八年级上册莆田数学全册全套试卷模拟训练(Word版 含解析)

八年级上册莆田数学全册全套试卷模拟训练（Word版含解析）
一、八年级数学三角形填空题（难）
1．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a-b-c|-|a+c-b|=__________．
【答案】2b-2a
【解析】
【分析】
【详解】
根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，
∴原式=﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)=﹣a+b+c﹣a﹣c+b=2b﹣2a．
故答案为2b﹣2a
【点睛】
本题考查了绝对值得化简和三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，据此解答即可.
2．一个多边形的内角和是外角和的7
2
倍，那么这个多边形的边数为_______.
【答案】9
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．【详解】
解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n-2）•180°=7
2
×360°，
解得：n=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
3．已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|-|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|=______．
【答案】3a b c
--
【解析】
【分析】
根据三角形的三边关系判断绝对值内式子的正负，然后利用绝对值的性质去掉绝对值，再去括号合并同类项即可．
【详解】
解：∵a、b、c为△ABC的三边，
∴a+b＞c，a-b＜c，a+c＞b，
∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0，
∴|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+c|
=(a+b-c)+(a-b- c)+(a-b+c)
=a+b-c+a-b- c+a-b+c
=3a-b-c．
故答案为：3a-b-c．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系定理和利用绝对值的性质进行化简，利用三角形的三边关系得出绝对值内式子的正负是解决此题的关键．
4．等腰三角形一边长是10cm，一边长是6cm，则它的周长是_____cm或_____cm．
【答案】22cm,26cm
【解析】
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为10cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】
（1）当腰是6cm时，周长＝6+6+10＝22cm；
（2）当腰长为10cm时，周长＝10+10+6＝26cm，
所以其周长是22cm或26cm．
故答案为：22，26．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度．
【答案】108°
【解析】
【分析】
如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角
∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可
【详解】
∵五边形是正五边形，
∴每一个内角都是108°，
∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，
∴∠COD=36°，
∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.
故答案为108°
【点睛】
本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键.
6．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
【答案】360°．
【解析】
【分析】
根据多边形的外角和等于360°解答即可．
【详解】
由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
故答案为360°．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
二、八年级数学三角形选择题（难）
7．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边形的对角线共有（）
A．104条B．90条C．77条D．65条
【答案】C
【解析】
【分析】
n边形的内角和是(2)180
n-︒，即内角和一定是180度的整数倍，即可求解，据此可以求
出多边形的边数，在根据多边形的对角线总条数公式
()3
2
n n-
计算即可．
【详解】
解：
2
210018011
3
÷=，则正多边形的边数是11+2+1=14．
∴这个多边形的对角线共有
()()
314143
==77
22
n n--
条．
故选：C．
【点睛】
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理；要注意每一个内角都应当大于0︒而小于180度．同时要牢记多边形
对角线总条数公式
()3
2
n n-
．
8．已知△ABC的两条高的长分别为5和20，若第三条高的长也是整数，则第三条高的长的最大值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】设△ABC的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为,,，根
据三角形的三边关系为，解得，所以h的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．故选B．
点睛：本题主要考查了三角形的面积公式，三角形三边关系定理及不等式组的解法，有一定难度．利用三角形的面积公式，表示出△ABC三边的长度，从而运用三角形三边关系定理，列出不等式组是解题的关键，难点是解不等式组．
9．在下列图形中，正确画出△ABC的AC边上的高的图形是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
△ABC的AC边上的高的就是通过顶点B作的AC所在直线的垂线段，根据定义即可作出判断．
【详解】
解：△ABC的AC边上的高的就是通过顶点B作的AC所在直线的垂线段．根据定义正确的只有C．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的高线的定义，理解定义是关键．
10．以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A．2 cm、3cm、5cm B．2 cm、3 cm、4 cm
C．3 cm、5 cm、9 cm D．8 cm、4 cm、4 cm
【答案】B
【解析】
【分析】
三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立．
【详解】
A、2+3=5，故本选项错误．
B、2+3＞4，故本选项正确．
C、3+5＜9，故本选项错误．
D、4+4=8，故本选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形．
的高的是（）
11．如下图，线段BE是ABC
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据高的画法知，过点B 作AC 边上的高，垂足为E ，其中线段BE 是△ABC 的高．
【详解】
解：由图可得，线段BE 是△ABC 的高的图是D 选项；
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的高线的画法，掌握三角形的高的画法是解题的关键．
12．小明把一副直角三角板如图摆放，其中90,45,30C F A D ∠=∠=︒∠=︒∠=︒，则a β∠+∠等于( )
A ．180︒
B ．210︒
C ．360︒
D ．270︒
【答案】B
【解析】
【分析】 根据三角形外角性质分别表示出∠α与∠β，然后进一步计算即可.
