高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.1 两角和与差的正弦函数素材 北师大版必修4

3.2.1 两角和与差的正弦函数
例题分析
“问题是数学的心脏”，在两角和与差的三角函数的学习中，面对这一节公式较多，题型也多情况下，有必要整理本节的知识结构，减少学习困难和压力，下面是我把这一节书归结为以下主要问题，进行教学，引导学生解决问题。

一 公式的内在联系问题
1)
2)
在此基础上,我让学生从C )(βα+这个公式推导其它所有公式,并写成小论文形式． 两角和与差三角函数公式，倍角公式是学好这一节内容的关键，对于公式教多情况下，不易记忆，这就有必要指导学生发现公式的内在联系，这样能帮助学生理解和记忆公式，并且培养了学生的逻辑思维能力和创新能力．
二．典型例题分析
()()();22 1 1B A cos A
sin B A sin +-+化简例 ()().cos ,tan ,cos ,的值求为锐角、已知β-=β-α=αβα3
154 2 思路分析：角度变换是三角恒等变换的首选方法，解答本例要注意对题中角间的关系进
行分析，如（1）中有2A ＋B ＝（A ＋B ）＋A ，（2）中有β＝α－（α－β），抓住了这些
关系后，再恰当地运用公式，问题便不难
解决了．
（2）解法一：
.sin ,cos ,5
3 54=α∴=αα是锐角Θ .,2
2 π<β-α<π-∴βα为锐角、又Θ ()可求出,3
1tan -=-βαΘ ()(),10
10sin ,10103cos -=-=-βαβα ()[]
()()
.10509 1010531010354 sin sin cos cos cos cos =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⋅=-+-=--=∴βααβααβααβ
,5
4cos , :=αα是锐角解法二Θ .tan ,sin 4
353=α=α∴ ()[]
()()
.913314313143 tan tan 1tan tan tan tan =⋅-+=-+--=
--=∴βααβααβααβ 又∵β是锐角，
.1050
9cos =∴β 点评：对角间的关系进行分析，主要是分析它们之间的和、差、倍、分关系，以便通过角度变换，减少不同角的个数．它实际上是一种基本量方法，即把题中某些角作为基本量，其他角用基本量表示出来，达到变形的目的．
()()()()()()sin 2cos sin : 1 sin sin cos cos sin sin sin sin sin .
sin A B A A B A A A B A A B A A A B A A B
A ++-+=+-+=
+-=
=⎡⎤⎣⎦⎡⎤⎣⎦解原式
例2 （1）如果方程()102
≠=++c c bx x 的两根为tan α、tan β，求 ()()()()βαβαβαβα++++++22cos cos sin sin c b 的值；
（2）在非直角△ABC 中，求证：tanA ＋tanB ＋tanC ＝tanA ·tanB ·tanC ．
思路分析：观察（1）中待求式特点，须先求出α＋β的一个三角函数值，由韦达定理和和角正切公式特点，可先求tan （α＋β）．根据（2）中恒等式的结构特点，可利用和角正切公式的变形tan α＋tan β＝tan （α＋β）（1－tan αtan β）将左边的正切和转化为右边的正切积．
解：（1）由韦达定理，得
⎩
⎨⎧=⋅-=+.tan tan ,tan tan c b βαβα ().1 tan tan 1tan tan tan c
b --=-+=+∴βαβ
αβα ()()()[]()()()[]
()()()()()[]().
1111 1111 tan tan tan 11
tan tan cos 2
222222
22222222c c c b c b c c c c b c b b c c c b c
b =--+⋅+--=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--=++++⋅++=++++⋅+=∴βαβαβαβαβαβα原式 （2）∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，
()()().
tan tan tan tan tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan tan tan C B A C
B A
C C B A B A C
B A ⋅⋅=+⋅--=+⋅-+=++∴ 点评：含α、β两角的正切和与正切积的式子，用和、差角正切公式的变形比较容易处理．
例3 化简
().8sin 15sin 7sin 8sin 15cos 7sin 1︒
︒-︒︒︒+︒ ()().50cos 50sin 2110tan 3180sin 50sin 2 2︒︒+︒
+︒+︒
思路分析：对于（1），三个角的关系非常明显，结合和、差角三角函数公式的特点，易进行角度变换7°＝15°－8°．对于（2），一方面应由诱导公式将80°角变换成10°的角，另一方面应将切化成弦．
()()()().
32311
3 45tan 60tan 145tan 60tan 4560tan 15tan 8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin 815cos 8sin 15cos 815sin 1 :-=+-=︒︒+︒-︒=
︒-︒=︒=︒
︒︒︒=︒
︒-︒-︒︒
︒+︒-︒=原式解
()()()().
32311
3 45tan 60tan 145tan 60tan 4560tan 15tan 8cos 15cos 8cos 15sin 8sin 15sin 815cos 8sin 15cos 815sin 1 :-=+-=︒︒+︒-︒=
︒-︒=︒=︒
︒︒︒=︒
︒-︒-︒︒
︒+︒-︒=原式解
点评：数值角三角式的化简，在变形过程中应注意产生特殊角，并设法将非特殊的三角函数值约掉或消掉．
例4 已知△ABC 中的三内角A 、B 、C 成等差数列，且
B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求2cos C A -的值．
思路分析：本题中角间关系较为隐蔽，注意到260C A B +=︒=，而22C A C A A -++=，22C A C A C --+=．取2
C A -作为基本量，就找到了解决本题的突破口． 解：由已知，B ＝60°，A ＋C ＝120°
则设,2
α=-C A ,602
2α+︒=-++=C A C A A .6022α-︒=--+=
C A C A C ()()
.4
3cos cos sin 43cos 41cos sin 2
3cos 211sin 23cos 211 60cos 160cos 1 cos 1cos 1 222-=-=++-=-︒++︒=+αααααααααααC
A 故
22cos 243
cos cos 2-=-=-B
αα
依题设有 ,cos cos :023224 2=-α+α整理得
()()
.cos cos 032222=+α-α ,cos 0322≠+αΘ
.cos 022=-α∴
.C A cos 2
22=-故 点评：本题实际上是把题设等式看成一个方程，上述解法体现了方程思想的应用．
例5 已知2
1cos cos ,31sin sin =
--=-βαβα，α、β都是锐角，求tan （α－β）的值．
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-21cos cos 31sin sin :βαβα由错解 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=β+βα-α=β+βα-α②①得 412 912 2222cos cos cos cos sin sin sin sin ()361322 =
β-α-+cos ②得①()7259cos =-∴βα 22π
βαπ<-<-又()()721703cos 1sin 2±
=--±=-∴βαβα ()()()59
1703cos sin tan ±=--=-βαβαβα故 点评：上述错解未挖掘出角的隐含条件．事实上，由于α、β为锐角，且
031sin sin <-=-βα，可知α－β＜0，于是有02
<-<-βαπ． ()591703 :-=β-αtan 正解。