苏教版高三下学期期中考试数学(理)试题及答案

枣阳市第七中学高三年级2015-2016学年度下学期期中考试
数学(理科)试题
★ 祝考试顺利 ★
时间：120分钟 分值150分_
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分） 1．采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
2．已知2
{|
1}x U x x -=≤，{|21}A x x =-≤，则U C A =（ ）
A.{|1}x x <
B.{|01}x x <<
C.{|01}x x ≤<
D.{|1}x x >
3．在ABC ∆中，,AB c =AC b =若 点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）
A ．213
3b c + B ．5233c b - C ．2133c b - D ．2233b c
+ 4．已知
3(|)10P B A =，1
()5P A =
，则()P AB =（ ） A ．12 B ．32 C ．23 D ．350
5．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，则公比q 的值为( )
C ．2
D ．3
6．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是
A ．24π+
B ．20π+
C ．224π+
D ．220π+
7．如果函数()2sin 2y x ϕ=-的图象关于点4(
,0)3π中心对称，那么||ϕ的最小值为（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2π
8．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，一个焦点与抛物线
216y x =的焦点相同，
则双曲线的渐近线方程为（ ）
A
．y x = B
．y =
C
．
3y x
=± D ．32y x =± 9．函数f （x ）＝x ＋lnx 的零点所在的区间为（ ）
A.（－1，0）
B.（1
e ，1） C.（1，2） D.（1，e ）
10．已知函数
22
3log ,0,()23,0,x x f x x x x +>⎧=⎨-≤⎩则不等式()5f x ≤的解集为（ ） A ．[]
1,1- B ．
(](),10,1-∞-
C ．
[]1,4- D ．(][],10,4-∞-
11．抛物线214x y =
的焦点到准线的距离为（ ）
A ．2
B ．4
C ．18
D ．1
2
12．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离（ ） A ． B ． C ．
D ．3
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）
13．在ABC ∆的边AB 上随机取一点P , 记CAP ∆和CBP ∆的面积分别为1S 和2S ，则122S S >的概率是 ．
14．已知sin 0a xdx π
=⎰，则二项式5
1a x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭的展开式中3x -的系数为 ． 15．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则命题P 的否定是 ．
16．已知锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．设向量m= （cosA ，-sinA ），n=
（cosA, sinA ），且 1
2m n ⋅=-
，若2a c ==，则 b =_______．
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）设{}n a 是公比不为1的等比数列，其前项和为n S ，且534,,a a a 成等差
数列。

（1）求数列
{}n a 的公比；
（2）证明：对任意
*21
,,,k k k k N S S S ++∈成等差数列
18．（本题12分）有一种密码，明文由三个字母组成，密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成．编码规则如下表．明文由表中每一排取一个字母组成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，对应的密码由明文所取的三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成．（如：明文取的三个字母为AFP ，则与它对应的五个数字（密
（1）假设密码是11211，求这个密码对应的明文； （2）设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数．
①求()
=2P ξ；②求随机变量ξ的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥S ABCD -中，AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB =，平面SAD ⊥平面ABCD ，M 是线段AD 上一点，AM AB =，DM DC =，SM AD ⊥．
（Ⅰ）证明：CM ⊥SB ；
（Ⅱ）设三棱锥C SBM -与四棱锥S ABCD -的体积分别为1V 与V ，求1
V V 的值． 20．（本题12分）椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过
F1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF2的周长为8． （1）求椭圆E 的方程． （2）在椭圆E 上，是否存在点M （m ，n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x2+y2=1相交于不同的两点P ，Q ，且△POQ 的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的△POQ 的面积；若不存在，请说明理由．
21．（本题12分）已知函数()ln ,()()6ln a
f x x
g x f x ax x
x =-=+-，其中a R ∈.
（1）当1a =时判断()f x 的单调性；
（2）若()g x 在其定义域为增函数，求正实数a 的取值范围；
（3）设函数
2
()4h x x mx =-+，当2a =时，若12(0,1),[1,2]x x ∃∈∀∈，总有12()()g x h x ≥成立，求实数m 的取值范围.
