电场研究方法的探讨

绵阳师范学院2014届本科毕业设计（论文）
绵阳师范学院
本科生毕业设计（论文）
题目电场研究方法的探讨
专业物理学
院部物理与电子工程学院
学号 ********* 姓名 *** ** 指导教师 ** *** 答辩时间 *************
工作时间：****年***月至2****年**月
电场研究方法探讨
学生:***
指导老师:****
摘要：电场是电荷及变化磁场周围空间里存在的一种特殊物质。

电场这种物质与通常的实物不同，它不是由分子原子所组成，但它是客观存在的，电场具有通常物质所具有的力和能量等客观属性。

电场的基本性质是对放入其中的电荷有作用力，因此可以通过这一性质来研究电场。

放入电场中试探电场性质的电荷称为试探电荷。

试探电荷的电荷量应足够小，使得它被放入电场后不会影响原有电场的分布；另外，它的线度也应足够小，这样才能方便地研究电场中各点的情况。

其中组合法是研究电场的重要方法之一，由已知的典型电场的分布规律，通过组合法能够求解静电场中的复杂问题。

关键词：静电场电势研究组合法
To investigate the field research method
Undergraduate: ******
Supervisor：*********
Abstract：The electric field is a special material charge and variation of the magnetic fieldaround the space. Elec. Electric field this substance different from the usual kind,it is not composed of molecules and atoms, but it is the objective existence, the electric field is usually the material force and energy of objective attributes of.The basic properties of electric field force on the charge is put into them, so we can through this property of electric field. In the electric charge property test in the field known as the test charge. The amount of charge test charge should be small enough, so that it is in the distribution does not affect the original electric field; in addition, the line should also be small enough, so as to facilitate the study of electric field at each point in the. The combination method is one of the important methods to study the distribution of electric field, the electric field of thetypical known, through the combination method to solving the static problem in electric field.
Keywords: electrostatic field study method
电场研究方法探讨 (2)
To investigate the field research method (3)
1.绪论 (1)
2.研究的意义和目的 (1)
2.1研究的意义 (1)
2.2研究的目的 (1)
3.电场强度的研究 (1)
3.1电场强度的概念 (1)
3.1 电场强度的计算 (2)
3.1.1高斯定理求电场强度 (3)
3.1.2 分离变量法求电场 (5)
3.1.3 镜像法求电场 (5)
3.1.4组合法求电场 (7)
4.电势的研究 (11)
4.2 物理意义 (11)
4.3 电路中的电势分析 (11)
4.3.1电路中电势分析的方法 (11)
4.3.2电路中电势分析的应用 (12)
4.4电势的计算 (12)
4.4.1微分法求电势 (12)
4.4.2球内外的电势 (13)
结语 (15)
参考文献： (15)
致谢 (16)
1.绪 论
我们推桌子时，通过手和桌子直接接触，把力作用在桌子上。

马拉车时，通过
绳子和车子直接接触，把力作用在车上。

在这些例子里，力都是存在于直接接触的
物体之间的，这种力的作用，叫做接触作用或近距作用。

但是电力（电荷之间的相
互作用力）、磁力（如磁铁对铁块的吸引力）和重力等几种力，却可以发生在两个相
隔一定距离的物体之间，而在两物体之间并不需要有任何原子、分子组成的物质做
媒介。

那么这些力是怎样传递的呢？
围绕这个问题，在历史上有很长时间的争论。

最后发现，电力和磁力是通过电
场和磁场来作用的。

这样，电场和磁场对于物理学就是很重要的内容。

那么电场和
磁场的研究就摆在我们面前了。

本文通过对电场研究方法的探讨来解决在学习中遇
到的电场和电势方面的问题。

遇到什么样的电场问题用什么样的研究方法来解决比
较合适。

2.研究的意义和目的
2.1研究的意义
电场中电场强度的求解是电场问题中的重要内容， 因此在学习电场时掌握求解
电场中电场强度和电势的方法尤为重要。

本文在此总结了一些电场强度和电势的计
算方法能够对同学在求解电场强度和电势时具有一定的借鉴意义。

2.2研究的目的
在以往的学习中，同学们普遍认为计算电场强度和电势是一件困难的事情，以
致使同学们失去了学习的兴趣。

通过阅读一些资料，并在其中总结出一些方法，希
望能使同学们能够掌握电场强度和电势的计算方法，使同学们找到学习的兴趣。

3.电场强度的研究
3.1电场强度的概念
电场的最基本性质是对放入其中的电荷会产生力的作用，电场强度就是从电荷在
电场受力的角度出发来描述静电场的，它是描述静电场本身特性的一个物理量，其定义式为q
F E =。

