2018年浙江省杭州市中考数学试卷(含答案与解析)

__ 第Ⅰ卷(选择题 共 30 分) __
__ _ 1. - 3 = -------------------- ( ) 考 __
A .3
B . - 3
C . 1
__
_ ___ __ _ 上 __ _ __ A .1.8 6 B .1.8 ⨯ 10 6 C .18 ⨯ 10 5 D .18 ⨯ 10 6 _ __ _ _ 3.下列计算正确的是( ) _ _ _名 __ A . 2 2 = 2 B . 22 = ±2 C . 4 2 = 2 D . 4 2 = ±2 姓
___ __
__
_ __ 题 A .（θ + θ ）- (θ + θ ) = 30︒
B .（θ + θ ）- θ
+ θ 此
_ 5.若线 _ A . x -
. - . + 6
B . 1
----------------1
3
C .
-------------绝密★启用前
在
--------------------
浙江省杭州市 2018 年初中毕业学业考试
数
学
本试卷满分 120 分,考试时间 100 分钟.
__ --------------------
__ __ 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)
_ 卷
号
生 _ 1 __ 3 D . - 3
2.数据 1 800 000 用科学计数法表示为( ) --------------------
_ _ _ 答 --------------------
4.测试五位学生“一分钟跳绳”成绩,得到五个各不相同的数据.统计时,出现了一处错误：将最高成绩写得更高
了.计算结果不受影响的是( )
__ A .方差 B .标准差 C .中位数 D .平均数
__
_ -------------------- 段 AM ,AN 分别是 △ABC 边上的高线和中线,则( ) __ A . AM > AN B . AM ≥ AN C . AM < AN D . AM ≤ AN __ 校 6.某次知识竞赛共有 20 道题.规定：每答对一题得 +5 分,每答错一题得 -2 分,不答的题得 0 分.已知圆圆这次竞 学 业 赛得了 60 分,设圆圆答对了 x 道题,答错了 y 道题,则( )
毕
无 -------------------- y = 20 B . x + y = 20 C . 5 x - 2 y = 60 D . 5 x + 2 y = 60
7.一个两位数,它的十位数字是 3,个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别有数字 1～6)朝上一面的数
字.任意抛掷这枚骰子一次,得到的两位数是 3 的倍数的概率等于(
)
( ) = 40︒ 1 4 2 3 2 4 1 3
C （θ + θ ）(θ + θ ) = 70︒
D （θ + θ ） (θ + θ ) = 180︒
1 2 3 4 1 2 3 4
9. 四位同学在研究函数 y = x 2 + b x + c(b , c 是常数）时 , 甲发现当 x = 1 时 , 函数有最小值；乙
发现 -1 是方程
x 2 + bx + c =0 的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现当 x = 2 时, y = 4 .已知这四位同学中只有一位发现
的结论是错误的,则该同学是( )
A .甲
B .乙
C .丙
D .丁 10.如图,在 △ABC 中,点 D 在 AB 边上, D
E / / B C ,与边 AC 交于点 E ,连结 BE ,
记 △ADE,△BCE 的面积分别为
S , S ,( )
1 2
A .若 2 AD > A
B ,则 3S > 2S B .若 2 AD > AB ,则 3S < 2S
1 2 1 2
C .若 2 A
D < AB ,则 3S > 2S D .若 2 A D < AB ,则 3S < 2S
1 2 1 2
第Ⅱ卷(选择题 共 90 分)
二、填空题(本大题共有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分.请把答案填在题中的横线上) 11.计算： a - 3a =
12.如图,直线 a // b ,直线 c 与直线 a, b 分别交于 A,B,若 ∠1 = 45︒ ,则 ∠2 = .
13.因式分解： (a - b )2 - (b - a ) =
14.如图,AB 是 O 的直径,点 C 是半径 OA 的中点,过点 C 作 DE ⊥ AB ,交 O 于点 D 、E 两点,过点 D 作直径
DF ,连结 AF ,则 ∠DFA =
效
A .
