2013届高考数学(理)一轮复习课件坐标系与参数方程-1坐标系
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[思路点拨] 将直线和圆的极坐标方程化为直角 坐标方程，再进行计算．
[解] 由圆ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ， ∵xy＝＝ρρscionsθθ，∴ρ2＝x2＋y2， 所以圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0的
直角坐标方程分别为x2＋y2＝2x，3x＋4y＋a＝0. 将圆的方程配方得(x－1)2＋y2 ＝1，
[变式探究2] [2011·江西]已知一条曲线的极坐标方 程为ρ＝2sinθ ＋4cosθ ，以极点为原点，极轴为x轴正半 轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_____．
答案：x2＋y2－4x－2y＝0
解析：将ρ＝2sinθ＋4cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝ 2ρsinθ＋4ρcosθ，∴曲线的直角坐标方程为x2＋y2
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的 最小值．
π
解：(1)把极坐标系下的点P(4， 2 )化为直角坐标， 得P(0，4)．
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4 ＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为
( 3 cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为d＝
[变式探究3] [2012·江苏模拟]极坐标系中，过圆ρ ＝6cosθ 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ________．
解析：解法一：圆ρ＝6cosθ的圆心极坐标(3，0)， ∴直线l方程为ρcosθ＝3. 解法二：由ρ2＝6ρcosθ得x2＋y2＝6x，圆心C(3，
0)， ∴过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为x＝3，其
[规律总结] 在坐标变换公式中，点(x′，y′)是变换 后的点的坐标，利用方程思想合理代入即可求解．
[变式探究1] [教材改编]方程x2＋y2＝1对应的图形 x′＝4x
经过伸缩变换y′＝32y 后，对应图形的方程为________．
答案：1x62 ＋y92＝1 4
解析：将
x＝14x′ y＝23y′
2.柱坐标系 在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的 OOzz轴 ，可得空间柱坐标系． 设P是空间一点，P在过O且垂直于Ox的平面上的 射影为Q，取OQ＝ρ，∠xOQ＝θ ，OP＝z，那么，点 P的柱坐标为有序数组((ρρ，，θθ ，，zz))．
四、求曲线的极坐标方程的基本步骤 第一步建立适当的极坐标系 ； 第二步在在曲曲线线上上任任取取一一点P(ρ，θ )； 第三步根据曲曲线线上上的的点点所所满满足足的的条条件件写写出出等等式式； 第四步用极极坐坐标标ρρ，，θθ 表表示示上上述述等等式式，，并并化化简简得得极极坐坐 标方程； 第五步证明所得得的的方方程程是是曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程．
4．[2011·福建]在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x －y＋4＝0，曲线C的参数方程为xy＝＝sin3αcosα (α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单 位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极 坐标为(4，π2 )，判断点P与直线l的位置关系；
第十三章 坐标系与参数方程
第1课时 坐标系
考纲下载 1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情 况． 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和 平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标 的互化． 3.能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的 圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的 方程．
二、极坐标系 1.基本概念 在平面上取一个定点O，自点O引一射线Ox，同时确 定一个长度单位和计计算算角角度度的正方向(通常取逆时针方向 为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，点O 称为 极点，射射线线OOxx称为极轴．
2.极径与极角 设M是平面上任一点，ρ 表示OM的长长度度，θ 表示以 射射线线OOxx为始边，射射线线OOMM为终边所成的角，那么，有序数 对(ρ，θ )称为点M的极坐标，其中，ρρ 称为点M的极径， θθ 称为点M的极角．
[解] 取O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标
系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4，设A(ρ0， θ0)，P(ρ，θ)．
∵点A在直线ρcosθ＝4上． ∴ρ0cosθ0＝4.①
π
∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝ 2 ，
而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝π4 ，
∴ρ0＝ 2ρ，且θ0＝θ－π4 .②
请注意！ 从目前参加新课标高考的省份对本部分内容的考查来
看，主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、及常见曲线 的极坐标方程与极坐标方程的简单应用，预测2013年高考在试 题难度、知识点考查等方面，不会有太大的变化．
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 一、直角坐标系 在给定坐标系下，任意一点都有确定的坐标与它对 应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．
∴交点的极坐标为( 2，3π4 )．
2．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ
＝
π 3
，ρ
cos
θ ＋ρ sinθ ＝1围成图形的面积是________．
答案：3－4 3
解析：三条直线在直角坐标系下
的方程依次为y＝0，y＝ 3x，x＋y＝1.