四、选做题：请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.解答时请写清题号.
22．（本题10分）如图，A ，B 是
O 上的两点，P 为O 外一点，连结PA ，PB 分别交O
M S D C
B A
于点C ，D ，且AB AD =，连结BC 并延长至E ，使∠PEB =∠PAB ．
（1）求证：PE PD =；
（2）若1AB EP ==，且120BAD ∠=︒，求AP ． 23．（本题10分）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕ
ϕϕ=+⎧⎨
=⎩为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴
为极轴建立极坐标系．
（1）求圆C 的极坐标方程；
（2）直线l
的极坐标方程是2sin()3πρθ+=射线
:3OM π
θ=
与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．
24．（本题10分）已知()():|3|2,q :110
p x x m x m -≤-+--≤，若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．
参考答案 1．A 【解析】
试题分析：抽到的所有的号码构成等差数列，首项为8，公差为20，所以所有的数为8+20n ，问卷C 位于区间[751，1000]，令751<8+20n<1000，所以解不等式可知n 值有12个，做问卷C 的人数为12
考点：系统抽样 2．B 【解析】
试题分析：因为
22
{|
1}{|0}={|0}x U x x x x x x --=≤=≤>，{|21}{|1}A x x x x =-≤=≥所
以U
C A =
{|01}x x <<，故选B. 考点：集合的补集运算. 3．A 【解析】
试
题
分
析
：
由
2BD DC
=，
可
得
23
BD BC =
，
()
221212
333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC c b
=+=+=+-=+=+，故选择A
考点：平面向量基本定理
4．D 【解析】
试题分析：由条件概率的公式(AB)(|)(A)P P B A P =
得133
(AB)(A)(|),
51050P P P B A =⨯=⨯=故
选D.
考点：条件概率的公式. 5．C
【解析】a1q5＝(a1q)3，q2＝2
1a ，因为各项均为正数，所以q ＝a1＝2.
6．A 【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体是一个正方体挖去一个直径等于正方体棱长的球所得的组合
体，所以该几何体的表面积22
212262424222S πππ
⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯⨯⨯-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,故选A ．
考点：1、三视图；2、空间几何体的表面积．
7．C 【解析】
试题分析：因为函数()2s i n 2y x ϕ=-的图象关于点4(
,0)3π
中心对称，所以
438|2sin 03x y ππϕ=⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，根据诱导公式可得2sin 03πϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以23k πϕ-π=，即
23k πϕπ=+
，k Z ∈，令1k =-得min ,
3π
ϕ=故选C.
考点：正弦函数的图象与性质.
8．B 【解析】
试题分析：由于抛物线216y x =的焦点为(4,0)F ，又因为双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的一
个焦点与抛物线2
16y x =的焦点相同，所以双曲线的半焦距4c =；从
而4
22,c a b a a ==⇒===，
所以双曲线的渐近线方程为b
y x a =±=；
故选B ．
考点：双曲线与抛物线的简单几何性质． 9．B 【解析】
试题分析：由于f （x ）是增函数，且定义域为（0，＋∞）
f （1e ）＝1e －1＜0，f （1）＝1＞0，故零点在（1
e ，1）内，选B
考点：函数的零点 10．C 【解析】
试题分析：当0x >时，()5f x ≤即为223log 5,log 2,
x x +≤∴≤解得04;x <≤当0x ≤时，()5f x ≤即为22235,2350,x x x x -≤∴--≤解得10x -≤≤，所以不等式的解集为[]1,4-.
考点：分段函数与不等式. 11．C 【解析】
试题分析：抛物线214x y =
的焦点到准线的距离为p ，而112,48p p =⇒=因此选C.