公式表明电场中某点的电场场强等于位于该点的单位正试验电荷所受的电场力。

我们在理解这个概念时应注意三点：（1）在电场中某点，不同试验电荷在该点所
受的力不同，但F q 的值却是不变的，但同一试验电荷在电场中不同点，其F q
的值一般不同，由此可见，
F q （即E ）只与激发电场的场源电荷和电场中各点的位置有关，而电场是分布在一定的空间的，所以场强E 是空间位置的函数(,,)E E x y z =。

（2）
在给定电荷分布的电场中，某点电场强度E 的值与试验电荷所受的力和其电
量都无关，也就是说电场的存在与是否引入试验电荷无关，引入试验电荷只是为了检验电场的存在和讨论电场的性质而已。

（3）电场强度E 是矢量，有大小，有方向，但无正、负之分，其大小由F q
确定，其正方向规定与该点正试验电荷受力的方向相同，与负试验电荷受力方向相反
例一：求点电荷q 所产生的电场中的各点的电场强度。

解：以点电荷q 所在处未O,另取一任意点P （叫做场点），距离op r =，我们设想把一个正试探电0q 放在p 点，根据库仑定律，它受的力为
02014qq F r r πε=， （1） 所以，p 点的场强为 2
014F q E r q r πε== （2） 本题未指明q 的正负，（2）式对两种情况都适用。

若q>0,E 沿r 的方向；若q 《0，E 沿-r 的方向。

在上面的计算中，场点P 是任意的，所以我们已经得出了点电荷q 产生的电场在空间的分布，即（1）E 的方向处处沿以q 为中心的矢径（q>0）或其反方向（q<0）；（2）E 的大小只与距离r 有关，所以在以q 为中心的每个球面上场强的大小相等。

通常说，这样的电场是球对称的。

（2）式还表明，E 与2r 成反比，当r →∞时，0E →。

3.1 电场强度的计算
( 1) 利用定义式求解
由电场强度的定义式可知只需求得两电荷之间的库仑力F 即可，F 由库仑定律给出: 123
04q q F r r πε= 由此可得点电荷的电场强度公式为 304F q E r q r
πε== 可推广到点电荷系和任意带电体的电场分别为 31
1014n n i i i i i q E E r r πε--==∑∑ ()3014L
dl E r r λπε=⎰线分布 ()301E 4s
ds r r σπε=⎰⎰面分布 ()301E 4d r r τρτπε=⎰⎰⎰体分布
其中，λ，σ，ρ 分别为电荷分布线密度、面密度和体密度。

注意，上述三种不同情况的积分要对整个带电体进行; 具体坐标系中，要把 dE →在 x 、y 、z 三个方向的分量写出，并进行积分运算。

总之，利用定义式求电场强度均为已知场源电荷分布求解静电场问题。

3.1.1高斯定理求电场强度
（1）分析电场的分布，要求必须具有某种对称性，如球对称，平面对称和轴对称（或圆柱），即场强在所选的闭合面上各部分的数值相等，才可以应用高斯定理简单的求解出E 。

否则虽然也适合高斯定理，但比较复杂不能求解出E 。

（2）选择适当的曲面作为高斯面，使E 从积分号中提出来。

选择高斯面的原则：①所求场点必须在高斯面上；②使高斯面的各个部分或者电力线垂直，或者与电力线成恒角，而且面上各点场强大小相等，此时E 才能从积分号提出来；③高斯面本身必须是个简单的几何面。

（3）利用公式s s D d S q ∙=∑⎰内
，即D=E ε求出场强E
用高斯定理求电场时需要注意以下问题:
( a) 定理中的是空间某处的总电场强度。

即空间中某处的电场强度为空间中所有电荷所激发的电场在该处场强的矢量和。

( b) 是高斯面内正、负自由电荷电量的代数和，与极化电荷无关。

( c)公式D E ε=适用于线性各向同性介质。

例题：有一内外半径分别为r 1和r 2的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀
带静止自由电荷为q ，求空间各点的电场。