由图可知：S△POQ＝
1 2
·|OQ|·|yP|＝
1 2
×
3．[2011·北京]在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ 的圆 心的极坐标是( )
A．(1，π2 ) C．(1，0)
B．(1，－π2 ) D．(1，π )
答案：B
解析：把圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋ y2＋2y＝0，得圆心的直角坐标为(0，－1)，故选B.
4．[2011·安徽]在极坐标系中，点(2，
(3)极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．在直角 坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐 标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯 一，因此点与极坐标是“一对多”的关系．但不同的极 坐标可以写出统一的表达式．如果(ρ，θ )是点M的极坐 标，那么(ρ ，θ ＋2kπ )或(－ρ，θ ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都 可以作为点M的极坐标.
创新演练·当堂冲关
1. [2010·广东]在极坐标系(ρ，θ )(0≤θ<2π)中，曲 线ρ＝2sinθ 与ρcosθ ＝－1的交点的极坐标为________．
答案：( 2，3π4 )
解析：∵ρ＝2sinθ，∴x2＋y2＝2y. ∵ρcosθ＝－1，∴x＝－1，∴两曲线交点的直
角坐标为(－1，1)．
得到xy′′＝＝123yx，由于A(x，y)为(13，－2)，
∴x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，
∴A′的坐标为(1，－1)．
(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，则 x＝13x′ ，将 y＝2y′
xy＝＝213yx′′代入y＝6x得2y′＝6×(13x′)，即y′＝x′， ∴直线l′的方程为y＝x.
把②代入①，
得点P的轨迹的极坐标方程为 2ρcos(θ－π4)＝4. 由 2ρcos(θ－π4 )＝4得ρ(cosθ＋sinθ)＝4.
∴点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4，0)且
倾斜角为3π4 的直线．
[规律总结] 1.建立适当极坐标帮助分析问题． 2．掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的 形式，对提高解题速度至关重要．
5 3
π
，4)，则它的
直角坐标为________．
答案：(1，－ 3，4)
解析：设直角坐标为(x，y，z)则x＝ρcosθ＝1， y＝ρsinθ＝－ 3，故所求坐标(1，－ 3，4)．
高考测点典例研习
直角坐标系中的伸缩变换
例1 [教材改编]在同一平面直角坐标系中，已知伸 缩变换φ：x2′y′＝＝y3. x，
(1)求点A(13，－2)经过φ变换所得的点A′的坐标； (2)求直线l：y＝6x，经过φ变换后所得的直线l′的方 程．
[思路点拨]
利用
x′＝λx y′＝μy
，应注意分清(x，y)和
(x′，y′)分别指变换前后伸缩变换φ：
x′＝3x 2y′＝y
π 3
)到圆ρ＝
2cosθ 的圆心的距离为( )
A．2
B. 4＋π9 2
C. 1＋π9 2
D. 3
答案：D
π
解析：点(2， 3 )化为直角坐标为(1， 3 )，方程ρ＝
2cosθ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，故圆心为(1，0)，
则点(1， 3)到圆心(1，0)的距离为 3，故选D.
5．[教材改编]设点M的柱坐标(2，
依题意，得圆心C(1，0)到直线的距离为1，即 |3＋43×2＋04＋2 a|＝1，整理，得|3＋a|＝5， 解得a＝2或a＝－8.所以实数a的值为2或－8.
[规律总结] 直线和圆的极坐标方程的综合性问题多 是以直线和圆的位置关系(如相切或相交)为考查重点，通 常将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程解决．
极坐标方程为ρcosθ＝3.
思想方法导悟
1.方法与技巧
(1)极坐标方程与普通方程互化核心公式
x＝ρ cosθ y＝ρsinθ
ρ 2＝x2＋y2
， tanθ
＝xy（x≠0）.
(2)常用图形如圆，直线等的极坐标方程．
2．失误与防范 (1)极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单 位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可． (2)由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0， 2π ]时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ )(ρ≠0)建 立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角 可取任意角．
＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.
极坐标的应用
例3 [2012·广东模拟]如图，点A 在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直 角三角形，△OPA的顶角为 ∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程，并判断轨迹形状．
[思路点拨] 以O为极点建立极坐标系，写出 点P的极坐标方程，再化为直角坐标方程即可．
1×
3＋3 1＝3－4
3 .
3．已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρcosθ ＝3，
ρ
＝4cosθ
(ρ≥0，0≤θ
π <2
)，则曲线C1与C2交点的极坐
标为________．
答案：(2 3，π6)
解析：把两极坐标方程联立得cos2θ＝34.