【详解】
如图所示，利用三角形外角性质可知：
∠α=∠1+∠D，∠β=∠4+∠F，
∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠4+∠F，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠α+∠β=∠2+∠D+∠3+∠F
=90°+30°+90°
=210°，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质的运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、八年级数学全等三角形填空题（难）
13．如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A 时，点F运动的路径长是________．
【答案】8
【解析】
【分析】
作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，易证E点和E’点重合，则∠FGD=∠DEP=90°；由
∠EDB+∠PDF=90°可知∠EDP+∠GFD=90°，则易得∠EPD=∠GDF，再由PD=DF易证
△EPD≌△GDF，则可得FG=DE，故F点的运动轨迹为平行于BC的线段，据此可进行求解.【详解】
解：作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，由BD=4、BE=2与∠B=60°可知DE⊥AB，即∠
∵DE’⊥AB，∠B=60°，
∴BE’=BD×1
=2，
2
∴E点和E’点重合，
∴∠EDB=30°，
∴∠EDB+∠PDF=90°，
∴∠EDP+∠GFD=90°=∠EDP+∠DPE ，
∴∠DPE=∠GFD
∵∠DEP=∠FGD=90°，FD=GP ，
∴△EPD ≌△GDF ，
∴FG=DE ，DG=PE ，
∴F 点运动的路径与G 点运动的路径平行，即与BC 平行，
由图可知，当P 点在E 点时，G 点与D 点重合，
∵DG=PE ，
∴F 点运动的距离与P 点运动的距离相同，
∴F 点运动的路径长为：AB-BE=10-2=8，
故答案为8.
【点睛】
通过构造垂直线段构造三角形全等，从而确定F 点运动的路径，本题有一些难度.
14．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

【答案】45︒
【解析】
【分析】
根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+
由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠=
根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=︒
易得∠M 的度数。

【详解】
在ABM 中，2∠是ABM 的外角
∴2M MAB ∠∠∠=+
由三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=︒
∵BOA 90∠=︒
∴OBA OAB 90∠∠+=︒
∵MA 平分BAO ∠
∴BAO 2MAB ∠∠=
由三角形内角与外角的关系可得12BAO BOA 90BAO ∠∠∠∠∠+=+=︒+ ∵12∠∠=
∴2290BAO ∠∠=︒+
又∵2M MAB ∠∠∠=+
∴222M 2MAB 2M BAO ∠∠∠∠∠=+=+
∴90BAO 2M BAO ∠∠∠︒+=+
2M 90∠=︒
M 45∠=︒
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和。

15．如图，在△ABC 中，AB =AC ＝10，BC ＝12，AD 是角平分线，P 、Q 分别是AD 、AB 边上的动点，则BP ＋PQ 的最小值为_______．
【答案】9.6
【解析】
∵AB=AC ，AD 是角平分线，
∴AD ⊥BC ，BD=CD ，
∴B 点，C 点关于AD 对称，
如图，过C 作CQ ⊥AB 于Q ，交AD 于P ，
则CQ=BP+PQ 的最小值，
根据勾股定理得，AD=8，
利用等面积法得：AB ⋅CQ=BC ⋅AD ，
∴CQ=
BC AD AB ⋅=12810
⨯=9.6 故答案为：9.6. 点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ 是解本题的关键.
16．已知AD 是△ABC 的边BC 上的中线，若AB = 4，AC = 6，则AD 的取值范围是
___________．
【答案】15AD <<
【解析】
延长AD 到点E ，使DE=AD ，连接BE ，则可用SAS 证明△DAC ≌△DEB ，所以BE=AC. △ABE 中，BE-AB ＜AE ＜BE+AB ，即6-4＜AE ＜6+4，所以2＜AE ＜10.又AE=2AD ，所以2＜2AD ＜10，则1＜AD ＜5.
故答案为1＜AD ＜5.
点睛：本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当题目中有三角形的中线时，如果需要添加辅助线，一般考虑把中线延长一倍（通常称“倍中线法”），构造全等三角形，将已知条件或要解决的问题集中到一个三角形中.