解:当r<2r 时 11
s s D d s q ∙=∑⎰内
1100q D =∴= ()()()()1111222
s 333321213323321210
r q 4s D E E r r D d S q q q r r D r r r r r r r επ=∴=<<∙==-∴=---∑⎰内当时
()()33222123321E 4q D E r r r r r επ=∴=--
233
s r>r q D d S ∙=∑⎰S 内当时
3324q
q q D r π=∴= 3332
4q D E E r επε=∴= 例 1: 一个半径为R 的金属球面带 电量为 q,浸没在大量相对电容率为乓的介质 中(如 图1所示)
.求球外电场分布及贴近球表面的介质面上的束缚电荷了。

在 例 1中, 根据 自由电荷和 电介质 分布的球对称性，知电场E 、D 分布也具有球对称性，即E 、D 的方向沿径向，于是悬着半径为r(r>R)的同心球面为高斯面, 由高斯 定理:
s
D d s q ∙=∑⎰
解出： D 2200,44r r q D q E r r πεεπεε=
== 由
0P X E ε= 得：
2(1),4r n r q
P q R εσσπε-'''===-
点评：高斯定理是静电学中的一个重要定理，它反映了静电场的一个基本性质，即静电场是有源场，其源即是电荷。

高斯定理是用E 分布，定理中，S 是任意曲面，由于数学水平的限制，要由高斯定理计算出E ，则对由场的分布有一定的要求，即电荷分布具有严格的对称性（若电荷分布不对称性即不是均匀的，引起电场分布不对称，不能从高斯定理求空间场强分布，高斯定理当然仍是成立的），由于电荷分布的对称性导致场强分布的对称性，场强分布的对称性应包括大小和方向两个方面。

典型情况有三种：（1）球对称性，如点电荷，均匀带电球面或球体，均匀带电同心球面等。

（2）轴对称性，如无限长均匀带电直线，无限长均匀带电圆柱或圆柱面，无限长均匀带电同轴圆柱面。

（3）面对称性，如均匀带电无限大平面或平板，或者
若干均匀带电无限大平行平面。

3.1.2 分离变量法求电场
（1）自由电荷体密度为ρ=0 的空间。

（2）在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电荷分布在真空中产生的势为已知。

例题：求半径为0R 的接地导体球置电场E 中，求电势
()()
()0
201
0030010000100
300002=0r =()cos r 0cos ,,,=-E cos +cos n n n n n n o r R r R b a r P E r a a E b R b E R E R r r
ϕϕθϕ
ϕϕθϕϕϕϕθθ∞+==→∞∇>+
==-==-==∑解：①建球坐标系轴对称：
方程通解②边值关系：
③确定常数
④确定解:
点评：分离变量法首先要求给定边界与一个适当坐标系的坐标面结合，或者至少分段地与坐标面重合；其次在坐标系中，待求偏微分方程的解可以表示为三个函数的乘积，其中每个函数分别仅是一个坐标的函数，这样，通过分离变量将偏微分方程化为常微分方程求解，只有在边界形状是比较简单的几何曲面时，这类问题才能以解析的形式给出，而且是具体情况的不同有不同的解法，关键在于选取合适的坐标系。

3.1.3 镜像法求电场
镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法，也是解格林函数的一种方法，对于一个电位的边值问题，如果在区域V 中的电荷分布已知，在其边界s 上给定边界条件，求区域V 中的电场，记为边值问题1，如果能找到另一个边值问题2，电荷分布已知，可以方便地计算出电位或电场，并且与边值问题1 在
相同的区域V 中有同样的边界条件，那么根据唯一性定理，边值问题1 与边值问题2 在区域v 中的电场是相同的，边值问题2 在区域V 中是边值问题1 的等效问题。