π
π
π
又0≤θ< 2 ，∴θ＝ 6 ，ρ＝2 3.故填(2 3， 6 )．
三、球坐标系与柱坐标系 1.球坐标系 在空间任取一点O作为极点，从O引两条互相垂直的射 线Ox和Oz作为极 极轴 ，再规定一个单位长度和射线Ox绕Oz 轴旋转所成的角的正方向 ，这样就建立了一个球坐标系． 设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ 表示以Ox为 始边，OP为终边的角，φ 表示半平面xOz到半平面POz的 角．那么，有序数组(r，θ ，φ )就称为点P的球坐标．
|
3cosα－sinα＋4|＝2cos（α＋π6）＋4＝
2
2
2cos(α＋
π6 )＋2 2，由此得，当cos(α＋π6 )＝－1时，d取得最
xy＝＝2－＋1t－t(t为参数)所表示的图形分别是(
)
A．直线、直线
B．直线、圆
C．圆、圆
D．圆、直线
答案：D
解析：由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此
方程所表示的图形是圆．
消去方程
x＝－1－t y＝2＋t
中的参数t可得，x＋y－1＝0，此
方程所表示的图形是直线．
代入x2＋y2＝1中得：(
1 4
x′)2＋
(23y′)2＝1，∴x1′6 2＋y′9 2＝1， 4
∴1x62 ＋y92＝1为所求的方程．故填1x62 ＋y92＝1.
4
4
极坐标与直角坐标的互化
例2 [2010·江苏]在极坐标系中，已知圆ρ＝ 2cosθ 与直线3ρcosθ ＋4ρ sinθ ＋a＝0相切，求实数 a的值．
■ ·考点自测· ■
1. [2010·北京]极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表
示的图形是( )
A．两个圆
B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
答案：C 解析：原方程等价于ρ＝1或θ＝π，前者是半径 为1的圆，后者是一条射线．
2．[2010·湖南]极坐标方程ρ＝cosθ 和参数方程
[解] 由圆ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ， ∵xy＝＝ρρscionsθθ，∴ρ2＝x2＋y2， 所以圆ρ＝2cosθ与直线3ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0的
直角坐标方程分别为x2＋y2＝2x，3x＋4y＋a＝0. 将圆的方程配方得(x－1)2＋y2 ＝1，
[变式探究2] [2011·江西]已知一条曲线的极坐标方 程为ρ＝2sinθ ＋4cosθ ，以极点为原点，极轴为x轴正半 轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为_____．
答案：x2＋y2－4x－2y＝0
解析：将ρ＝2sinθ＋4cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝ 2ρsinθ＋4ρcosθ，∴曲线的直角坐标方程为x2＋y2
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的 最小值．
π
解：(1)把极坐标系下的点P(4， 2 )化为直角坐标， 得P(0，4)．
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4 ＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为
( 3 cosα，sinα)，从而点Q到直线l的距离为d＝
[变式探究3] [2012·江苏模拟]极坐标系中，过圆ρ ＝6cosθ 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ________．
解析：解法一：圆ρ＝6cosθ的圆心极坐标(3，0)， ∴直线l方程为ρcosθ＝3. 解法二：由ρ2＝6ρcosθ得x2＋y2＝6x，圆心C(3，
0)， ∴过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为x＝3，其
[规律总结] 在坐标变换公式中，点(x′，y′)是变换 后的点的坐标，利用方程思想合理代入即可求解．
[变式探究1] [教材改编]方程x2＋y2＝1对应的图形 x′＝4x
经过伸缩变换y′＝32y 后，对应图形的方程为________．
答案：1x62 ＋y92＝1 4
解析：将
x＝14x′ y＝23y′
2.柱坐标系 在平面极坐标系的基础上，增加垂直于此平面的 OOzz轴 ，可得空间柱坐标系． 设P是空间一点，P在过O且垂直于Ox的平面上的 射影为Q，取OQ＝ρ，∠xOQ＝θ ，OP＝z，那么，点 P的柱坐标为有序数组((ρρ，，θθ ，，zz))．
四、求曲线的极坐标方程的基本步骤 第一步建立适当的极坐标系 ； 第二步在在曲曲线线上上任任取取一一点P(ρ，θ )； 第三步根据曲曲线线上上的的点点所所满满足足的的条条件件写写出出等等式式； 第四步用极极坐坐标标ρρ，，θθ 表表示示上上述述等等式式，，并并化化简简得得极极坐坐 标方程； 第五步证明所得得的的方方程程是是曲曲线线的的极极坐坐标标方方程程．