1 2 D .
2
3
8.如图 ,已知点 P 是矩形 ABCD 内一点 (不含边界 ),设 ∠P AD = θ , ∠PBA = θ , ∠PCB = θ , ∠PDC = θ ,若
1
2 3 4
∠APB = 80︒, ∠CPD = 50︒ ,则(
)
数学试卷 第 1 页（共 4 页）
15.某日上午,甲、乙两车先后从 A 地出发沿一条公路匀速前往 B 地.甲车 8 点出发,如图是其行驶路程 s (千米)
随行驶时间 t (小时)变化的图象.乙车 9 点出发,若要在 10 点至 11 点之间(含 10 点和 11 点)追上甲车,则乙车的速
度 v (单位：千米/小时)的范围是 .
数学试卷第2页（共4页）
()
,y)在该一次函数图象上,设m=(x-x)·(y-y),判断反比例函数y=m+1②若线段AD=EC,求
a
BC=k.
20.(本题满分10分)
设一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象过A
(1,3),B(-1,-1)两点.
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若点2a+2,a2在该一次函数图象上,求a的值；
16.折叠矩形纸片ABCD时,发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折,点A落在DC边上的点F处,折痕为DE,点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折,点C落在直线AE上的点H处,折痕为DG,点G在BC 边上,若AB=AD+2,EH=1,则AD=(3)已知点C(x,y),D(x
11
所在的象限,说明理由.
221212x
的图象
三、解答题(本大题共7个小题,共66分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分6分)
已知一艘轮船上装有100吨货物,轮船到达目的地后开始卸货,设平均卸货速度为v(单位：吨/小时),卸完这批货物所需的时间为t(单位：小时).
(1)求v关于t的函数表达式
(2)若要求不超过5小时卸完船上的这批货物,那么平均每小时至少要卸货多少吨？
18.(本小题满分8分)
某校积极参与垃圾分类活动,以班级为单位收集可回收的垃圾.下面是七年级各班一周收集的可回收垃圾的质量频数和频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值).
(1)求a的值.
(2)已知收集的可回收垃圾以0.8元/k g被回收,该年级这周收集的可回收垃圾被回收后所得的金额能否达到50元？
19.(本题满分8分)
如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线DE⊥AB于点E 21.(本题满分10分)
如图,在△ABC中,∠ACB=90︒,以点B为圆心,BC的长为半径画弧,交线段AB于点D,以点A为圆心,AD长为半
径画弧,交线段AC于点E,连结CD.
(1)若∠A=28︒,求∠ACD的度数；
(2)设BC=a,AC=b
①线段AD的长度是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？说明理由.
b的值.
22.(本小题满分12分)
设二次函数y=ax2+bx-(a+b)(a,b是常数,a≠0)
(1)判断该二次函数图象与x轴交点的个数,说明理由；
(2)若该二次函数的图象经过A(-1,4),B(0,-1),C(1,1)三个点中的其中两个点,求该二次函数的表达式；
(3)若a+b<0,点P(2,m)(m>0)在该二次函数图象上,求证：a>0.
23.(本小题满分12分)
如图,在正方形ABCD中,点G在边BC上(不与点B、C重合),连接AG,作DE⊥AG,于点
E,BF⊥AG于点F,设BG
(1)求证：AE=BF；
(2)连接BE、DF,设∠EDF=α,∠EBF=β,求证：tanα=k tanβ；
(3)设线段AG与对角线BD交于点H,△AHD和四边形CDHG的面积分别为
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.S和S,求
12
S
S2的最大值.
1
数学试卷第3页（共4页）数学试卷第4页（共4页）
, + =
浙江省杭州市 2018 年初中毕业学业考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解： - 3 = 3
【考点】绝对值及有理数的绝对值
2．【答案】B
【解析】根据科学计数法的表示形式为：a ×10n ,其中1＜ a ＜10 .表示绝对值较大的数解：1800000 = 1.8 ⨯106
【考点】科学记数法
3．【答案】A
【解析】解： Q 22 = 2 ,因此 A 符合题意；B 不符合题意； Q 42 = 4 ,因此 C 、D 不符合题意；故选 A.