17．如图，AD=AB,∠C=∠E,AB=2，AE=8，则DE=_________.
【答案】6
【解析】
根据三角形全等的判定“AAS ”可得△ADC ≌△ABE ，可得AD=AB=2，由AE=8可得DE=AE-AD=6.
故答案为：6.
点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、SSA 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
18．如图：△ABC 中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD ，CE ⊥CD ，且CE=CD ，连接BD ，
DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；其中正确的是_________
【答案】①②③
【解析】
如图，（1）∵AC=AD，∠
CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=1803075
2
-
=，
∵CE⊥DC，∴∠DCE=90°，∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=165°.故①正确；
（2）由（1）可知：∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACD≌△BCE，∴BE=AD=BC.故②正确；
（3）延长AD交BE于点F，∵△ACD≌△BCE，∴∠2=∠CAD=30°，
∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠3=45°，∴∠1=∠CAB-∠CAD=15°，
∴∠AFB=180°-∠1-∠2-∠3=90°，∴AD⊥BE.故③正确；
综上所述：正确的结论是①②③.
四、八年级数学全等三角形选择题（难）
19．如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【解析】
分析：由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS 得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
详解：①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE，即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中，CB＝CD，∠BCE＝∠DCG，CE＝CG，
∴△BCE≌△DCG，
∴BE=DG，
故结论①正确.
②如图所示，设BE交DC于点M，交DG于点O.
由①可知，△BCE≌△DCG，
∴∠CBE=∠CDG，即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO，∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC，∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO，
∴∠DOM=∠MCB=90°，
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示，连接BD、EG，
由②知，BE⊥DG，
则在Rt△ODE中，DE2=OD2+OE2，
在Rt△BOG中，BG2=OG2+OB2，
在Rt△OBD中，BD2=OD2+OB2，
在Rt△OEG中，EG2=OE2+OG2，
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=2a2，
在Rt△CEG中，EG2=CG2+CE2=2b2，
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选：D.
点睛：本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.
20．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（）
A．8对B．7对C．6对D．5对
【答案】B
【解析】
【分析】
易证△ABC是关于AF对称的图形，其中的小三角形也关于AF对称，共可找出7对三角形.【详解】
全等的三角形有：①△AFB≌△AFC；②△CEB≌△BDC；③△AEO≌△ADO；
④△EOB≌△DOC；⑤△OBF≌△OFC；⑥△AOB≌△AOC；⑦△AEC≌△ADB
证明①△AFB≌△AFC
∵AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC
又∵
11
22
ABC
S AB CE AC BD
==
∴CE=BD
∴在Rt△BCE和Rt△CBD中
BC BC
CE BD
=
⎧
⎨
=
⎩
∴△BCE≌△CBD
∴BE=CD，∴AE=AD
在Rt△AEO和Rt△ADO中
AE AD
AO AO
=
⎧
⎨
=
⎩
∴△AEO≌△ADO
∴∠EOD=∠DOA
在△BAF和△CAF中
AB AC
BAF CAF
AF AF
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△BAF≌△CAF，得证
其余全等证明过程类似
故选：B
【点睛】
本题考查全等的证明，解题关键是利用等腰三角形的性质，推导出图形中边的关系，为证全等作准备
21．如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）
A．150°B．180°C ．210°D．225°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据SAS可证得ABC≌EDC，可得出BAC DEC
∠∠
=，继而可得出答案，再根据邻补角的定义求解.
