福建省福州日升中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题(含答案解析)

福建省福州日升中学2023-2024学年八年级上学期期中数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知ABC DEF △≌△，A 30∠=︒，85F ∠=︒，则B ∠的度数是（）
A ．30
B ．85
C ．65
D ．55
3．下列计算正确的是（）
A ．33
a a a ⋅=B ．33(2)6a a =C ．632
a a a ÷=D ．()()3
2
230
a a -=4．已知点(,3)P a
b +、(2,)Q b -关于y 轴对称，则ab 的值是（）
A ．-1
B ．2
C ．-3
D ．3
5．ABC 中，AB AC =，D 为BC 边的中点，35BAD ∠=︒，则C ∠的度数为(
)
A ．70︒
B ．55︒
C ．65︒
D ．35︒
6．如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）
A ．D
B DE =B ．AB AE =
C ．EDC BAC ∠=∠
D ．DAC C
∠=∠7．如果m 2+m ＝5，那么代数式m （m +2）+（m +2）（m ﹣2）的值为（）
A ．6
B ．9
C ．﹣1
D ．14
8．如图，△ABC 中,∠A=50°，点D ，E 分别在AB ，AC 上，则∠1+∠2的大小为（）
A ．130°
B ．230°
C ．180°
D ．310°
9．如图所示，已知60AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，13OP =，点M ，N 在边OB 上，
PM PN =，若2MN =，则OM 的长为（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．5.5
10．
如图，在五边形ABCDE 中，150BAE ∠=︒，90B E ︒∠=∠=，AB BC =，AE DE =在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN ∆的周长最小时，则AMN ANM ∠+∠的度数为（）
.
A ．60︒
B ．90︒
C ．100︒
D ．120︒
二、填空题
14．如图，BP 是则PBC 的面积为
15．如图，已知点P(2m－1，6m－5)在第一象限角平分线三、解答题
（1）将ABC ∆沿y 轴翻折，画出ABC ∆关于y 轴对称的图形111A B C ∆，并直接写出点1A 的坐标__________．
（2）若以,,D B C 为顶点的三角形与ABC ∆全等，请画出所有符合条件的DBC ∆（点D 与点A 重合除外）．
（3）在y 轴上找一点P ，使点P 到点A ，点C 的距离和最短；请画出点P ．
21．已知,AB AC D =是AB 上一点
(1)用无刻度的直尺和圆规：过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 交CA 延长线于F （保留作图痕迹，不写作法）(2)求证ADF △是等腰三角形．
22．如图，在Rt ABC △中，90ACB D ∠=︒,是AB 上的一点，BD BC =，过点D 作AB 的垂线交AC 于点,E CD 交BE 于点F ．
(1)求证：BE垂直平分CD；
(1)求DMB
∠的度数；
AB=
(2)若CH BE
⊥于点H，16
24．我们已学完全平方公式：
()
22
++=++-=
x x x x
42442(
22
+≥∴++=
x x x x
(2)0,42(
()
22
-+-=--+-
x x x x
23212
22
(1)0,23
--≤∴-+-=
x x x
并完成下列问题：
(1)代数式241
-+有最（填大或小）值，这个值=
x x
①用含x 的式子表示花圃的面积；
②请说明当x 取何值时，花圃的最大面积是多少平方米？
25．如图，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD 是ABC 的中线．
(1)求证：ADC △为等腰直角三角形；
(2)若P 为线段DC 上一动点（不与点D ，C 重合）
，以AP 为直角边作等腰直角APE V ，其中90APE ∠=︒，点A ，E 在直线BC 同侧，连接CE ，求ACE ∠的度数；
(3)若P 为线段DC 延长线上一动点，
以AP 为直角边作等腰直角APE V ，其中90APE ∠=︒，点A ，E 在直线BC 同侧，且点A 关于直线BC 对称点记为A '，求证：A '，C ，E 三点在同一条直线上．
参考答案：
1．B