（1）用像电荷取代导体上的感应电荷或介质上的束缚电荷。

（2）适用范围：①空间有一个或几个点电荷；②导体或介质表面规则。

（3）理论基础：①叠加原理；②惟一性定理。

例题：真空中有一半径为R 0 的接地导体球，距球心a (a >R 0)有一点电荷Q ，求电势。

20r R 1=-
00
r x x ϕδεϕ
ϕ=→∞⎛⎫'∇- ⎪⎝⎭
==解：分析
边界条件：120010002p 0000
1Q 1=441041p 04a b p Q r r Q Q p a R b R Q Q p a R b R R Q a ϕπεπεϕπεϕπε⎛⎫⎛⎫''+=+ ⎪⎝⎭⎛⎫'==+= ⎪++⎝⎭
⎛⎫'==+= ⎪--⎝⎭
∴=-尝试解：
在p 处，在处，
0R b a =
2
O 00(4)1=04R Q ϕπε⎛⎫ ⎪-= ⎝确切解。

点评：镜像法就是一种寻找等效问题的方法，该方法比分离变量法简单，容易写出所求问题的精确解，但是用范围小，只能求解一些特殊的边界问题。

一般来说，用镜像法可以求解以下四种情况：（1）导电平面附近点电0大介质平面上点电荷的电场。

3.1.4组合法求电场
所谓组合法就是巧妙地利用叠加原理, 使用已知问题的结论, 组合出复杂的未知问题的结果. 静电学中, 如果我们掌握了一些典型电场的分布规律, 就可以把它们当作基本构件, 象搭“积木”一样, 组装成我们所需要的情况, 从而使得某些复杂的问题很容易求解出来。

[例 1]如图 1所示, 在一个半径为 R, 线电荷密度为 λ的均匀带电细圆环上, 有一小段弧长为△L 的缺口, △L R, 求环心 O 点的场强.
解：由叠加原理可知，环心O 点处的场强可以看成是一个电荷密度为λ的均匀带电 圆环在环心O 点产生的场强与一个位于缺口处，长为L ∆、电荷密度为-λ的一小段线电荷在环心O 点产生的场强的叠加。

前者在O 点产
生的合场强为零，后者在O 点产生的场强可按点
电荷处理，故环心O 点处的场强为
0204L
E j cX R λ∆=-。

负号表示O 点处场强的方向由
圆心指向缺口处，即沿Y 轴负向。

[例 2]如图 2所示, 两无限大平行的均匀带电
平面, 相距为 L, 其面电荷密度分别为 -e 与 e, 以 Z 轴为对轴分别在两平面上挖去两个半径为 R 的圆, 且有 L R, 试求 Z 轴上各点的场强分布. (取 Z 轴原点在 L /2处 )
解：如图所示，一个面电荷密度为-e,挖去半径为R 的圆洞的无限大均匀带电平
面I 在Z 轴上的各点产生的电场为
图1
122201222022222222L e Z L E K Z L X R Z L e Z L E K Z L X R Z --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭'=-> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭'=-
< ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 而一个面电荷密度为+e ，挖去半径为R 的圆洞的无限大均匀带电平面II 在Z 轴上 的各点产生的电场为
在两个挖去圆洞、带等量异种电荷的无限大均匀带电平面的两侧，在Z 轴距离坐标原
点O 等远的点，其场强大小相等，方向相同均沿Z 轴正向。

（i ）两侧离开带电平面很近的点，例如满足Z Z Z R L L ==-的与两点
()11222222003L 22E 32222L e e L K L L X R X R +⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-≈⎨⎬⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭
000322222L L e e e L K K X R X R X R ++⎛⎫∙∙ ⎪⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
()1122222200000L 322E 322223()(22222L e e L K L L X R X R L L e e e L K K X R X R X R +++⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫--⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭-=-≈⎨⎬⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪+-+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭
⎛⎫∙-∙- ⎪⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
） ()()()11222222000012220ii Z L 22E Z 2222022L --22E -Z 2-2R L e Z e Z K L L X R Z X R Z e e K X X L e Z e Z L X R Z ++⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-≈⎨⎬
⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎪+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭
⎛⎫-= ⎪⎝
⎭⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭=-⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦满足的两侧离开带电平面很远的点
12220002-2-+022K L X R Z e e K X X ++⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪≈⎨⎬
⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎪⎪+-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭
⎛⎫= ⎪⎝
⎭
例3：在一个半径为R 球面上，分布着面电荷的面电荷，如图所示，其中为球心O 到球面上任意点的连线与过球心O 的Z 轴之间的夹角，e 为常量。