考点：抛物线性质 12．A
【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，
则正四面体的高．
而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为
，选A ．
13．13 【解析】
试题分析：求几何概型概率问题，首先要明确测度是什么，本题是在边AB 上随机取一点P ，所
以测度是长度，当122S S =时，2AM BM =,所以122S S >的概率为
1
3BM AB =
. 考点：几何概型概率 14．-80 【解析】
试题分析：因为sin cos 200a xdx x ππ
==-=⎰，所以展开式中3x -的系数为335(2)80.C -=-
考点：定积分，二项式定理 15．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >．
【解析】
试题分析：因为所给命题P 是一个全称命题，其命题的否定就是特称命题，即:p x ⌝∃∈R ，
sin 1x >．
考点：命题的否定；特称命题与全称命题． 16．3 【解析】
试题分析：运用向量的数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式，求得A ，再由余弦定理，解方程可得b=3．
2211
222m cosA sinA n cosA sinA m n cos A sin A cos A =-=∴=-=-∴=-⋅（，），（，），，，
由于
A 为锐角，则2A=120°，解得A=60°，由余弦定理可得
22221
274223
2a b c bccosA b b b =+-∴=+-⨯⨯∴=，，
或-1（舍去）．
考点：利用余弦定理解三角形
17．（1）2q =-；（2）见解析
【解析】 试题分析：（1）求等比数列的公比；注意题中限制条件；（2）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法：证明()
为常数d n ,1≥；二是等差中项法，证明1
12+-+=n n n a a a ，
若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可 试题解析：（1）设数列{}n a 的公比为(0,1)q q q ≠≠，由534,,a a a 成等差数列，得3542a a a =+，
即
2431112a q a q a q =+，由
10,0
q a ≠≠得2
+20q q -=，解得122,1q q =-=（舍去），
所以2q =-；
（2）由（1）得：数列
{}
n a 是以-2为公比的等比数列，所以
q q a s n n --=1)1(1[][]
3)2(1)2(1)2(111n
n a a --=
----
则=k s []
3)2(11k
a --，
[][][]
3)2)(2(1)2()2(13)2(13)2(121112112k
k k k k k a a a s s ---+---=
--+--=+++++ []
k
k
s a 23)2(121=--⨯=
即1
22+++=k k k s s s .
考点：求等比数列的公比，等差数列的证明.
18．（1）AEM ；（2）①8
27，②详见解析．
【解析】 试题分析：（1）根据题意对照表格当中明文字母和密码数字即可求解；（2）①：分析表格中数据可知2ξ=只能取表格中第1，2列中的数字作为密码，再根据古典概型即可求解，②：穷举所有可能的ξ的取值及其对应情况，再根据古典概型计算其对应概率即可得到概率分布和数学期望． 试题解析：（1）根据题意对照表格当中明文字母和密码数字，从而可知对应明文为AEM ；（2）①：分析表格中的数字可知，密码的第1，2列均由数字1，2组成，∴2ξ=时，只能取表格中的第1，
2列中的数字作为密码，∴
3328
(2)327P ξ===
；②：由题意可知，ξ的取值为2，3两种情况，∴(3)1(2)P P ξξ==-=
81912727=-
=
ξ
∴
81973()23272727E ξ=⨯
+⨯=．
考点：1．古典概型求概率；2．随机变量的概率分布及其期望．
19．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）3
8
【解析】（Ⅰ）证明:
平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD
平面ABCD AD =,
SM ⊂平面SAD ，SM AD ⊥，SM ∴⊥平面ABCD , 1分 ∵CM ⊂平面,ABCD SM CM ∴⊥ 2分
四边形ABCD 是直角梯形，AB //CD ,,AM AB =,DM DC =
,MAB MDC ∴∆∆都是等腰直角三角形,
45,90,.AMB CMF BMC BM CM ∴∠=∠=︒∠=︒⊥ 4分
SM ⊂平面SBM ，BM ⊂平面SBM ，SM BM M =, CM ∴⊥平面SBM ， 又SB ⊂平面SBM ，所以CM ⊥SB 6分
（Ⅱ）解: 三棱锥C SBM -与三棱锥S CBM -的体积相等, 由（ 1 ） 知SM ⊥平面ABCD ,
得111
3211()32SM BM CM
V V SM AB CD AD
⨯⨯=
⨯+⨯, 9分
设,AB a =由3CD AB =,,AM AB =,DM DC =
得3
,,,4,CD a BM CM AD a ==
==
从而13.
