数学人教版九年级上册二次函数与最高利润问题
人教版九年级上册数学二次函数与商品利润问题
解：设油价定为x元/L时获利y元， 则y＝(x－4.1)200－x－0.41.1×20 ＝－200(x－4.6)2＋50. ∵4.1≤x≤4.5，
∴当x＝4.5时，y最大值＝－200×(4.5－4.6)2＋50＝48， 即油价定为4.5元/L时，每天获利最大，最大获利为48
元．
例2 为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型 的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温 杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每 天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系：
练习
1．教材P51 习题22.3第2题． 2．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个
售出时，每天能卖出20个；若这种商品在一定范围内
每降价1元，每日销量就增加1个．为了获得最大利润
，则应该降价( A )
A．5元
B．10元
C．15元
D．20元
3．某商品单个利润y(元)与变化的单价x(元)之间的关
其中， 0≤x≤30.
根据上面的函数，填空： 当x=__5__时，y最大，也就是说，在涨价的情况下
，涨价__5__元，即定价__6_5_元时，利润最大，最大利 润是_6_2_5_0_。
（2）在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（ 1）的讨论，自己得出答案。
由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道 应如何定价能使利润最大了吗？
解：(1) y甲＝1.5×80%·x＋900＝1.2x＋900(x≥500)； y乙＝1.5x＋900×60%＝1.5x＋540(x≥500)； (2) 由题意，得1.2x＋900＝1.5x＋540，解得x＝1 200. ∴当印刷1 200份时，两个印刷厂费用一样；当印刷数 量大于1 200份时，甲印刷厂费用少；当印刷数量大于 500小于1 200份时，乙印刷厂费用少．
人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计
人教版九年级数学上册22.3.2《二次函数与最大利润问题》教学设计一. 教材分析《二次函数与最大利润问题》这一节内容，是在学生学习了二次函数的基础上进行的。
教材通过实例引出二次函数在实际问题中的应用，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。
同时，本题也是中考的热点题型，对于学生来说，理解和掌握二次函数在最大利润问题中的应用，对于提高他们的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，求最大利润问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在最大利润问题中的应用。
2.能够列出二次函数表示的生产成本函数，并求出最大利润。
3.培养学生的应用意识和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在最大利润问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，并求解最大利润。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过实例引导学生主动探究二次函数在最大利润问题中的应用，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
同时，辅以小组合作学习，让学生在讨论中加深对知识的理解。
六. 教学准备1.准备相关的实例，用于引导学生探究二次函数在最大利润问题中的应用。
2.准备PPT，用于展示问题和解答过程。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出本节内容：某工厂生产一种产品，固定成本为8000元，每生产一件产品的成本为200元，售价为300元，问工厂每月生产多少件产品时，可以获得最大利润？2.呈现（10分钟）引导学生将实际问题转化为数学问题，列出二次函数表示的生产成本函数和利润函数。
设每月生产x件产品，利润函数为：y = 300x - 200x - 8000 = 100x - 8000。
3.操练（10分钟）让学生尝试求解最大利润，引导他们发现这是一个二次函数的最大值问题。
人教版九年级数学上册第22章 二次函数 二次函数与商品利润问题
某商店经营衬衫，已知获利（元）与销售单价（元）之间满
足关系式 = − + + ，则销售单价定为多少元时，
获利最多？最多获利为多少元？
自主探究
请同学们阅读课本50页探究2. 请同学们思考：
(1)调价包括哪几种情况? (涨价和降价两种)
(2)先来讨论涨价的情况.
①设每件涨价x元，你能否用含x的式子表示单件的利润和销售数量?
− = −( − )² + .
故当 = 时，W最大，为125.
答：当销售单价为13万元时，利润最大，最大利润为125万元.
变式 为满足市场需求，某超市在“端午节”来临前夕，购进一种品
牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根
据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700
例1 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以
自行定价．若每件商品售价为 x 元，则可卖出（350-10x）件商
品，那么卖出商品所赚钱数y（元）与每件售价x（元）之间的
函数解析式为(
B)
A.y=-10x²-560x+7 350
C.y=-10x²+350x
B.y=-10x²+560x-7 350
− .当 =
× − × − −
× −
−
× −
= 时， 最大 =
= ，即当每盒售价定为60
元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润为8 000元.
