e x －a ≥0 , x ∈(－∞ ,a －1) ,f ′(0)＜0 ,f (x )为减函数 ,
x ∈(a －1 ,＋∞) ,f ′(x )＞0 ,f (x )为增函数；
当a ＞0时 ,令f ′(x )＝0 ,得x 1＝a －1 ,x 2＝ln a ,
令g (a )＝a －1－ln a ,
那么g ′(a )＝1－1a ＝a －1a
, 当a ∈(0 ,1)时 ,g ′(a )＜0 ,g (a )为减函数 ,
当a ∈(1 ,＋∞)时 ,g ′(a )＞0 ,g (a )为增函数 ,
∴g (a )min ＝g (1)＝0 ,
∴a －1≥ln a (当且仅当a ＝1时取 "＝〞) ,
∴当0＜a ＜1或a ＞1时 ,
x ∈(－∞ ,ln a ) ,f ′(x )＞0 ,f (x )为增函数 ,
x ∈(ln a ,a －1) ,f ′(x )＜0 ,f (x )为减函数 ,
x ∈(a －1 ,＋∞) ,f ′(x )＞0 ,f (x )为减函数 ,
a ＝1时 ,f ′(x )＝x (e x －1)≥0 ,f (x )在(－∞ ,＋∞)上为增函数．
综上所述：a ≤0时 ,f (x )在(－∞ ,a －1)上为减函数 ,在(a －1 ,＋∞)上为增函数 ,0＜a ＜1或a ＞1时 ,f (x )在(ln a ,a －1)上为减函数 ,在(－∞ ,ln a )和(a －1 ,＋∞)上为增函数；a ＝1时 ,f (x )在(－∞ ,＋∞)上为增函数．。