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：B ．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．C
【分析】根据全等三角形的性质求出∠C 的度数，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】∵ABC DEF △≌△，∴∠C=∠F=85°，
∠B=180°-∠A-∠C=180°-30°-85°=65°，故选：C ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．3．D
【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法及积的乘方，解题的关键是熟练掌握各个运算法则；因此此题可根据同底数幂的乘除法及积的乘方可进行求解．【详解】解：A 、34a a a ⋅=，原计算错误，故不符合题意；B 、33(2)8a a =，原计算错误，故不符合题意；C 、633a a a ÷=，原计算错误，故不符合题意；D 、()()3
2
230a a -=，原计算正确，故符合题意；
故选D ．4．C
【分析】根据“关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求a 、b 的值，然后代
入代数式进行计算即可得解．
【详解】∵点P(a b +，3)，Q(2，b -)关于y 轴对称，∴2a b +=-，3b -=，∴1a =，3b =-，∴()133ab =⨯-=-．故选：C ．
【点睛】本题考查了坐标与图形的变化－轴对称，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．5．B
【分析】由已知条件，利用等腰三角形三线合一的性质进行求解．【详解】解：AB AC = ，
ABC ∴是等腰三角形，
D 是BC 边上的中点，
AD BC ∴⊥，
35BAD ∠=︒ ．
903555C ∴∠=︒-︒=︒．
故选：B ．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；利用三线合一是正确解答本题的关键．6．D
【分析】由尺规作图可知AD 是∠CAB 角平分线，DE ⊥AC ，由此逐一分析即可求解．【详解】解：由尺规作图可知，AD 是∠CAB 角平分线，DE ⊥AC ，在△AED 和△ABD 中：
∵=90⎧∠=∠⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
AED ABD EAD BAD AD AD ，∴△AED ≌△ABD(AAS)，∴DB=DE ，AB=AE ，选项A 、B 都正确，又在Rt △EDC 中，∠EDC=90°-∠C ，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°-∠C ，∴∠EDC=∠BAC ，选项C 正确，
选项D ，题目中缺少条件证明，故选项D 错误．
∵PM PN
=，
∴
11
2
MQ NQ MN
===，
在Rt OPQ △中，13OP =，60AOB ∠=︒，∴30OPQ ∠=︒，∴ 6.5OQ =，
则 6.51 5.5OM OQ QM =-=-=．故选：D ．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．10．A
【分析】取点A 关于BC 的对称点P ，关于DE 的对称点Q ，连接PQ 与BC 交于点M ，与DE 交于点N ，根据轴对称的性质可得AM=PM ，AN=QN ，然后求出AMN ∆的周长=PQ ，根据轴对称确定最短路线问题，PQ 的长度即为AMN ∆的周长最小值，根据三角形内角和求出P Q ∠+∠，再根据三角形的外角定理求出2AMN P ∠=∠，2ANM Q ∠=∠，即可求出答案.
【详解】
如图，取点A 关于BC 的对称点P ，关于DE 的对称点Q ，连接PQ 与BC 交于点M ，与DE 交于点N
则AM=PM ，AN=QN ∴,P PAM Q QAN
∠=∠∠=∠∴AMN ∆的周长=AM+MN+AN=PM+MN+QN=PQ
由轴对称确定最短路线，PQ 的长度即为AMN ∆的周长最小值，∵150BAE ∠=︒
∴18015030P Q ∠+∠=︒-︒=︒∵2AMN P PAM P ∠=∠+∠=∠2ANM Q QAN Q
∠=∠+∠=∠∴2()23060AMN ANM P Q ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒故选A.
【点睛】本题考查了轴对称-最短路径问题，难度大，熟练掌握轴对称的性质以及三角形的相关定理是解题关键.