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子每盒的售价不得高
盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数
数学九年级人教版第二课时二次函数最大利润问题ppt课件
要
点
分
类
练
知识点 2
“每……每……”的销售利润问题
3.将进货价为70元/件的某种商品按零售价100元/件出售时
每天能卖出20件,若这种商品的零售价在一定范围内每降价
1元/件,其日销售量就增加1件,为了获得最大利润,决定每件
降价x元,则单件的利润为
元,每天的销售量为
(30-x)
(20+x) 件,则每天的利润y(元)关于x(元)的函数关系式是
把(280,40),(290,39)代入,得
1
=- ,
280 + = 40,
10
解得
290 + = 39,
= 68,
1
∴y 与 x 之间的函数解析式为 y=- x+68(200≤x≤320).
10
规
律
方
法
综
合
练
(2)当每个房间每天的定价定为多少时,宾馆每天所获利润最
大?最大利润是多少元?
A.2500元
B.47500元
C.50000元
D.250000元
[解析] 因为抛物线的对称轴为直线x=500,在对称轴左侧,y随x的
增大而增大,因此在0<x≤450的范围内,当x=450时,函数有最大值
为47500.
规
律
方
法
综
合
练
6.(2021鄂尔多斯)鄂尔多斯市某宾馆共有50个房间供游客居
住,每个房间每天的定价不低于200元且不超过320元.如果
(1)求y与x之间的函数解析式(不必写出自变量的取值范围);
解:(1)根据题意,得y=300-10(x-60)=-10x+900.
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
人教版九年级上册22.3实际问题与二次函数(最大利润问题)(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数在最大利润问题中的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在学生小组讨论环节，虽然学生们提出了很多有见地的观点，但我感觉他们在分析问题和解决问题的能力上还有待提高。为此，我计划在今后的教学中，多设计一些开放性的问题，引导学生深入思考，培养他们的逻辑思维和分析能力。
总之，在本次教学过程中，我深刻认识到了自身在教学方法和策略上的不足，也看到了学生在学习过程中遇到的困难。在今后的教学中，我将不断调整和改进，努力提高教学效果，让每个学生都能在数学学习的道路上取得更好的成绩。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-二次函数模型的建立：如何根据问题的具体情境，正确地建立二次函数模型，包括确定自变量和因变量，理解函数中各个参数的实际意义。
-实际问题与数学模型的关联：将实际问题抽象成数学模型，理解数学模型背后的实际背景，以及如何将数学结果应用到实际问题中去。
举例：在农产品销售问题中，重点在于让学生理解售价、销售量和成本之间的关系，并将其表达为二次函数的形式。
人教版初三数学上册二次函数与实际问题——最大利润问题
解：设每箱售价为x元时获得的总利润为W元.
w =(x-40) [300-10(x-60)] (40<x<90)
=(x-40)(900-10x) =-10x2+1300x-36000 =-10(x2-130x)-36000 =-10［(x-65)2-4225)-36000 =-10(x-65)2+6250
提示：要注意题目中的隐含条件。
再见
=- 10（x-20）2 +9000 (0 ≤ x≤50 ，且为整数 )
答：定价为70元/个，此时利润 最高为9000元.
解应用题的一般步骤？
第一步：设未知数(单位名称); 第二步：根据相等关系列出列出方程； 第三步：解这个方程，求出未知数的值； 第四步：检查求得的值是否符合实际意义； 第五步：写出答案（及单位名称）。
3、学会将实际问题转化为数学 问题.
想一想
(1) y＝２x2＋４x＋５
1.进价：购进商品时的价格（有时也叫成本价） 2.售价：在销售商品时的售出价（有时也叫成交价，卖出价） 3.标价：在销售时标出的价（有时称原价，定价） 4.利润：在销售商品的过程式中的纯收入，在教材中，我们就
规定 ： 利润 = 售价 - 进价 5.利润率：利润占进价的百分率，即利润率 = 利润÷进价×100﹪ 6.打折：卖货时，按照标价乘以十分之几或百分之几十，则称
当x=65时，y的最大值是6250.
答：定价为65元时，利润最大为6250
问题4 在问题3中已经对涨价情况作了解答，
定价为65元时利润最大.