【详解】
由题意得：AB ED
=，BC DC
=，D B90
∠∠
==，
ABC
∴≌EDC ，
BAC DEC
∠∠
∴=
，
12180
∠∠
+=．
故选B．
【点睛】
本题考查全等图形的知识，比较简单，解答本题的关键是判断出ABC≌EDC．. 22．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC 分别交于点G，F，H为CG的中点，连结DE、EH、DH、FH．下列结论：①EG=DF；②△EHF≌△DHC；③∠AEH+∠ADH=180°；④若
2
3
AE
AB
=，则
3
13
DHC
EDH
S
S
=．其中结论正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】
分析：①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF-GF=CD-FC=DF；
②由SAS证明△EHF≌△DHC即可；
③根据△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=180°；
④若AE
AB
=
2
3
，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则
∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则
DM=5x，26x，CD=6x，则S△DHC=1
2
×HM×CD=3x2，S△EDH=
1
2
×DH2=13x2．
详解：①∵四边形ABCD为正方形,EF∥AD，
∴EF=AD=CD,∠ACD=45°,∠GFC=90°，
∴△CFG为等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF−GF，DF=CD−FC，
∴EG=DF，故①正确；
②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，
∴FH=CH,∠GFH=1
2
∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，
EF=CD；∠EFH=∠DCH；FH=CH，
∴△EHF≌△DHC(SAS)，故②正确；
③∵△EHF≌△DHC(已证)，
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF−∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正确；
④∵AE
AB
=
2
3
，
∴AE=2BE，
∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH,∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，
EG=DF ；∠EGH=∠HFD ；GH=FH ，
∴△EGH ≌△DFH(SAS)，
∴∠EHG=∠DHF,EH=DH,∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°,
∴△EHD 为等腰直角三角形，
如图，过H 点作HM ⊥CD 于M ，
设HM=x,则DM=5x,DH=26x ，CD=6x ，
则S △DHC =
12×HM×CD=3x 2,S △EDH =12
×DH 2=13x 2， ∴3S △EDH =13S △DHC ，故④正确；
故选D. 点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于根据题意熟练的运用相关性质.
23．如图，点P 、Q 分别是边长为6cm 的等边ABC △边AB 、BC 上的动点，点P 从顶点 A ，点Q 从顶点B 同时出发，且它们的速度都为1cm/s ，下面四个结论：
①BQ AM =②ABQ △≌CAP △③CMQ ∠的度数不变，始终等于60︒④当第 2秒或第4秒时，PBQ △为直角三角形，正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【解析】 ∵点P 、Q 速度相同，
∴AP BQ =．
在ACP △和ABQ △中，
60
AP BQ
CAP ABQ
AC BA
=
⎧
⎪
∠==︒
⎨
⎪=
⎩
，
∴ACP
△≌BAQ
△，故②正确．
则AQC CPB
∠=∠．
即B BAQ BAQ AMP
∠+∠=∠+∠．
∴60
AMP B
∠=∠=︒．
则60
CMQ AMP
∠=∠=︒，故③正确．
∵APM
∠不一定等于60︒．
∴AP AM
≠．
∴BQ AM
≠．故①错误．
设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4-t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得6-t=2t，t=2 ；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（6-t），t=4；
∴当第2秒或第4秒时，△PBQ为直角三角形．
∴④正确.
故选C.
点睛：本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，综合性强，难度较大．
24．在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，ED⊥AB,∠DAE=∠CAE，则∠CAB＝（）
A．30°B．60°C．80 °D．50°
【答案】B
【解析】
试题解析：∵D为AB的中点，ED⊥AB，
∴DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠DAE=∠DBE，
∴∠DAE=∠DBE=∠CAE，
在Rt△ABC中，
∵∠CAB+∠DBE=90°，
∴∠CAE+∠DAE+∠DBE=90°，
∴3∠DBE=90°，
∴∠DBE=30°，
∴∠CAB=90°-∠DBE=90°-30°=60°．
故选B．
五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
25．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .
【答案】3
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明
CAI≅BAJ，求出°
7830
∠=∠=，然后求出
1
2
IF FJ AF
==，，通过设FJ x
=求出x，即可求出AF的长.
【详解】
解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J
在CAE和BAD中
AC AB
CAE BAD
AE AD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴CAE≅BAD
∴ICA ABJ
∠=∠
∴BFE CAB ∠=∠（8字形）
∴°120CFD ∠=
在CAI 和BAJ 中
°90
ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩
∴CAI ≅BAJ ,AI AJ CI BJ ==
∴°60CFA AFJ ∠=∠=
∴°30FAI FAE ∠=∠=
在RtAIF 和RtAJF 中
°30FAI FAE ∠=∠=
∴12
IF FJ AF ==
设FJ x = 7,4CF BF ==
则47x x +=-
3
2x ∴=
2AF FJ =
AF ∴=
3
【点睛】
此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.