11．6
【分析】本题主要考查同底数幂乘法的逆用，熟练掌握其运算法则是解题的关键；因此此题可根据同底数幂乘法的逆用进行求解即可．
【详解】解：∵52,53x y ==，
∴555236x y x y +=⋅=⨯=；
故答案为6．
12．13或14/14或13
【分析】由等腰三角形中两条腰相等，且任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求出．
【详解】若等腰三角形腰长为4，底边为5，
则三边长度为4、4、5，且满足三角形三边关系
故周长为13，
若等腰三角形腰长为5，底边为4，
则三边长度为4、5、5，且满足三角形三边关系
故周长为14．
故答案为：13或14．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，本题腰长为4或5均满足三角形三边关系，不要漏解．
13．10︒/10度
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出B ∠，在BDE 中，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．
【详解】解：∵9050ACB A ∠=︒∠=︒，，
∴90905040B A ∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∵CDE 是CDA 翻折得到，
∴50CED A ∠=∠=︒，
在BDE 中，CED B EDB ∠=∠+∠，
即5040EDB ︒=︒+∠，
∴10EDB ∠=︒．
故答案为：10︒．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，翻折的性质及三角形内角和与外角的性质，熟
BP 是ABC ∠的平分线，AP BP ⊥，
ABP DBP ∴∠=∠，90APB DPB ∠=∠=在APB △与DPB 中，
ABP DBP BP BP ∠=∠⎧⎪=⎨，
根据题意得：PE=PF ，
∴2m-1=6m-5，
∴m=1，
∴P （1，1），
∵∠EPF=90°，
∵∠BPA=90°，PE=PF=1，
∴∠EPB=∠FPA ，
在△BEP 和△AFP 中，
90PEB PFA PE PF EPB FPA ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝＝，∴△BEP ≌△AFP （ASA ），
∴BE=AF ，
∴OA+OB=OF+AF+OE-BE=OF+OE ，
∵P （1，1），
∴OE=OF=1，
∴OA+OB=2．
故答案为：2．
【点睛】考查了全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，解题关键是证明
△BEP ≌△AFP 和求出m 的值．
16．4039
【分析】通过计算，分析、归纳发现其中的规律：()()()222
11141n n n n a a a a +-=-+=+，即可得到答案．
【详解】解：∵()()221411n n n a a a +=---，
（2）如图：与ABC ∆全等的三角形为1D BC △，2D BC ，3D BC ；
（3）如图：连接1AC 与y 轴的交点即为点P 的位置．
【点睛】本题考查了作图－轴对称，全等三角形的性质，轴对称的性质求最短路径，本题考查了作图，熟练掌握轴对称的性质以及全等三角形的性质是解本题的关键．
21．(1)图见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查垂线的尺规作图及等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握垂线的尺规作图及等腰三角形的判定；
（1）利用基本作图（过一点作已知直线的垂线）作DE BC ⊥于点E ，与CA 的延长线相交于点F ；
（2）利用等腰三角形的性质得B C ∠=∠，再利用垂直得到90DEB DEC ∠=∠=︒，则根据等角的余角相等得BDE CFE ∠=∠，而BDE ADF ∠=∠，所以CFE ADF ∠=∠，于是可判定ADF △为等腰三角形．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）证明：AB AC = ，
B C ∴∠=∠，
DE BC ⊥ ，
90DEB DEC ∴∠=∠=︒，
90B BDE ∠+∠=︒ ，90C CFE ∠+∠=︒，
BDE CFE ∴∠=∠，
而BDE ADF ∠=∠，
CFE ADF ∴∠=∠，
ADF ∴ 为等腰三角形．
22．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查了直角三角形与等边三角形，熟练掌握直角三角形的性质与等边三角形的判定是解决本题的关键．
（1）先证Rt Rt (HL)EBC EBD ≌，即可得出BE 是DBC ∠的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证；
（2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD DB =，又根据DB BC =，即可证明结论．
【详解】（1）证明：90ACB ∠=︒ ，且DE AB ⊥，
90EDB ACB ∴∠=∠=︒，
在Rt EBC 和Rt EBD △中，
，
APE V 是等腰直角三角形，
AP EP =，90APE ∠=︒，
90EPF APD DAP ∠=︒-∠=∠，
90ADP PFE ∠=︒=∠，
答案第15页，共15页∴ADP PFE △≌△（AAS ），
∴DP EF AD PF ==，，
∵ADC △为等腰直角三角形，AD CD =，
∴PF CF =，
∴EFC 是等腰直角三角形，
∴45ECF ∠=︒，
∴180180454590ACE ACB ECF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；
（3）证明：过点E 作EG BC ⊥交BC 延长线于G ，如图：
，
同（2）可证ADP PGE △≌△（AAS ），
∴AD PG DP EG ==，，
∵AD CD =，
∴PG CD =，
∴PG CP CD CP +=+，即CG DP =，
∴=EG CG ，
∴45ECG EGC ∠=∠=︒，
∴180135BCE ECG ∠=︒-∠=︒，
∵A ，A '关于BC 对称，
∴45A CD ACD '∠=∠=︒，
∴45135180A CD BCE '∠+∠=︒+︒=︒，
∴A '，C ，E 三点在同一条直线上．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形中的几何变换，涉及三角形全等的判定与性质，对称变换等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．。