降价也是一种促销手段，请你对问题中的降价
情况做出解答
若设每件降价后售价为x元,则降价为（60-x）元，
九年级数学人教版(上册)第2课时 二次函数与商品利润
(2)在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为 了增大 B 型水杯的销售量，超市决定对 B 型水杯进行降价销售，当 销售价为 44 元时，每天可以售出 20 个，每降价 1 元，每天将多售 出 5 个．请问超市将 B 型水杯降价多少元时，每天售出 B 型水杯的 利润达到最大？最大利润是多少？
∴当 x＝32 时，W 取最大值，W 最大＝2 880；
当 32＜x≤40 时，W＝(x－8)y＝120(x－8)＝120x－960. ∵120＞0，∴W 随 x 的增大而增大． ∴当 x＝40 时，W 最大＝3 840. ∵3 840＞2 880， ∴最大利润为 3 840 元．
类型 2 “每……每……”的销售利润问题 4．将进货价为 70 元/件的某种商品按零售价 100 元/件出售时， 每天能卖出 20 件．已知这种商品的零售价在一定范围内每降低 1 元， 其日销售量就增加 1 件，为了促销，决定对其降价 x 元销售，则每 件的利润为 (30－x) 元，每日的销售量为 (20＋x) 件，每日的利润 y ＝ －x2＋10x＋600(0≤x≤30，且x为整数) 写出自变量的取值范 围)，所以当每件降价 5 元时，每日获得的利润最大，为 625 元．
解：设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b，由题意，得 226400＝ ＝2380kk＋ ＋bb， ，解得kb＝ ＝－ 5401.0， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－10x＋540.
(2)设遮阳伞每天的销售利润为 w(元)，当销售单价定为多少元时， 才能使每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
7．(2021·怀化)某超市从厂家购进 A，B 两种型号的水杯，两次
购进水杯的情况如表：
进货批次 A 型水杯/个 B 型水杯/个 总费用/元
人教版初三数学上册二次函数与最大利润问题(作业及答案)
第2课时 二次函数与最大利润问题1．烟花厂为扬州“烟花三月”国际经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h (m)与飞行时间t (s)的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1，若这种礼炮在最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )A ．3 sB ．4 sC ．5 sD ．6 s2．某旅行社有100张床位，每床每晚收费20元时，客床可全部租出，若每床每晚每次收费提高4元时，则减少10张床位租出；以每次提高4元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( )A ．8元或12元B ．8元C ．12元D ．10元3．出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝___元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．4．将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价__ 元．5．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7 000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不是一天时，按整天计算)．设销售单价为x 元，日均获利为y 元，那么：(1)y 关于x 的二次函数关系式为_ _；(2)当销售单价定为____元时，日均获利最大，日均获利最大为___元．6．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖出10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？7．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y(件)与销售价格x(元/件)满足一个以x为自变量的一次函数．(1)求y与x满足的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P最大？8．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x辆车，日收益为y元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．(1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为________元(用含x的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆车时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？9．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图22－3－6所示的关系：图22－3－6(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？10．水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足如图22－3－7所示的一次函数关系．图22－3－7①求y与x之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)第2课时 二次函数与最大利润问题（答案）1．烟花厂为扬州“烟花三月”国际经贸旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h (m)与飞行时间t (s)的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1，若这种礼炮在最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( B )A ．3 sB ．4 sC ．5 sD ．6 s【解析】 当t ＝－b 2a 时，即t ＝－202×⎝⎛⎭⎫－52＝4(s)时，礼炮升到最高点，故选B. 3．某旅行社有100张床位，每床每晚收费20元时，客床可全部租出，若每床每晚每次收费提高4元时，则减少10张床位租出；以每次提高4元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚应提高( C )A ．8元或12元B ．8元C ．12元D ．10元【解析】 设每床每晚应提高x 元，则减少出租床x 4·10张，所获利润y ＝(20＋x )⎝⎛⎭⎫100－x 4·10，即y ＝－52x 2＋50x ＋2 000＝－52(x －10)2＋2 250. 由x 是4的正整数倍和抛物线y ＝－52(x －10)2＋2 250关于x ＝10对称可知，当x ＝8或x ＝12时，获利最大，又因为出租床位较少时，投资费用少，故选C.3．出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝__4__元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．【解析】 依题意得y ＝x (8－x )＝－(x －4)2＋16，当x ＝4时，y 取得最大值．4．将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加1个，为获得最大利润，应降价__5元__．【解析】 设降价x 元，所获利润为y 元，则有y ＝(100－70－x )(20＋x )＝－x 2＋10x ＋600＝－(x －5)2＋625.当x ＝5时，y 值最大，故应降价5元．5．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7 000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于每千克30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克．