求球壳内任一点的电场强度。

解:如图所示，设一个半径为R ，电荷密度为d 的均匀带电球体，其球心从坐标原点o 处沿z 轴正向作一小位移2Z ∆而位于2O 点；另有一个半径也为R,电荷密度为-d 的均匀带电球体，其球心从坐标原点O 处沿Z 轴负向作一小位移2Z ∆而位于1O 点，只要Z ∆足够小，则两个球体趋于重合，大部分电荷互相抵消，形成球面电荷分布，
其密度为
22222222cos r Z Z e d d X Y Z X Y Z r z d Z d Z d Z z r
θ⎛⎫∆∆⎛⎫⎛⎫ ⎪=∆=+++-++-≈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂∆=∆=∆∂
将Z ∆无限缩小，并相应增大d 而保持面电荷密度0e d Z =∆恒定，则这个电荷分布就是一个真实的求面电荷的分布，显然上述两个球体造成的电荷分布与球面电荷分布相同，因而它们产生的静电场相同，我们在求球面电荷分布产生的静电场时，就可以用两个分别带有电荷密度d ±,趋于重合的均匀带电球体来等效替代。

注意到一个半径为R ，电荷密度为d 的均匀带电球体在球内的任一点产生的场强为 0
3d E r X = 由叠加原理可知，上述两个半径都为R ，电荷密度分别为+d ，趋于重合的均匀带电球体在球内的任一点产生的场强为
00000
33333e d d d E r r ZK K X X X X +-''=-=-∆=- 即球面电荷分布在球壳内的任一点产生的场强为003
3e K X '-，显然球内电场是一个均匀场。

例题4：用金属丝AB 弯成半径r=1.0 m 的圆弧，在A 、B 之间留有宽度d=2 cm 的间隙，将电量Q=3.13×10-9C 的正电荷均匀分布于金属丝上，求圆心O 处的电场强度。

解：在缺口处用长为d 且电荷密度与缺口环相同的金属丝补上，对完整的电荷分布的环来说，环上处于同一直径两端的微元部分可视为两个相对应的点电荷，他们产生的电场在圆心处叠加后其合场强必为零。

因此。

由对称性可知，完整带电环在圆心O 处合场强E = 0，由于d 《 r ,故补上的带电小段由题意可视为点电荷，其带电量 111.0102Q q d c r d
π-=∙=⨯- 其电场在圆心处的场强大小11921221.010*******
q N E k C r --⨯==⨯⨯=⨯9设缺口环在圆心处产生的电场 为E 2，则由电场的叠加原理知E 1+E 2=0，即E 2=-E 1，方向由圆心指向缺。

点评：中学物理只讲到有关点电荷场强计算公式和匀强电场场强的计算方法，本问题是求一个不规则带电体所产生的场强，没有现成公式直接可用，需变换思维角度。

从此题解法可以看出，由于填补了圆环缺口，将不对称带电体变为对称带电体，
再利用点电荷的模型和场强计算式，以及场强的叠加原理，这种先合后分的思想方法能使解题者迅速获得解题思路。

4.电势的研究
4.1 基本定义
可以定义为：（1）单位正电荷由电场中某点A移到参考点O（即零势能点，一般取无限远处或者大地为零势能点）时电场力做的功与其所带电量的比值。

