华东师大初中数学九年级上册二次根式的乘除法-知识讲解(提高)

二次根式的乘除法—知识讲解（提高）
责编:康红梅
【学习目标】
1、掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.
2、了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
【要点梳理】
知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1。

乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
;
≥0，≥0，…..≥0）;
(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.
2.积的算术平方根
（a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：（a≥0，b>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..
要点诠释：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，a≥0，b>0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
（a≥0，b>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
【典型例题】
类型一、二次根式的乘除
【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例9 （2），（3）】
1. 计算：（1
）
×（﹣2）÷． （2）221282a a a a
a a ÷⨯ 【答案与解析】
解：（1
）
×（﹣2）÷ =
×（﹣2
）× =
﹣
=
﹣
=﹣．
(2)原式=221282a a a a a a
÷⨯ 22
2222222222224 2.a a a a a a a a a a a
=÷⨯=⨯
⨯= 【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例9 （4）】
【变式】b b a b a x x
b a -÷+⋅-5433622222 【答案】原式=22225214633a b x a b x a b b
--⨯⨯⋅÷+ =225()()552263()21812a b a b x b b b x a b a b -+⋅⋅==+-
2.计算 (1)·(-)÷(m ＞0，n ＞0)；
(2)-3÷()× (a＞0).
【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算.【答案与解析】
(1)原式=-÷=-==-；
(2)原式=-2=-2=- a.
【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.
举一反三：
【变式】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．
【答案】由题意得，即
∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8
∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=
∴当x=8时，原式的值==6．
类型二、最简二次根式
3.已知0<a<b,化简
22
3223
2
a b b ab a
a b a b a b
+-+
-+
.
【答案与解析】原式=
2
22
()
()
a b b a
a b a b a b
+-
-+
=
1()
()()
a b b a a b
a b ab a b a b
+-⨯+
⨯
-++
=
1
a b ab
-+
【总结升华】2a a
=成立的条件是a>0;若a<0,则2a a
=-.
4. （2016•黄石）观察下列等式：
第1个等式：a1==﹣1，
第2个等式：a2==﹣，
第3个等式：a3==2﹣，
第4个等式：a4==﹣2，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第n个等式：a n= ；
（2）a 1+a 2+a 3+…+a n = ．
【思路点拨】（1）根据题意可知，a 1==﹣1，a 2==﹣，a 3==2﹣，a 4==﹣2，…由此得出第n 个等式：a n ==﹣； （2）将每一个等式化简即可求得答案．
【答案与解析】
解：（1）∵第1个等式：a 1==﹣1， 第2个等式：a 2==﹣， 第3个等式：a 3=
=2﹣， 第4个等式：a 4==﹣2， ∴第n 个等式：a n ==﹣； （2）a 1+a 2+a 3+…+a n
=（
﹣1）+（﹣）+（2﹣）+（﹣2）+…+（﹣）
=﹣1． 故答案为=﹣；﹣1． 【总结升华】此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
举一反三： 【变式】若2323
+-的整数部分是a ，小数部分是b ，求22a ab b -+的值. 【答案】
2(23)(23)==2+3=7+43(23)(23)++-+原式（） 又因为整数部分是a ，小数部分是b
则a =13，b =436-
22221313(436)(436)a ab b ∴-+=-⨯-+-=3311003-。