在销售过程中，每天还要支出其他费用500元(天数不是一天时，按整天计算)．设销售单价为x元，日均获利为y元，那么：(1)y关于x的二次函数关系式为__y＝－2x2＋260x－6__500(30≤x≤70)__；(2)当销售单价定为__65__元时，日均获利最大，日均获利最大为__1__950__元．【解析】(1)当销售单价为x元时，实际降价了(70－x)元，日均销售量为千克，日均获利为x－30－500＝(x－30)－500，所以y＝(x－30)－500＝－2x2＋260x－6 500(30≤x≤70)．(2)因为y＝－2x2＋260x－6 500＝－2(x－65)2＋1 950，所以当销售单价定为65元时，日均获利最大，最大利润为1 950元．6．某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖出10件(每件售价不能高于72元)，设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？解：(1)依题意有y＝(60＋x－50)(200－10x)(0<x≤12且x为整数)，即y＝－10x2＋100x＋2 000(0<x≤12且x为整数)．(2)y＝－10x2＋100x＋2 000＝－10(x2－10x)＋2 000＝－10(x－5)2＋2 250，∴当x＝5时，y有最大值2 250，即当每件商品的售价定为65元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2 250元．7．在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每件按29元的价格销售时，每天能卖出21件．假定每天销售件数y (件)与销售价格x (元/件)满足一个以x 为自变量的一次函数．(1)求y 与x 满足的函数关系式(不要求写出x 的取值范围)；(2)在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每天获得的利润P 最大？解：(1)设y 与x 满足的函数关系式为：y ＝kx ＋b由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧36＝24k ＋b 21＝29k ＋b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3b ＝108. 故y 与x 的函数关系式为：y ＝－3x ＋108.(2)每天获得的利润为：P ＝(－3x ＋108)(x －20)＝－3x 2＋168x －2 160＝－3(x －28)2＋192.故当销售价定为28元时，每天获得的利润最大．8．某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元时，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4 800元．设公司每日租出x 辆车，日收益为y 元(日收益＝日租金收入－平均每日各项支出)．(1)公司每日租出x 辆车时，每辆车的日租金为________元(用含x 的代数式表示)；(2)当每日租出多少辆车时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？(3)当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？解：(1)1 400－50x ；(2)y ＝x (－50x ＋1 400)－4 800＝－50x 2＋1 400x －4 800＝－50(x －14)2＋5 000，当x ＝14时，在0≤x ≤20范围内，y 有最大值5 000，∴当每日租出14辆时，租赁公司日收益最大，最大是5 000元．(3)要使租赁公司日收益不盈也不亏，则y ＝0，即－50(x －14)2＋5 000＝0，解得x 1＝24，x 2＝4，但x 2＝24不合题意，舍去，∴当每日租出4辆时，租赁公司日收益不盈也不亏．9．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x (元/件)与每天销售量y (件)之间满足如图22－3－6所示的关系：图22－3－6(1)求出y 与x 之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．由所给函数图象得⎩⎪⎨⎪⎧130k ＋b ＝50150k ＋b ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝180 ∴函数关系式为y ＝－x ＋180.(2)W ＝(x －100)y ＝(x －100)(－x ＋180)＝－x 2＋280x －1 8000＝－(x －140)2＋1 600，当售价定为140元时，W 最大＝1 600.∴售价定为140元/件时，每天最大利润W ＝1 600元．10．水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2元，发现原来买这种水果80千克的钱，现在可买88千克．(1)现在实际购进这种水果每千克多少元？(2)王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)满足如图22－3－7所示的一次函数关系．图22－3－7①求y 与x 之间的函数关系式；②请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？(利润＝销售收入－进货金额)解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a 元，根据题意，得：80(a ＋2)＝88a解之得：a ＝20答：现在实际购进这种水果每千克20元．(2)①∵y 是x 的一次函数，设函数关系式为y ＝kx ＋b将(25，165)，(35，55)分别代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝16535k ＋b ＝55 解得：k ＝－11，b ＝440∴y ＝－11x ＋440②设最大利润为W 元，则W ＝(x －20)(－11x ＋440)＝－11(x －30) 2＋1 100∴当x ＝30时，W 最大值＝1 100答：将这种水果的单价定为每千克30元时，能获得最大利润1 100元．。
数学人教版九年级上册二次函数与商品利润问题
2.（云南中考）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水 果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓， 规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40 元，经试销发现，销售量y（千克）与销售单价x（元）符合 一次函数关系，如图是y与x的函数关系图象． （1）求y与x的函数解析式； （2）设该水果销售店试销草莓获得的 利润为W元，求W的最大值．
例1.已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：如调整 价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件。该商品应定价为多少元时，商场能获得最大利润？
解：设每件定价x元，每星期总利润为y元 2 则y=(x-40)[300-l0（x-60）]= -l0x +1300x-36 000 2 = - 10（x-65） +6250 ∵900-l0x≥0且x≥0 ∴60≤x≤90． ∴当x=65时，y最大是6250． 答：商品定价65元时，利润最大，最大利润是6250元．
1、选择恰当的自变量，根据题意列出函数解析式； 2、由实际情况的条件，求出自变量的取值范围；
3、根据自变量的取值范围和二次函数性质，求出函 数的最大最小值。
：已知某商品的进价为每件40元，售价是 每件60元，每星期可卖出300件。市场调查反 映：如调整价格，每降价1元，每星期可多卖 出20件。设该商品每件降价x元,商场销售该商 品每周总利润为y元，则： 20-x 该商品每件利润为_____________ 元； 300+20x 该商品的销量为_______________ 件； 商场销售该商品每周总利润 2 y=___________________________________ (20-x)(300+20x)=-20x +100x+6000 0≤x≤20 ； 自变量的取值范围是_______________.