所以φA=Ep/q。

在国际单位制中的单位是伏特(V)。

（2）电场中某点相对参考点O电势的差，叫该点的电势。

“电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在那
一点所具有的电势能。

”公式：ε=qφ（其中ε为电
势能，q为电荷量，φ为电势），即φ=ε/q。

在电场中，某点的电荷所具的电势能跟它的所带
的电荷量之比是一个常数，它是一个与电荷本身无关
的物理量，它与电荷存在与否无关，是由电场本身的
性质决定的物理量。

电势也是只有大小，没有方向，也是标量。

和地势一样，电势也具有相对意义，在具体应用中，常取标准位置的电势能为零，所以标准位置的电势也为零。

电势只不过是和标准位置相比较得出的结果。

我们常取地球为标准位置；在理论研究时，我们常取无限远处为标准位置，在习惯上，我们也常用“电场外”这样的说法来代替“零电势位置”。

电势是一个相对量，其参考点是可以任意选取的。

无论被选取的物体是不是带电，都可以被选取为标准位置 -------零参考点。

例如地球本身是带负电的，其电势相对于无穷远处约为8.2×10^8 V。

尽管如此，照样可以把地球作为零电势参考点，同时由于地球本身就是一个大导体，电容量很大，所以在这样的大导体上增减一些电荷，对它的电势改变影响不大。

其电势比较稳定，所以，在一般的情况下，还都是选地球为零电势参考点。

4.2 电势的物理意义
（1）由电场中某点位置决定，反映电场能的性质。

（2）与检验电荷电量、电性无关。

（3）表示将1C正电荷从参考点移到零势点电场力做的功。

4.3 电路中的电势分析
4.3.1电路中电势分析的方法
在闭合电路中，电源两极的正、负电荷沿电路建立电场，其中电源的正极电势最高，负极的电势最低，分析电路中其它各点电势高低的分布，要把握如下两个要点：
1．在外电路中，电流由电势高的正极流向电势低的负极．这之中每流经电阻R，
沿电流的方向电势降低，降低的数值等于IR ．
2．电流流经电动势为ε、内电阻为r 的电源时，沿着电流从负极流入由正极流出的方向，电势升高的数值等于电动势ε，同时在内电阻上电势降低的数值等于Ir ，即电势升高的数值等于ε-Ir ．
4.3.2电路中电势分析的应用
在电路分析和计算中，常涉及到电路结构分析、电流流向判断、不同支路上两点间电势差的计算这样一些问题，这些都与对电路中各点电势高低的分析是密不可分的．下面通过例题来说明电路中电势分析的具体应用．
4.4电势的计算
在静电场中， 电势与场强的关系为：V E -∇=。

用电势与电场的关系分析一下均匀带电球体的电势与场强，可以先用高斯定理求出球内、外任一点的场强， 然后
再根据⎰∞
∙=p p L d E V 求球内、外任意一点的电势。

也可以先求电势，然后再根据电
势与场强的关系V E -∇= 计算任意一点的电场，但这种方法容易出错。

原因是不会
取微分元，还有就是微积分知识学的不好，纯属数学计算错误。

下边就这个问题用不同的方法进行讨论。

4.4.1微分法求电势
例1：利用球面坐标在球体内取一微小体积元采用微积分的方法计算任意一点的
电势，然后用电势与场强的关系V E -∇= 计算场强。

解：设均匀带电球体的半径为R 体密度为P ，任取一点P ，它到球心的距离为r 。

在球内任取一体积元，它到球心的距离为，到P 点的距离为u 。

如图
则由球面坐标知： θϕϕτd r d d r d ''=sin 2
体积元τd 在P 点产生的电势为：
ϕ
πεθϕϕπετcos 24sin 422020r r r r d d r d r p u pd dv '-+'''==
⎰⎰⎰⎰⎰⎰'-+''==ϕ
πεϕ
cos 24sin 2202r r r r r p dv V p ()()⎰⎰⎰⎰'
⎪⎭⎫ ⎝⎛'--'+'='-+'''=
R
R r d r r r r r r p d r r r r r r d d p 0220200022202cos 2sin 4εϕϕϕθπεππ
讨论：（1）若P 为求外任一点，则r>r ' ()()r pR
r d r r p r d r r r r r r p V R R p 030200
2203222εεε=
''='⎪⎭⎫ ⎝⎛'--'+'=
∴⎰⎰ (2)若P 为球内任一点：
则()()()()⎥⎦⎤⎢⎣
⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛'--'+'+'⎪⎭⎫ ⎝⎛'--'+'=⎰⎰r R r p r d r r r r r r d r r r r r r p V 0222202ε []0
2
022
20020206223222εεεεεpr pR r R p pr r d r r r d r r p R r r -=-+=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡''+''=⎰⎰
由电势与场强的关系：V E -∇= 知球外任一点电场强度的大小为：
2033r pR dr dv E p
p ε=-= 方向沿半径向外。