26．如图，1AB A B =，1112A B A A =，2223A B A A =，3334A B A A =，…，当2n ≥，70A ∠=︒时，11n n n A A B --∠=__________．
【答案】
1702n -︒ 【解析】
【分析】
先根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出121B A A ∠，232B A A ∠及343B A A ∠的度数，再找出规律即可得出11n n n A A B --∠的度数．
【详解】
解：∵在1ABA ∆中，70A ∠=︒，1AB A B =
∴170BA A A ∠==︒∠
∵1112A A A B =，1BA A ∠是121A A B ∆的外角 ∴12111211703522B A A A B A BA A ︒∠=∠==
=︒∠ 同理可得，2321217017.542B A A BA A ︒∠=
==︒∠，343131708.7582B A A BA A ︒∠===︒∠ ∴111702n n n n A A B ---︒∠=
． 故答案为：
1
702n -︒ 【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据特殊情况找出规律是解题关键．
27．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．
【详解】
延长AB至F，使BF=CN，连接DF．
∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠BCD=∠DBC=20°．
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠DBA=∠DCA=90°．
在Rt△BDF和Rt△CND中，
∵BF=CN，∠DBA=∠DCA，DB=DC，
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．
∵∠MDN=70°，
∴∠BDM+∠CDN=70°，
∴∠BDM+∠BDF=70°，
∴∠FDM=70°=∠MDN．
∵DF=DN，∠FDM=∠MDN，DM=DM，
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键．
28．如图，在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是（1,5）、（5,1），若点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有_____________个
【答案】5
【解析】
【分析】
分别以A、B为圆心，AB为半径画圆，及作AB的垂直平分线，数出在x轴上的点C的数
【详解】
解：由图可知：点 C 在 x 轴上，且 A,B,C 三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的 C 点共有5个
故答案为:5
【点睛】
本题考查了等腰三角形的存在性问题，掌握“两圆一线”找等腰三角形是解题的关键
29．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，E、F分别在BC、CD上，且AB＝BE，AD ＝DF，M为EF的中点，DM＝3，BM＝4，则五边形ABEFD的面积是_____．
【答案】12
【解析】
【分析】
延长BM至G，使MG＝BM，连接FG、DG，证明△BME≌△GMF（SAS），得出FG＝BE，∠MBE＝∠MGF，证出AB＝FG，证明△DAB≌△DFG（SAS），得出DB＝DG，由等腰三角形的性质即可得DM⊥BM，由五边形ABEFD的面积＝△DBG的面积，可求解．
延长BM 至G ，使MG ＝BM ＝4，连接FG 、DG ，如图所示：
∵M 为EF 中点，
∴ME ＝MF ，
在△BME 和△GMF 中，
BM MG BME GMF
ME MF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BME ≌△GMF （SAS ），
∴FG ＝BE ，∠MBE ＝∠MGF ，S △BEM ＝S △GFM ，
∴FG ∥BE ，
∴∠C ＝∠GFC ，
∵∠A +∠C ＝180°，∠DFG +∠GFC ＝180°，
∴∠A ＝∠DFG ，
∵AB ＝BE ，
∴AB ＝FG ，
在△DAB 和△DFG 中，
AB FG A DFG
AD DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DAB ≌△DFG （SAS ），
∴DB ＝DG ，S △DAB ＝S △DFG ，
∵MG ＝BM ，
∴DM ⊥BM ，
∴五边形ABEFD 的面积＝△DBG 的面积＝
12×BG ×DM ＝12
×8×3＝12， 故答案为：12．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定由性质，证明三角形全等是解题的关键．
30．已知等边△ABC中，点D为射线BA上一点，作DE=DC，交直线BC于点E,∠ABC的平分线BF交CD于点F，过点A作AH⊥CD于H，当EDC=30︒，CF=
4
3
，则DH=______．【答案】
2
3
【解析】
连接AF.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°.
∵DE=DC，∠EDC=30°，
∴∠DEC=∠DCE=75°，
∴∠ACF=75°-60°=15°.
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF.
在△ABF和△CBF中，
AB BC
ABF CBF
BF BF
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ABF≌△CBF，
∴AF=CF，
∴∠FAC=∠ACF=15°，
∴∠AFH=15°+15°=30°.
∵AH⊥CD，
∴AH=
1
2
AF=
1
2
CF=
2
3
.
∵∠DEC=∠ABC+∠BDE，∴∠BDE=75°-60°=15°，∴∠ADH=15°+30°=45°，∴∠DAH=∠ADH=45°，
∴DH=AH=2 3 .
故答案为2 3 .
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键，注意辅助线的作法.