数学人教版九年级上册二次函数尚品利润问题
(2)第几月销售这种水果，每千克所获的利润最大？最大利润是多少？
设 y1＝kx＋b，∵函数 y1 的图象过两点(4，11)，(8，10)，
1 k＝－ ， 4k＋b＝11， 4 ∴ 解得 8k＋b＝10， b＝12.
1 ∴y1 的解析式为 y1＝－ x＋12 4
设这种水果每千克所获得的利润为 w 元． 1 63 1 3 33 则 w＝y1－y2＝(－ x＋12)－( x2－x＋ )＝－ x2＋ x＋ ， 4 8 8 8 4 8 ∴当 x＝=3 时，w 取最大值 21 4 . 21 4 1
回顾：一元二次方程实际问题中 的利润问题。
总利润=一件的利润× 件数（ －费用） 总利润=总收入－总支出（ －费用）
1．天水商品交易会上，某商人将每件进价为 8元的纪念品，按每件9元出售，每天 可售 出20件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提 价1 元，每天的销售量会减少4件． (1)写出每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式； (2)每件售价定为多少元，才能使一天所得的利润最大？最大利润是多少元？
答：第 3 月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是
元/千克．
1．某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该商店可以自行定 价．若每件商品售价为x元，则可卖出(赚钱y元与售价x元之间的函数关系为( B
A．y＝－10x2－560x＋7 350 B．y＝－10x2＋560x－7 350 C．y＝－10x2＋350x D．y＝－10x2＋350x－7 350
25 应为________ 元．
4 ．某服装店购进单价为 15 元童装若干件，销售一 段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售 出8件，而当销售价每降低 2元，平均每天能多售
初中数学人教九年级上册第二十二章二次函数-商品利润最大问题
适时小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : ➢求出函数解析式和自变量的取值范围
➢配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
➢检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必 须在自变量的取值范围内 。
例3：某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件 ，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的
当x1=51时，y1=－2x+160=－2×51+160= 58(件) 当x2=59时，y2=－2x+160= －2×59+160= 42(件)
∴若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商品 售价为51元或59元，当月的销售量分别为58件或42件.
变式：(1)若该商品售价在40～70元之间变化，根据例
最大利润是1250元.
（3）若4月份该商品销售后的总利润为1218元，则该商 品售价与当月的销售量各是多少？
解：∵当40≤x≤50时， Q最大= 1200＜1218 当50≤x≤70时， Q最大= 1250＞1218
∴售价x应在50~70元之间.
∴令：－2(x－55)2 +1250=1218
解得：x1=51，x2=59
调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的 总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则 此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大 ∴当x最大= 50时，Q最大= 1200 答：此时每月的总利润最多是1200元.