球内任一点的电场强度为：0
3εpr dr dv E p p =-=方向沿半径向外。

4.4.2球内外的电势
例2：在球内任取一半径为r '，厚度为r d ' 的球壳微分元，再采用积分的方法算出球内、外任一点的电势。

然后用电势与场强的关系计算场强。

1、求球内任一点的电势与场强：设球内任一点的P ，过P 作一球面将球体分成两部分。

则球面内电荷在P 点的电势与球面外电荷在P 点的电势之和就是整个带电导体在P 点所产生的电势。

在过P 作的球面内任取一半径为r '，厚度为r d ' 的球壳，则该球壳在P 点产生的电势为： r
r d r p r r d r p v d p 020244επεπ''=''=' 所以过P 的球面内电荷在P 点所产生的电势0
20023εεpr r d r r p v d v r p p =''='='⎰
⎰
过P 的球面外作一半径为r ''，厚度为r d '' 的球壳，则该球壳在P 点所产生的电势为：
r d r p r r d r p v d p ''''=''''''=''0
0244επεπ 所以过P 点的球面外电荷在P 点所产生的电势为：
()
22002r R p r d r p v d v R r p p -=''''=''=''⎰⎰εε 则整个球体在P 点产生的电势为：
2
0262εεpr pR v v v p p p -=''+'= 根据V E -∇= 球内任一点的电场强度的大小为：
00362εεpr pr dr dv E p =⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=== 电场强度的方向沿半径向球外。

2、求球外任一点的电势与场强
设球外任一点Q 到球心的距离为r ，在球内任取一半径为r '，厚度为r d ' 的球壳，则该球壳
在Q 点产生的电势为：r d r
r p r r d r P dv Q ''=''=02
0244επεπ 整个均匀带电球体在= 点产生的电势为:
r
pR r d r r p dV V R R Q Q 0300203εε=''==⎰⎰ 由V E -∇= 知球外任一点Q 的电场强度的大小为：
203
2r pR dr dV E Q
ε=-=
E 的方向沿半径向外。

结语 经过了几个月的学习和工作，我终于完成了《电场研究方法探讨》的论文。

从开始接到论文题目到系统的实现，再到论文文章的完成，每走一步对我来说都是新的尝试与挑战，这也是我在大学期间独立完成的最大的项目。

在这段时间里，我学到了很多知识也有很多感受，我开始了独立的学习和试验，查看相关的资料和书籍，让自己头脑中模糊的概念逐渐清晰，使自己非常稚嫩作品一步步完善起来，每一次改进都是我学习的收获，每一次试验的成功都会让我兴奋好一段时间。

虽然我的论文作品不是很成熟，还有很多不足之处，但我可以自豪的说，这里面的每一段代码，都有我的劳动。

当看着自己的文章，自己成天相伴的论文逐渐完善，真是莫大的幸福和欣慰。

我相信其中的酸甜苦辣最终都会化为甜美的甘泉。

这次做论文的经历也会使我终身受益，我感受到做论文是要真真正正用心去做的一件事情，是真正的自己学习的过程和研究的过程，没有学习就不可能有研究的能力，没有自己的研究，就不会有所突破，那也就不叫论文了。

希望这次的经历能让我在以后学习中激励我继续进步。

参考文献：
[1] 大学物理基础(中册) 刘炳胜，李海宝，郭铁梁主编 2010.11
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[4] 四例电场问题错解分析 刘素梅主编 2007
[5] 试析静电场强度的计算 周游主编 2013
[6] 静电场中电势能的计算 李丽杰主编 2012
[7] 初识电场强度 华庆富主编 2012
[8] 电场强度的计算方法浅谈 董硕主编 2013
[9] 浅析如何计算电场强度 李娜主编 2011
[10] 特殊的电场强度求解方法 梁波主编 2012
[11] 用三种数学方法求解一道电场题 陈慧主编 2012
[12] 两等量异种点电荷的探讨 陈燕主编 2012
[13] 电场强度的分析与计算 丁庆红、辛采奕主编 2012
[14] 聚焦电场强度的计算方法 冯占余主编 2009
[15] 例析电场强度求解的六种特殊思想方法 孙国标主编 2007
[16] 高中生静电场相异概念信息图研究 尹雪静 2013。