六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）
31．如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是（）
A．32°B．64°C．65°D．70°
【答案】B
【解析】
【分析】
此题涉及的知识点是三角形的翻折问题，根据翻折后的图形相等关系，利用三角形全等的性质得到角的关系，然后利用等量代换思想就可以得到答案
【详解】
如图，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置
∠B=∠D=32° ∠BEH=∠DEH
∠1=180︒-∠BEH-∠DEH=180︒-2∠DEH
∠2=180︒-∠D-∠DEH-∠EHF
=180︒-∠B -∠DEH -(∠B+∠BEH)
=180︒-∠B -∠DEH -（∠B+∠DEH）
=180︒-32°-∠DEH -32°-∠DEH
=180︒-64°-2∠DEH
∴∠1-∠2=180︒-2∠DEH -(180︒-64°-2∠DEH)
=180︒-2∠DEH -180︒+64°+2∠DEH
=64°
故选B
【点睛】
此题重点考察学生对图形翻折问题的实际应用能力，等量代换是解本题的关键
32．如图，坐标平面内一点A(2，－1)，O 为原点，P 是x 轴上的一个动点，如果以点P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 的个数为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】 以O 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴有两交点，这两点显然符合题意．以A 点为圆心，OA 为半径作圆与x 轴交与两点（O 点除外）．以OA 中点为圆心OA 长一半为半径作圆与x 轴有一交点．共4个点符合，
33．如图所示，在ABC 中，AC BC =，90ACB ︒∠=，AD 平分BAC ∠，BE AD ⊥交AC 的延长线F ，E 为垂足．则有：①AD BF =；②CF CD =；③AC CD AB +=；④BE CF =；⑤2BF BE =，其中正确结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】D
【解析】
【分析】 利用全等三角形的判定定理及其性质以及等腰三角形的三线合一的性质逐项分析即可得出
答案．
【详解】
解：∵AC BC =，90ACB ︒∠=
∴45CAB ABC ︒∠=∠=
∵AD 平分BAC ∠
∴22.5BAE EAF ︒∠=∠=
∵90EAF F FBC F ︒∠+∠=∠+∠=
∴EAF FBC ∠=∠
∴ADC BFC ≅
∴AD=BF ，CF=CD ，故①②正确；
∵CD=CF，
∴AC+CD=AC+CF=AF
∵67.5F ︒∠=
∵18018067.54567.5ABF F CAB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=
∴AF=AB ，即AC+CD=AB ，故③正确；
由③可知，三角形ABF 是等腰三角形，
∵BE AD ⊥ ∴12
BE BF = 若BE CF =，则30CBF ∠=︒与②中结论相矛盾，故④错误；
∵三角形ABF 是等腰三角形，
∵BE AD ⊥ ∴12
BE BF = ∴BF=2BE ，故⑤正确；综上所述，正确的选项有4个．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是全等三角形的判定定理及其性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．
34．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这个三角形为特异三角形．若△ABC 是特异三角形，∠A=30°，∠B 为钝角，则符合条件的∠B 有（ ）个． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
如下图，当30°角为等腰三角形的底角时有两种情况：∠B=135°或90°，当30°角为等腰三
角形的顶角时有一种情况：∠B=112.5°，所以符合条件的∠B 有三个.
又因为∠B 为钝角，则符合答案的有两个，
故本题应选B.
点睛：因为不确定这个等腰三角形的底边，所以应当以点A 为一个确定点进行分类讨论：①当以B 为顶点时，即以B 为圆心，AB 长为半径画弧交AC 于点D ，构成等腰△BAD ；②当以点A 为顶点时，即以点A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 于点D ，构成等腰△ABD ；或作线段AB 的垂直平分线交AC 于点D 构成等腰△DAB.
35．如图，ABC △，AB AC =，56BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与O 点恰好重合，则∠OEC 的度数为（ ）
A ．132︒
B ．130︒
C ．112︒
D ．110︒
【答案】C
【解析】
【分析】 连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC ，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ，根据翻折的性质可得OE=CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.
【详解】
如图，连接OB 、OC ，
∵56BAC ︒∠=，AO 为BAC ∠的平分线
∴11562822
BAO BAC ︒︒∠=∠=⨯= 又∵AB AC =，
∴()()
11180180566222ABC BAC ︒︒︒︒∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线，
∴OA OB =．
∴28ABO BAO ︒∠=∠=，
∴622834OBC ABC ABO ︒︒︒∠=∠-∠=-=
∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线
∴点О是ABC △的外心，
∴OB OC =，
∴34OCB OBC ︒∠=∠=，
∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合
∴OE CE =，
∴34COE OCB ︒∠=∠=，
在OCE △中，1801803434112OEC COE OCB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线构造出等腰三角形是解决本题的关键.