300
6000
涨价销售
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二次函数求最大利润问题的教学设计
大具中学和爱萍一、教学目标
（一）知识与能力目标：
1、能根据实际问题建立二次函数的关系式，并能将其二次函数的一般式灵活的转化成二次函数的顶点式，并通过顶点式绘制出二次函数的草图，然后结合实际问题确定其符合实际情况的最值，增强学生解决实际问题的能力。
2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。
(二)过程与方法
通过对销售中最大利润问题的探究，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体会数学来源于生活，服务于生活的本质，探索并解决不同情况下的最大值问题，进而提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
(三)情感态度与价值观
1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。
增进对数学的理解和学好数学的信心。
2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。
二、教学重点与难点
（一）教学重点
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识通过画二次函数的草图的方式求出实际问题的最值。
（二）教学难点
当二次函数关系式中的自变量有特定的取值范围的条件下，确定其最大值进而解决实际问题
三、教学方法
利用多媒体通过设置丰富的问题情境，与先前学过的二次函数的知识点相结合，鼓励学生进行探索和交流与思考，让学生亲自经历知识的形成过程。
四、教学引入
在对二次函数的研究中，我们研究了二次函数的图象和性质，并利用二次函数的性质来绘制草图，进而求该二次函数的顶点坐标和最大（小）值。
那我们知道数学来源于生活又服务于生活。
常言道：“取之有道，用之有道”，应用我们所学的数学知识来解决生活中的实际问题是我们学习的重点，也是我们考试的重点。
今天我们就来学习如何利用二次函数的有关知识来解答销售问题中的最大利润。
那“怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。
二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。
因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。
1、首先我们一起看一下下面的几幅图：
教师用多媒体的方式呈现，学生通过教师的引导来观察、思考并回答（生活中处处与我们现在学习的二次函数的最大、最小值息息相关）。
2、求y=-2χ²+4χ-5的顶点坐标
教学过程：请班里的两位同学上黑板来通过把该二次函数化成顶点式然后画草图的方法求该函数的顶点坐标和最大值。
其他同学在草稿纸上完成，教师则认真的在课堂上批改学生的做题过程。
等学生做完以后教师通过ppt的演示来和同学们一起来验证黑板上同学的做题过程正确与否，并进行详细的讲解。
解:y=-2（χ²-2χ+2.5 ）
y=-2（χ²-2χ+1²-1²+2.5）
y=-2[（χ-1）²+1.5]
y=-2（χ-1）²_3
草图的绘制过程可参考ppt。
3、某商店经营一批进价每件为2元的小商品，在市场营销的过程中现：如果该商品按每件最低价3元出售，日销售量为18件，如单价每提高1元，日销量则减少2件，设销售单价为χ元，日销售量为y（件）。
（1）写出日销售量y（件）与销售单价χ（元）之间的函数关系式（2）设日销售的总利润为Y（元），求出总利润Y（元）与销售单价χ（元）之间的函数关系式
（3）当销售单价为多少元时日销售的利润最高？最高为多少？
教学过程：1、教师通过复习一元二次方程中关于销售问题中的两个等量关系：单个利润=单个售价－单个进价，总利润=单个利润×总数量，来引入课题。
2、教师让学生通过读题目的方式来审题，而教师通过分析题目和学生一起完成第一个问题的解答，然后通过提示的方式让学生完成第二和第三个问题的解答（教师则可利用多媒体的方式来完成解答）。
3、解：提高的价格减少的数量日销售量
1 2 18-2
2 2×2 18-2×2
3 3×2 18-3×2
4 4×2 18-4×2
... ... ...
（x-3）（x-3）×2 18-（x-3）×2
（1）y=18-（x-3）×2 ∴y=-2x+24
（2）Y=单个利润×总数量
∴ Y=（x-2）×（-2x+24）
Y=-2χ2+28χ-48
（3）Y=-2χ2+28χ-48
Y=-2（χ2-14χ+24）
Y=-2[χ2-14χ+72-72+24]
Y=-2[（χ- 7）2- 25]
Y=-2（χ-7）2+50
草图则教师用ppt来演示。
五、课堂小结
本节课经历了探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会了二次
函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值。
学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力。
六、板书设计
（一）1、单个利润=单个售价－单个进价
2、总利润=单个利润×总数量
（二）1、求出函数解析式并将此解析式配方成顶点式
2、通过平移的规律“左加右减”“上加下减” 绘制出二次函数的
草图;
3、通过草图及自变量的取值范围确定其最值
七、课后练习
某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，若每箱以50元的价格出售，则平均每天销售90箱，如果价格每提1元，平均每天则少销售3箱（1）求平均每天销售量y（单位：箱）与销售价x（单位：元）之间的函数关系式
（2）求该批发商平均每天的销售利润w（单位：元）与销售价x（单位：元）之间的函数关系式
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？且最大的利润为多少元？
八、教学反思。