【考点】二次根式的性质与化简
4．【答案】C
【解析】解：Q 中位数是将数据按照大小顺序重新排列,代表了这组数据值大小的“中点”不受极端值影响, 所以将最高成绩写得更高了∴计算结果不会受影响的是中位数,故选 C. 【考点】方差、标准差、中位数、平均数 5．【答案】D
【解析】解：Q 线段 AM,AN 分别是 △ABC 边上的高线和中线,当 BC 边上的中线和高重合时,则 AM = AN 当 BC 边上的中线和高不重合时,则 AM < AN
∴ AM ≤AN 故选 D.
【考点】垂线段的性质
6．【答案】C
【解析】根据题意得： 5 x - 2 y （20 - x - y ） 60 ,即 5x - 2 y = 60 故选 C. 【考点】二元一次方程的实际应用鸡兔同笼问题 7．【答案】B
【解析】解：根据题意可知,这个两位数可能是：31、32、33、34、35、36,一共有 6 种可能得到的两位数是
3 的倍数的有 33、36 两种可能.
∴ P(两位数是3的倍数) = 1
3
【考点】概率公式,复合事件概率的计算
8．【答案】A
3 / 10
-=
=
=2
∴
AD
\设
AD
（
【解析】解：Q矩形ABCD∴∠P AB+∠P AD=90︒即∠P AB=90︒-∠P AB
Q∠P AB=80︒
∴∠P AB+∠PBA=180︒-80︒=100︒
90︒-∠PAB+∠PBA=100︒即∠PBA-∠PAB=10︒①
同理可得：∠PDC-∠PCB=180︒-50︒-90︒=40︒②
由②-①得：∠PDC-∠P CB（∠PBA-∠P AB）30︒
\（θ+θ）-（θ+θ）30?故选A.
2423
【考点】三角形内角和定理,矩形的性质
9．【答案】B
【解析】解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为：(1,3)且图像经过(2,4)设抛物线的解析式为：y=a(x-1)3+3 Q a+3=4
解之：a=1
∴抛物线的解析式为：y（x-1）+3=x2-2x+4
当x=1时,y=7,
∴乙说法错误,故选B.
【考点】二次函数图象与系数的关系,二次函数的最值
10．【答案】D
【解析】解：如图,过D作DF^AC于分,过B作BM⊥AC于M
∴DF∥BM,
设DF=h,BM=h
1
AE
=
AB AC
Q DE∥BC
2
∴
∴
AD AE
=
AB AC
AD h
=1=
AB h
2
AE
AC
Q若2A D＜AB
h AE
=1==k<0.50<k<0.5）
AB h AC
2
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数学试卷第4页（共4页）
（ , 2 2 2 2
∴ AE = AC k ，CE = AC - AE = AC 1
- k ）h = h k 1
2
Q S = 1 1 1 1 1
AE ⨯ h = AC ⨯ k ⨯ h , S = CE ⨯ h = AC (1- k)h
1 1
2 2 2
Q 0＜k ＜0.5
∴ 3 2
k 2＜(1- K )
∴ 3S ＜2S
1
2
故选 D.
【考点】三角形的判定与性质
第Ⅱ卷
二、填空题
11．【答案】-2a
【解析】解： a - 3a = -2a 故答案为：-2a
【考点】整式的加减
12．【答案】135︒
【解析】解： Q a ∥b ∴ ∠1=∠3 = 45︒
Q ∠2 +∠3 =180︒
\ 邪2=180 - 45? 135? 故答案为：135︒
【考点】对顶角、邻补角,平行线的性质
13．【答案】 (a - b ) (a - b + 1)
【解析】解：原式= (a - b )2 - (b - a ) = (a - b )2 + (a - b ) = (a - b )(a - b + 1).