(3)48V V
a a a ⨯==+⨯ 12分 【考点定位】本题考查直线和平面垂直、直线和平面平行、二面角等基础知识，意在考察学生空
间向量能力、推理论证能力和基本的运算能力．
20．（1）．（2）在椭圆E 上，不存在点M （m ，n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x2+y2=1相交于不同的两点P ，Q ，且△POQ 的面积最大 【解析】
试题分析：（1）由已知得e=
，4a=8，由此能求出椭圆E 的方程．
（2）当∠POQ=90°时，S△POQ 有最大值，求出点O 到直线AB 的距离，从而得到m2+n2=2，又
，两式联立，无解，故在椭圆E 上，不存在点M （m ，n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：
x2+y2=1相交于不同的两点P ，Q ，且△POQ 的面积最大．
解：（1）∵椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=， ∴
，e=
，∴3a2=4b2，
∵△ABF2的周长为8，∴4a=8，解得a=2，b=
，c=1，
∴椭圆E 的方程为：．…（4分） （2）不存在，理由如下：
在△POQ 中，|OP|=|OQ|=1，S△POQ=|OP|×|OQ|×sin∠POQ 当且仅当∠POQ=90°时，S△POQ 有最大值， 当∠POQ=90°时， 点O 到直线AB 的距离为d=，
∴d=
=
，∴m2+n2=2，
又，
两式联立，解得：无解，
故在椭圆E 上，不存在点M （m ，n ）使得直线l ：mx+ny=1与圆O ：x2+y2=1相交于不同的两点P ，Q ，且△POQ 的面积最大．…（12分） 考点：椭圆的简单性质．
21．（1）增函数；（2）25≥
a ；（3）) ,2ln 58[∞+- .
【解析】
试题分析：(1) 本小题首先求得函数
()x a
x x f -
=ln 的定义域),0(+∞，再利用导数的公式和法
则求得函数()x a x x f -
=ln 的导函数2
1
)(x x x f +='，发现其在()+∞∈,0x 恒大于零，于是可知函
数()x a x x f -=ln 在()+∞∈,0x 上单调递增；(2) 本小题首先求得函数()x
x a
ax x g ln 5--=的
定义域),0(+∞，再利用导数的公式和法则求得函数()x
x a
ax x g ln 5--=的导函数
22255)('x a
x ax x x a a x g +-=
-+=，根据函数)(x g 在其定义域内为增函数，所以),0(+∞∈∀x ，
0)('≥x g ，然后转化为最值得求解；（3）本小题首先分析“)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有
)()(21x h x g ≥成立”等价于 “)(x g 在)1,0(上的最大值不小于)(x h 在]2,1[上的最大值”，于是
问题就转化为求函数的最值.
