高考数学大一轮复习第四章三角函数学案23三角恒等变换文解析版

＝2sin(45 °－ 50°) ＝ 2sin( －5°) ＝－ 2sin5 °．
2
9．已知等腰三角形底角的余弦值为 3，则顶角的正弦值是 (
)
25 A.
9
45 B.
9
45 C．－ 9 答案 B
25 D．－ 9
解析 设底角为 α，则 sin( π－ 2α) ＝sin2 α＝ 2sin αcosα＝ 2×
cosA)
2＝
5 ＝
1＋
2sinAcosA
＝ 1＋ sin2A.
3
3
2 ∴sin2A ＝3，满足题意，故选 A.
1
11．计算 tan15 °＋ tan15 ° 的值为 (
)
A. 2
B． 2
C． 4
D． 2 2
答案 解析
C
1
sin15 ° cos15° sin 215°＋ cos 215°
2
tan15 °＋ tan15 ° ＝ cos15° ＋sin15 ° ＝ sin15 ° cos15 ° ＝sin30 ° ＝ 4. 故选 C.
3
3
∴cos α cos β＋ sin αsin β＝
2 . 即 cos( α－β ) ＝
. 2
13π
5π
13π 5π π
π
3
13π
当 α＝ 12 ，β＝ 4 时，α－β＝ 12 － 4 ＝－ 6 ，此时， cos( － 6 ) ＝ 2 ，∴α＝ 12 ，
5π β＝ 4 适合，应选 A.
4． cos α＋ sin α 不等于 ( )
4 )] ＝
2cos( 4 －α ) ＝
2cos ( α－
) 4
＝cos α＋ sin α．
5．化简 2＋ cos2－ sin 21的结果是 (
)
A．－ cos1
B． cos1
C. 3cos1 答案 C
D．－ 3cos1
解析
2＋ cos2 － sin 21＝
1－ cos2
2＋ cos2－
＝
2
θ3
θ4
13．在△ ABC 中， tanA ＋ tanB ＋ 3＝ 3tanAtanB ，则 C 等于 ( )
17 3 )＝
17 9.
8. 1＋cos100°－ 1－cos100°等于 (
A．－ 2cos5°
C． 2sin5 °
答案 D
sin 50°
) B．2cos5° D．－ 2sin5 °
2
2
＝ 2(cos50 °－ sin50 °) ＝ 2( 2 cos50 °－ 2 sin50 °)
1
A.
2cos
(
α－
π 4
)
π
C.
2cos ( α＋
) 4
答案 C
B.
2cos(
π 4
－α）
7π
D.
2cos( α＋
) 4
解析
π
π
π
2
2
2cos ( α－ 4 ) ＝ 2(cos αcos 4 ＋sin αsin 4 ) ＝ 2( 2 cosα＋ 2 sin α ) ＝cosα
7π
7π
π
π
＋sin α． 2cos ( α＋ 4 ) ＝ 2cos [2 π－ ( α＋
3 10 ，
10 有两解，
10 － 10 .
应选 D.
3 3．满足 cosαcosβ＝ －sin αsin β 的一组 α，β的值是 ( )
2
13π
5
A．α＝ 12 ，β＝ 4π
13π
3
B．α＝ 12 ，β＝ 4π
π
π
C．α＝ 2 ，β＝ 6
π
π
D．α＝ 4 ，β＝ 6
答案 A
3 解析 ∵cosαcosβ＝ 2 －sin αsin β，
)
3 10 A. 10
10 B．－ 10
25 C. 5
3 10
10
D. 10 或－ 10
答案 D
解析
∵cosα＝
5 ，∴ sin α＝±
1－ cos 2α＝± 2
5 ，
5
5
π
π
π 52 2
25
∴ cos ( α－ 4 ) ＝cosαcos 4 ＋sin αsin 4 ＝ 5 · 2 ＋ 2 ·( ± 5 ) ＝
题组层级快练 ( 二十三 )
1．已知 sin10 °＝ a，则 sin70 °等于 ( A． 1－ 2a2 C． 1－ a2
) B． 1＋2a2 D． a2－ 1
答案 A 解析 由题意可知， sin70 °＝ cos20°＝ 1－ 2sin 210°＝ 1－ 2a2. 故选 A.
5
π
2．已知 cosα＝ 5 ，则 cos( α－ 4 ) 的值为 (
4 －5
24 ＝－ 25<0，
∴θ在第四象限．
1
7．若 α∈ (0 ，π ) ，且 cosα＋ sin α＝－ 3，则 cos2α 等于 (
)
17 A.
9
17 B．±
9
17 C．－ 9 答案 A
17 D.
3
2
1 解析 将 cosα＋ sin α＝－ 3平方整理，得
8
2sin
α· cos α＝－
. 9
6．若 sin 2 ＝ 5， cos 2 ＝－ 5，则 θ 在 (
)
3＋ 3cos2 ＝
3cos 21＝
3cos1.
2
A．第一象限 C．第三象限 答案 D 解析 cosθ＝ 2cos 2θ－ 1
2
B．第二象限 D．第四象限
42
7
＝2 － 5 － 1＝ 25>0，
sin θ＝ 2sin
θ
θ
3
2 · cos 2 ＝2× 5×
sin
2A＋ 2sinAcosA
＋
cos
2A＝
5 . 3
15 ∴|sinA ＋ cosA| ＝ 3 .
15 又∵Ａ为锐角，∴ sinA ＋ cosA＝ 3 ，故选 A. 方法二：∵Ａ 为锐角， ∴sinA ＋ cosA>0. ∴B， D 不合题意．
若 sinA ＋ cosA＝
15 ，则 (sinA
＋
∵α∈
(0 ，π )
，∴ cos α <0，sin
α >0.
∴cos α－ sin α＝－
（cosα－ sin α） 2＝－ 1－2sin αcosα＝－
17 3.
∴cos2 α＝ cos 2α－ sin 2α＝ (cos α＋ sin α)(cos α－ sin α) ＝
1 ( － 3) ×( －
1－（
2 3）
2×
24 3＝
9
5 .
2
10．若△ ABC 的内角 A 满足 sin2A ＝ ，则 sinA ＋ cosA 的值为 (
)
3
15 A.
3
15 B．－ 3
5
5
C.
D．－
3
3
答案 A 2
解析 方法一：∵ sin2A ＝ 2sinAcosA ＝3，
5 ∴1＋ 2sinAcosA ＝ 3，
3
即
12．(2019 ·河北冀州考试 )(1 ＋tan18 °)(1 ＋tan27 °) 的值是 ( )
A. 2
B. 3
C． 2
D. 5
答案 C
解 析 (1 ＋ tan18 °)(1 ＋ tan27 °）＝ 1 ＋ tan18 ° ＋ tan27 ° ＋ tan18 °tan27 ° ＝ 1 ＋
tan45 °· (1 －tan18 °tan27 °) ＋tan18 °tan27 °＝ 2.