【考点】提公因式法因式分解
14．【答案】30°
【解析】解： Q DE ⊥ AB ∴∠DCO = 90︒
Q 点 C 是半径 OA 的中点
\ OC = 1 1
OA = OD
2 2
\ ∠CDO = 30︒
∴ ? AOD 60?
Q 弧 AD =弧 AD
1
∴ ∠DEA = ∠AOD = 30︒
2
故答案为：30°
【考点】垂径定理、锐角三角函数、三角形外角的性质 15．【答案】 60≤v ≤80
【解析】解：根据题意得甲车的速度为120 - 3 = 40千米 \ 小时
5 / 10
则 v ≥ （ , . 5 1 6 5 2
若 10 点追上,则 v = 2⨯ 40- 80 千米小时 若 11 点追上,则 2v =120,即 v = 60千米小时
\ 60≤v ≤80 故答案为： 60≤v ≤80
【考点】一次函数的图象,一次函数的实际应用,一次函数的性质
16．【答案】 3 + 2
3
【解析】Q 当点 H 在线段 AE 上时把 V ADE 翻折,点 A 落在 DC 边上的点 F 处,折痕为 DE ,点 E 在 AB 边上
∴ 四边形 ADFE 是正方形
∴ AD = AE
Q AH = AE - EH = AD -1
Q 把 VCDG 翻折,点 C 落在直线 AE 上的点 H 处,折痕为 DG ,点 G 在 BC 边上 \ DC = DH = AB = AD + 2
在 RtVADH 中, AD 2 + AH 2 = DH 2
解之： AD = 3 + 2 3，AD = 3 - 2 3
AD = 3 + 2 3，AD = 3 - 2 3 (舍去)
\ AD = 3 + 2 3
【考点】勾股定理,矩形的性质,正方形的性质,翻折变换(折叠问题)
三、解答题
17．【答案】(1)有题意可得： vt = 100 t>0）则 v =
(2) Q 不超过 5 小时卸完船上的这批货物, \ t ≤5 ,
100
= 20
5
100 t
.
答：平均每小时至少要卸货 20 吨.
【解析】(1)根据已知条件易求出函数解析式.
(2)根据要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物,可得出 t 的取值范围,再求出 t=5 时的函数值,就可得出答案.
【考点】一元一次不等式的应用,反比例函数的性质,根据实际问题列反比例函数关系式 18．【答案】(1)观察频数分布直方图可得出 a = 4
(2) 设 收 集 的 可 回 收 垃 圾 总 质 量 为 W , 总 金 额 为 Q . 每 组 含 前 一 个 边 界 值 , 不 含 后 一 个 边 界
W ＜2 ⨯ 4. 5+ 4⨯ 5+ 3⨯ + ⨯ = kg, Q ＜515 ⨯ 0.8 = 41. 元, 41.2 < 50
所以该年级这周的可回收垃圾被回收后所得全额不能达到 50 元.
【解析】(1)观察频数分布直方图,可得出 a 的值.
(2)设收集的可回收垃圾总质量为 W ,总金额为 Q ,根据每组含前一个边界值,不含后一个边界,求出 W 和 Q 的 取值范围,比较大小,即可求解.
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数学试卷 第 4 页（共 4 页）
20.【答案】(1)根据题意,得 ⎨ ,解得 k = 2,b =1 .
【考点】频数(率)分布表,频数(率)分布直方图
19．【答案】(1)证明： Q AB = AC , ∠ABC = ∠ACB , △ABC 为等腰三角形.
Q AD 是 BC 边上中线, ∴ BD = CD , AD ⊥ BC 又∴ DE ⊥ AB . Q ∠DEB = ∠ADC ,
又 ∠ABC = ∠ACB ,
∴ △BDE ∽△CAD
(2) Q AB = 13 , BC = 10BD = CD = 1
BC = 5 ,
2
∴ AD 2 + BD 2 = AB 2 , AD = 12 .