试题解析：（1）)(x f 的定义域为),0(+∞,且
21)(x x x f +=
'>0
所以f(x)为增函数. 3分
（2）
x x a
ax x g ln 5)(--
=，)(x g 的定义域为),0(+∞
22255)('x a
x ax x x a a x g +-=
-+= 5分
因为)(x g 在其定义域内为增函数，所以),0(+∞∈∀x ，0)('≥x g
max
222215155)1(05⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+≥⇔+≥
⇔≥+⇔≥+-⇔x x a x x a x x a a x ax
而25
15152≤
+=+x x x x ，当且仅当1=x 时取等号，所以
25≥
a 9分 （3）当2=a 时，x x x x g ln 52
2)(--=，22252)('x x x x g +-=
由0)('=x g 得
21=
x 或2=x 当
)21,0(∈x 时，0)('≥x g ；当)
1,21(∈x 时，0)('<x g ． 所以在)1,0(上，2
ln 53)21
()(max +-==g x g 11分
而“)1,0(1∈∃x ，]2,1[2∈∀x ，总有)()(21x h x g ≥成立”等价于
“)(x g 在)1,0(上的最大值不小于)(x h 在]2,1[上的最大值” 而)(x h 在]2,1[上的最大值为)}2(),1(max{h h
所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥≥)2()21()1()21
(h g h g
⎩
⎨⎧-≥+--≥+-⇔m m 282ln 5352ln 53⎪⎩⎪
⎨⎧-≥-≥⇔)2ln 511(212
ln 58m m 2ln 58-≥⇔m 所以实数m 的取值范围是) ,2ln 58[∞+- 14分
考点：1.导数公式与法则；2.函数的单调性；3.等价转化. 22．（1）证明见解析；（2
）2. 【解析】
试题分析：（1）根据圆的割线性质及平面几何知识可证明PDC PEC ∆≅∆，从而得到PE PD =；（2）可证A B C A P ∆∆
，则2
()AB AP AC AP AP PC =⋅=-，由此可得
22AP AB AP PC PD PB -=⋅=⋅
1 ()PD PD BD =+，把已知条件代入整理即可求得322+
=AP .
试题解析：（1）连结DC ，
因为ADB ACB PCE ∠=∠=∠, ABD PCD ∠=∠, 又因为AD AB =,
所以ADB ABD ∠=∠,
所以PCD PCE ∠=∠.
由已知PAB PEB ∠=∠, PAB PDC ∠=∠,
所以PDC PEC ∠=∠, 且PC PC =,
所以PDC PEC ∆≅∆, 所以PD PE =.
(2) 因为PBA ACB ∠=∠, PAB BAC ∠=∠
所以ABC ∆∽APB ∆, 则
)(2PC AP AP AC AP AB -=⋅=, 所以
)(22BD PD PD PB PD PC AP AB AP +=⋅=⋅=- 又因为AB PD =, 1=AB , 所以3222=⋅=-BD AB AB AP
, 所以322+=AP . 所以262+=
AP
.
考点：三角形相似与全等的证明以及圆的相关性质.
23．（1）2cos ρθ=；（2）线段PQ 的长为2.
【解析】
试题分析：（1）由圆C 的参数方程1cos (sin x y ϕϕϕ=+⎧⎨=⎩为参数），化为普通方程为()2211x y -+=，
利用cos ,sin x y ρθρθ==，即得圆C 的极坐标方程；（2）求线段PQ 的长，由于,,O P Q 三点共线，故PQ OP OQ =-，可设P ()11,ρθ，Q ()22,ρθ，则12PQ ρρ=-，关键是求出12
,ρρ的值，由1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩可求得1ρ
的值，由2222sin()33πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可求得2ρ的值，从而可解.
试题解析：（1）圆
C 的普通方程为()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=；
1 （2）设()11,ρθ为点P 的极坐标，则有1112cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得
1113ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，设()22,ρθ为点Q 的极坐
标，2222sin()33πρθπθ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得
2233ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，由于12θθ=，所以122PQ ρρ=-=，所以线段PQ 的长为2.
考点：参数方程，普通方程，与极坐标方程互化，极坐标方程的应用.
24．24m ≤<．
【解析】
试题分析：根据已知求得p ⌝，q ⌝对应的集合A B ，，因为p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，所以可得A B ⊂列的等式关系．
试题解析：由|3|2x -≤得15x ≤≤，所以p ：15x ≤≤，p ⌝：1x <或5x >．
由()()110x m x m -+--≤得11m x m -≤≤+，
所以q ：11m x m -≤≤+，q ⌝：1x m <-或1x m >+．
因为p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，所以1151m m ≤-⎧⎨>+⎩
， 解得24m ≤<，所以实数m 的取值范围为24m ≤<．
考点：1．解不等式；2．利用充分必要条件求参数．
欢迎访问“高中试卷网”——。