36．如图，ABC △中，60BAC ∠=︒，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于E ，D 是AE 延长线上一点，且120BDC ∠=︒．下列结论：
①120BEC ∠=︒；②DB DE =；③2BDE BCE ∠=∠．其中所有正确结论的序号有（ ）．
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
【答案】D
【解析】 分析：根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB ，再根据角平分线的定义求出∠EBC+∠ECB ，然后求出∠BEC=120°，判断①正确；过点D 作DF ⊥AB 于F ，DG ⊥AC 的延长线于G ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=DG ，再求出
∠BDF=∠CDG ，然后利用“角边角”证明△BDF 和△CDG 全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=CD ，再根据等边对等角求出∠DBC=30°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义求出∠DBE=∠DEB ，根据等角对等边可得BD=DE ，判断②正确，再求出B ，C ，E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得∠BDE=2∠BCE ，判断③正确．
详解：∵60BAC ∠=︒，
∴18060120ABC ACB ∠+∠=︒-︒=︒，
∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，
∴12EBC ABC ∠=∠，12
ECB ACB ∠=∠， ∴11()1206022
EBC ECB ABC ACB ∠+∠=
∠+∠=⨯︒=︒， ∴180()18060120BEC EBC ECB ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， 故①正确．
如图，过点D 作DF AB ⊥于F ，DG AC ⊥的延长线于G ，
∵BE 、CE 分别为ABC ∠、ACB ∠的平分线，
∴AD 为BAC ∠的平分线，
∴DF DG =，
∴36090260120FDG ∠=︒-︒⨯-︒=︒，
又∵120BDC ∠=︒，
∴120BDF CDF ∠+∠=︒，120CDG CDF ∠+∠=︒．
∴BDF CDG ∠=∠，
∵在BDF 和CDG △中，
90BFD CGD DF DG
BDF CDG ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴BDF ≌()CDG ASA ，
∴DB CD =， ∴1(180120)302
DBC ∠=︒-︒=︒， ∴30DBC DBC CBE CBE ∠=∠+∠=︒+∠，
∵BE 平分ABC ∠，AE 平分BAC ∠，
∴ABE CBE ∠=∠，1302
BAE BAC ∠=
∠=︒， 根据三角形的外角性质， 30DEB ABE BAE ABE ∠=∠+∠=∠+︒，
∴DEB DBE ∠=∠，
∴DB DE =，故②正确．
∵DB DE DC ==，
∴B 、C 、E 三点在以D 为圆心，以BD 为半径的圆上，
∴2BDE BCE ∠=∠，故③正确，
综上所述，正确结论有①②③，
故选：D ．
点睛：本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，圆内接四边形的判定，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半性质，综合性较强，难度较大，特别是③的证明．
七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）
37．将多项式24x +加上一个整式，使它成为完全平方式，则下列不满足条件的整式是( ) A ．4-
B ．±4x
C ．4116x
D ．2116x 【答案】D
【解析】
【分析】
分x 2是平方项与乘积二倍项，以及单项式的平方三种情况，根据完全平方公式讨论求解.
【详解】
解：①当x 2是平方项时，4士4x+x ²=（2士x ）2，则可添加的项是4x 或一4x ； ②当x 2是乘积二倍项时，4+ x 2+
4116x =（2+214x ）2，则可添加的项是4116
x ； ③若为单项式，则可加上-4.
故选：D.
【点睛】
本题考查了完全平方式，比较复杂，需要我们全面考虑问题，首先考虑三个项分别充当中间项的情况，就有三种情况，还有就是第四种情况加上一个数，得到一个单独的单项式，也是可以成为一个完全平方式，这种情况比较容易忽略，要注意.
38．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( )
A ．6
B ．6-
C ．6±
D ．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．
【详解】
解：22x kxy 9y -+是一个完全平方式，
k 6∴-=±，
解得：k 6=±，
故选：C ．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
39．若999999a =，9
90119
b =，则下列结论正确是（ ） A ．a ＜b
B ．a b =
C ．a ＞b
D ．1ab =
【答案】B
【解析】 ()9
9999
99909990909119991111===99999
a b +⨯⨯==⨯， 故选B.
【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.
40．如果多项式29x kx -+能用公式法分解因式，那么k 的值是( )。