Q △BDE ∽△CAD
∴ BD DE 5 DE = 即 = ，
CA AD 13 12
60
∴DE = .
13
【解析】(1)根据已知易证 △ABC 为等腰三角形,再根据等腰三角形的性质及垂直的定义证明∠DEB =∠ADC ,
根据两组角对应相等的两三角形是相似三角形,即可证得结论.
(2)根据等腰三角形的性质求出 B D 的长,再根据勾股定理求出 AD 的长,再根据相似三角形的性质,得出对应边 成比例,就可求出 DE 的长.
【考点】等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质
⎧k + b = 33，
⎩-k + b = -1，
所以 y = 2x + 1 .
(2)因为点 (2a + 2,a 2 ) 在函数 y = 2 x + 1 的图像上,所以 a 2 = 4a + 5
解得 a = 5 或 a = -1
(3)由题意,得 y - y = (2 x + 1) - (2 x + 1) = 2( x - x ) ，所以 m = ( x - x )( y - y ) = 2(x - x )2≥0,
1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
所以 m + 1＞0 ，
所以反比例函数 y = m + 1 x
的图像位于第一、第三象限.
【解析】(1)根据已知点的坐标,利用待定系数法,就可求出一次函数的解析式.
(2)将已知点的坐标代入所求函数解析式,建立关于 a 的方程,解方程求解即可.
(3)先求出 y - y = 2( x - x ) ,根据 m = ( x - x )( y - y ) ,得出 m = ( x - x )( y - y ) = 2(x - x )2≥0, 从而可判
1
2
1
2
1
2
1
2
1 2 1 2 1 2
断 m +1 的取值范围,即可求解.
【考点】因式分解法解一元二次方程,待定系数法求一次函数解析式,反比例函数的性质
7 / 10
⨯( 所以 + ab - b 2 = 0 ,即 4ab = 3b
因为 b ≠ 0 ,所以 = .
⎩ -(a + b ) = -1， - =
21．【答案】(1)因为 ∠A = 28︒ ,所以 ∠B = 62︒ 又因为 BC -BD,所以 ∠BCD = 1
180 ︒ - 62︒ )=59︒
2
∴∠ACD = 90︒- 59︒=31︒
(2)因为 BC =a , AC =b ,所以 AB = a 2 + b 2 所以 AD = AB = BD = a 2 + b 2 - a
①因为 ( a 2 +b 2 - a)2 + ?2a( a 2 +b 2 - a) - b 2 = ( a 2 + b 2 - 2a a 2 + b 2 +a 2 ) + 2a a 2 +b 2 - 2a 2 - b 2 = 0
所以线段 AD 的是方程 x 2 + 2ax - b 2 = 0 的一个根.
②因为 AD = EC = AE =
b
2
所以 b 2
号是方程 x 2 + 2ax - b 2 = 0 的根,
b 2
4
a 3
b 4
【解析】 (1)根据三角形内角和定理可求出 ∠B 的度数 ,再根据已知可得出 △BCD 是等腰三角形 ,可求出
∠BCD 的度数,从而可求得 ∠ACD 的度数.
(2)根据己知① BC = a ，AC = b ,利用勾股定理可求出 AB 的值,①再求出 AD 的值,再根据 AD 是原方程的一
个根 , 将 AD 的 k 代入方程 , 可得出方程左右两边相等
, 即可得出解； ② 根据已知条件可得出
b
2
, 将
AD = EC = AE = b 2
代入方程化筒可得出 4ab = 3b ,就可求出 a 与 b 之比.