4．[2011·福建]在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x －y＋4＝0，曲线C的参数方程为xy＝＝sin3αcosα (α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单 位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极 坐标为(4，π2 )，判断点P与直线l的位置关系；
第十三章 坐标系与参数方程
第1课时 坐标系
考纲下载 1.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情 况． 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和 平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标 的互化． 3.能在极坐标系中给出简单图形(直线、过极点或圆心在极点的 圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的 方程．
二、极坐标系 1.基本概念 在平面上取一个定点O，自点O引一射线Ox，同时确 定一个长度单位和计计算算角角度度的正方向(通常取逆时针方向 为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，点O 称为 极点，射射线线OOxx称为极轴．
2.极径与极角 设M是平面上任一点，ρ 表示OM的长长度度，θ 表示以 射射线线OOxx为始边，射射线线OOMM为终边所成的角，那么，有序数 对(ρ，θ )称为点M的极坐标，其中，ρρ 称为点M的极径， θθ 称为点M的极角．
[解] 取O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标
系，则直线x＝4的极坐标方程为ρcosθ＝4，设A(ρ0， θ0)，P(ρ，θ)．
∵点A在直线ρcosθ＝4上． ∴ρ0cosθ0＝4.①
π
∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝ 2 ，
而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0，以及∠POA＝π4 ，
∴ρ0＝ 2ρ，且θ0＝θ－π4 .②
请注意！ 从目前参加新课标高考的省份对本部分内容的考查来
看，主要考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、及常见曲线 的极坐标方程与极坐标方程的简单应用，预测2013年高考在试 题难度、知识点考查等方面，不会有太大的变化．
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 一、直角坐标系 在给定坐标系下，任意一点都有确定的坐标与它对 应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置．
∴交点的极坐标为( 2，3π4 )．
2．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ
＝
π 3
，ρ
cos
θ ＋ρ sinθ ＝1围成图形的面积是________．
答案：3－4 3
解析：三条直线在直角坐标系下
的方程依次为y＝0，y＝ 3x，x＋y＝1.
由图可知：S△POQ＝
1 2
·|OQ|·|yP|＝
1 2
×
3．[2011·北京]在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ 的圆 心的极坐标是( )
A．(1，π2 ) C．(1，0)
B．(1，－π2 ) D．(1，π )
答案：B
解析：把圆的极坐标方程化为直角坐标方程为x2＋ y2＋2y＝0，得圆心的直角坐标为(0，－1)，故选B.
4．[2011·安徽]在极坐标系中，点(2，
(3)极坐标与直角坐标的重要区别：多值性．在直角 坐标系中，点与直角坐标是“一对一”的关系；在极坐 标系中，由于终边相同的角有无数个，即点的极角不唯 一，因此点与极坐标是“一对多”的关系．但不同的极 坐标可以写出统一的表达式．如果(ρ，θ )是点M的极坐 标，那么(ρ ，θ ＋2kπ )或(－ρ，θ ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都 可以作为点M的极坐标.
创新演练·当堂冲关
1. [2010·广东]在极坐标系(ρ，θ )(0≤θ<2π)中，曲 线ρ＝2sinθ 与ρcosθ ＝－1的交点的极坐标为________．
答案：( 2，3π4 )
解析：∵ρ＝2sinθ，∴x2＋y2＝2y. ∵ρcosθ＝－1，∴x＝－1，∴两曲线交点的直
角坐标为(－1，1)．
得到xy′′＝＝123yx，由于A(x，y)为(13，－2)，
∴x′＝3×13＝1，y′＝12×(－2)＝－1，
∴A′的坐标为(1，－1)．
(2)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，则 x＝13x′ ，将 y＝2y′
xy＝＝213yx′′代入y＝6x得2y′＝6×(13x′)，即y′＝x′， ∴直线l′的方程为y＝x.
把②代入①，
得点P的轨迹的极坐标方程为 2ρcos(θ－π4)＝4. 由 2ρcos(θ－π4 )＝4得ρ(cosθ＋sinθ)＝4.
∴点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4，0)且
倾斜角为3π4 的直线．
[规律总结] 1.建立适当极坐标帮助分析问题． 2．掌握常见的圆、直线、圆锥曲线的极坐标方程的 形式，对提高解题速度至关重要．
5 3
π
，4)，则它的
直角坐标为________．
答案：(1，－ 3，4)
解析：设直角坐标为(x，y，z)则x＝ρcosθ＝1， y＝ρsinθ＝－ 3，故所求坐标(1，－ 3，4)．
高考测点典例研习
直角坐标系中的伸缩变换
例1 [教材改编]在同一平面直角坐标系中，已知伸 缩变换φ：x2′y′＝＝y3. x，
(1)求点A(13，－2)经过φ变换所得的点A′的坐标； (2)求直线l：y＝6x，经过φ变换后所得的直线l′的方 程．
[思路点拨]
利用
x′＝λx y′＝μy
，应注意分清(x，y)和
(x′，y′)分别指变换前后伸缩变换φ：
x′＝3x 2y′＝y
π 3
)到圆ρ＝
2cosθ 的圆心的距离为( )
A．2
B. 4＋π9 2
C. 1＋π9 2
D. 3
答案：D
π
解析：点(2， 3 )化为直角坐标为(1， 3 )，方程ρ＝
2cosθ化为普通方程为x2＋y2－2x＝0，故圆心为(1，0)，
则点(1， 3)到圆心(1，0)的距离为 3，故选D.
5．[教材改编]设点M的柱坐标(2，
依题意，得圆心C(1，0)到直线的距离为1，即 |3＋43×2＋04＋2 a|＝1，整理，得|3＋a|＝5， 解得a＝2或a＝－8.所以实数a的值为2或－8.
[规律总结] 直线和圆的极坐标方程的综合性问题多 是以直线和圆的位置关系(如相切或相交)为考查重点，通 常将直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程解决．
极坐标方程为ρcosθ＝3.
思想方法导悟
1.方法与技巧
(1)极坐标方程与普通方程互化核心公式
x＝ρ cosθ y＝ρsinθ
ρ 2＝x2＋y2
， tanθ
＝xy（x≠0）.
(2)常用图形如圆，直线等的极坐标方程．
2．失误与防范 (1)极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单 位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可． (2)由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0， 2π ]时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ )(ρ≠0)建 立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角 可取任意角．
＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.
极坐标的应用
例3 [2012·广东模拟]如图，点A 在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直 角三角形，△OPA的顶角为 ∠OPA(O，P，A依次按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程，并判断轨迹形状．
[思路点拨] 以O为极点建立极坐标系，写出 点P的极坐标方程，再化为直角坐标方程即可．
1×
3＋3 1＝3－4
3 .
3．已知曲线C1、C2的极坐标方程分别为ρcosθ ＝3，
ρ
＝4cosθ
(ρ≥0，0≤θ
π <2
)，则曲线C1与C2交点的极坐
标为________．
答案：(2 3，π6)
解析：把两极坐标方程联立得cos2θ＝34.
π
π
π
又0≤θ< 2 ，∴θ＝ 6 ，ρ＝2 3.故填(2 3， 6 )．
三、球坐标系与柱坐标系 1.球坐标系 在空间任取一点O作为极点，从O引两条互相垂直的射 线Ox和Oz作为极 极轴 ，再规定一个单位长度和射线Ox绕Oz 轴旋转所成的角的正方向 ，这样就建立了一个球坐标系． 设P是空间一点，用r表示OP的长度，θ 表示以Ox为 始边，OP为终边的角，φ 表示半平面xOz到半平面POz的 角．那么，有序数组(r，θ ，φ )就称为点P的球坐标．
|
3cosα－sinα＋4|＝2cos（α＋π6）＋4＝
2
2
2cos(α＋
π6 )＋2 2，由此得，当cos(α＋π6 )＝－1时，d取得最
xy＝＝2－＋1t－t(t为参数)所表示的图形分别是(
)
A．直线、直线
B．直线、圆
C．圆、圆
D．圆、直线
答案：D
解析：由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2－x＝0.此
方程所表示的图形是圆．
消去方程
x＝－1－t y＝2＋t
中的参数t可得，x＋y－1＝0，此
方程所表示的图形是直线．
代入x2＋y2＝1中得：(
1 4
x′)2＋
(23y′)2＝1，∴x1′6 2＋y′9 2＝1， 4
∴1x62 ＋y92＝1为所求的方程．故填1x62 ＋y92＝1.
4
4
极坐标与直角坐标的互化
例2 [2010·江苏]在极坐标系中，已知圆ρ＝ 2cosθ 与直线3ρcosθ ＋4ρ sinθ ＋a＝0相切，求实数 a的值．
■ ·考点自测· ■
1. [2010·北京]极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表
示的图形是( )
A．两个圆
B．两条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
答案：C 解析：原方程等价于ρ＝1或θ＝π，前者是半径 为1的圆，后者是一条射线．
2．[2010·湖南]极坐标方程ρ＝cosθ 和参数方程