【考点】一元二次方程的根,等腰三角形的性质,勾股定理,圆的认识
22．【答案】(1)当 y = 0 吋, ax 2 + bx -(a + b ) = 0(a ≠ 0),
因为 ∆ = b 2 + 4a(a + b )=(2 a + b )
所以,当 2a + b = 0 ,即 ∆ =0 时,二次函数图像与 x 轴有 1 个交点,当 2a + b ≠ 0 ,即 ∆ > 0 时,二次函数图像与 x 轴
有 2 个交点.
(2)当 x = 1时， y = 0 ,所以函数图象不可能经过点 C (1,1)所以函数图象经过 A (-1,4),B (0,-1)两点,
⎧a - b - (a + b ) = 4，
所以 ⎨
解得 a =3,b =-2 所以二次函数的表达式为 y = 3x 2 - 2x - 1
(3)因为 P (2,m )在该二次函数的图像上,所以 m = 4a + 2b （a + b ） 3a + b
因为 m > 0 ,所以 3a + b > 0 , 又因为 a + b > 0 ,
数学试卷 第 3 页（共 4 页） 数学试卷 第 4 页（共 4 页）
(2)易知 Rt △BFG ∽Rt △DEA , BF ,在 Rt △DEF 和 Rt ∆BEF 中, tan α = ,
(3)设正方形 ABCD 的边长为 1，则 BG =k ，所以 △ABG 的面积等于 1 2(k + 1) )2 + ≤ ， S S
所以 2a =3a +b -(a +b )>0,
所以 a > 0
【解析】(1)根据题意求出 △= b 2 - 4ac 的值,再分情况讨论,即可得出答案.
(2)根据已知点的坐标,可排除点 C 不在抛物线上,因此将 A 、B 两点代入函数解析式,建立方程组求出 a 、b 的
值,就可得出函数解析式.
(3)抓住已知条件点 P (2,m )( m > 0 )在该二次函数图象上,得出 m =3a +b ,结合已知条件 m 的取值范围,可得出
3a +b >0,再根据 a + b > 0 ,可证得结论.
【考点】待定系数法求二次函数解析式,二次函数图像与坐标轴的交点问题
23 ． 【 答 案 】 (1) 因 为 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , 所 以 ∠BAF + ∠EAD = 90︒ , 又 因 为 DE ⊥ AG , 所 以
∠EAD + ∠ADE = 90︒，所以∠ADE = ∠BAF
又因为 BF ⊥ AG ,
∠DEA = ∠AFB = 90︒ ,
又因为 AD = AB ,
所以 △Rt DAE ≅ Rt △ABF , FD = AE = BF ,
BG DE
= DE AD EF tan β = EF
BF
,
所以 ktan β = BG EF BG EF BF EF EF
= = = = tan α ,
BC BF AD BF DE BE DE
所以 tan α = tan β .
1
k ，因为 △ABD 的面积等于 ，
2 2
又因为 BH BG
=
HD AD 1 = k ，所以 S 1 = ，
所以 S
2 = k 2 + k + 1 = (k -
S
1
1 5 5
2 4 4
因为 0<k <1,所以当 k = 1 5 ,即点 G 为 BC 中点时, 2 有最大值 . 2 4 1
【解析】(1)根据正方形的性质及垂直的定义,可证得∠ADE =∠BAF ,∠ADE =∠BAF 及 AD =AB,利用全等三角
形的判定,可证得 △Rt DAE ≅ △Rt ABF ,从而可证得结论.
(2)根据已知验证 Rt △BFG ∽Rt △DEA ,得出对应边成比例,再在 △Rt DEF 和 Rt △BEF 中,根据锐角三角函数 的定义,分别表示出 tan α、tan β ,从而可推出 tan α = tan β .
(3)设正方形 ABCD 的边长为 1,则 BG = k ,分别表示出 △ABG , △ABD 的面积,再根据
BH BG
= = k ,求出 S HD AD
1
及 S ,再求出 S 与 S 之比与 k 的函数解析式,求出顶点坐标,然后根据 k 的取值范围,即可求解.
2
1
2
【考点】全等三角形的判定与性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质,解直角三角形
9 / 10
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