山西省吕梁市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

山西省吕梁市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合A={x∈Z|x(x−4)≤0}，B={1,3，5}，则A∩B=()
A. {0,1，5}
B. {0,2，4}
C. {0,3}
D. {1,3}
2.总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成，现从中抽取一个容量为6的样本，请从随
机数表第1行第5列开始，向右读取，则选出来的第5个个体的编号为()
70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03
56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93
A. 12
B. 13
C. 03
D. 40
)0.3，c=lnπ，则()
3.设，b=(1
3
A. a<b<c
B. a<c<b
C. c<a<b
D. b<a<c
4.如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图(单位：秒)，则()
A. 平均数为64
B. 众数为7
C. 极差为17
D. 中位数为64.5
5.下列各组函数是同一函数的是()
①f(x)=√−2x3与g(x)=x√−2x；②f(x)=x与g(x)=√x2；
③f(x)=x0与g(x)=1
；④f(x)=x2−x−1与g(t)=t2−t−1
x0
A. ②③
B. ①③
C. ③④
D. ①④
6.对于线性回归方程ŷ=b̂x+â，下列说法中不正确的是()
A. 直线必经过点(x,y)
B. x增加1个单位时，y平均增加b̂个单位
C. 样本数据中x=0时，可能有y=â
D. 样本数据中x=0时，一定有y=â
7.二次函数y=x2−2x+3图象的对称轴方程为()
A. x=1
B. x=2
C. x=−1
D. x=−2
8.数据5，7，7，8，10，11的方差是()．
A. 24
B. 10
C. 4
D. 2
9.3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的不同排法有()
A. 20
B. 24
C. 30
D. 40
10.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执
行该程序框图，若输入的a，b分别为24，30，则输出的a()
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
11.已知函数f(x)=2x+ln(x+√a+x2)(a∈R)为奇函数，则a=()
A. −1
B. 0
C. 1
D. √2
12.甲、乙两人约定在7：00～8：00之间在某处会面，且他们在这一时间段内任一时刻到达该处的
可能性均相等，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是()
A. 9
16B. 1
2
C. 7
16
D. 5
16
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.用秦九韶算法计算多项式f( x )=3x4+x2+2x+4，当x=10时的值的过程中，v2的值为___
14.2016(10)=______ (5)．
15.已知在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，在边AB上任取一点F，则△ADF与△BFE的
面积之比大于1的概率是________．
16.符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[−1.08]=−2，定义函数{x}=x−[x].给出下列
四个结论：①函数{x}的定义域是R，值域为[0,1]；②方程{x}+x=0有2个解；③函数{x}是增函数；④函数{x}对于定义域内的任意x，都有{x}={x+1}.其中正确结论的序号有________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.某家庭进行理财投资，有两种方式，甲为投资债券等稳健型产品，乙为投资股票等风险型产品，
设投资甲、乙两种产品的年收益分别为y1、y2万元，根据长期收益率市场预测，它们与投入资金x万元的关系分别为y1=m√x+4+a，y2=bx，(其中m，a，b都为常数)，函数y1，y2对应的曲线C1，C2如图所示．
(1)求函数y1,y2的解析式；
(2)若该家庭现有5万元现金，全部用于理财投资，问：如何分配资金能使一年的投资获得最大
收益，其最大收益是多少万元？
18..某班50名同学参加数学测验，成绩的分组及各组的频数如下：[40,50)，2；[50,60)，3；[60,70)，
10；[70,80)，15；[80,90)，12；[90,100)，8．
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图．
19. 我国西部某贫困地区2011年至2017年农村居民家庭人均年收入y(千元)的数据如表：
(1)求y 关于x 的线性回归方程；
(2)利用(1)中的回归方程，预测该地区2019年农村居民家庭人均年收入将达到多少千元． 附：b =
∑x i b i=1y i −nxy
−
∑x i 2n i=1−nx
−2，a =y −−bx −
.参考数据：∑x i 7i=1y i =134.4，∑x i 2
7i=1=140．
20. 一个口袋内装有2个白球和2个黑球．
(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
21.已知f(x)=(n2−3n+3)x n+1为幂函数，且f(x)为奇函数．(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x+1)+f(3−2x)>0．
22.如图是某单位职工的月收入情况画出的样本频率分布直方图，已知图中第一组的频数为4000，
请根据该图提供的信息，解答下列问题．
(1)为了分析职工的收入与年龄、学历等方面的关系，必须从样本中按月收入用分层抽样方法抽
出100人作进一步分析，则月收入在[1500,2000)的这组中应抽取多少人？
(2)试估计样本数据的中位数与平均数．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：D
解析：
本题考查集合的交集运算，属于基础题．
解不等式，利用交集的定义计算即可．
解：集合A={x∈Z|x(x−4)≤0}={0,1，2，3，4}，
集合B={1,3，5}，
则A∩B={1,3}．
故选D．
2.答案：C
解析：
本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．
解：从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右(舍去重复值)，
依次选取两个数字中小于30的编号依次为17，12，13，26，03，
则第5个个体的编号为03．
故选：C．
3.答案：A
解析：
本题考查了指数式与对数式的比较大小，属于基础题．
根据题意可得a=log1
23<0，0<b=(1
3
)
0.3
<1，c=lnπ>1，记得可得最终答案．
解：因为a=log1
23<0，0<b=(1
3
)
0.3
<1，c=lnπ>1，则a<b<c，
故选A. 4.答案：D
解析：
本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据进行有关的计算，是基础题．
根据茎叶图中的数据，计算数据的中位数、众数、平均数和极差即可．
解：茎叶图中的数据分别为58，59，61，62，67，67，70，76，
=64.5，
所以中位数是62+67
2
众数是67，
(58+59+61+62+67+67+70+76)=65，
平均数是1
8
极差为76−58=18，
故选：D．
5.答案：C
解析：
本题主要考查了函数的三要素，两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、对应关系、值域.两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、对应关系，属基础题．
解：对于①，∵f(x)=√−2x3=−x√−2x(x⩽0)与g(x)=x√−2x(x≤0)对应关系不同，不是同一函数；
对于②，f(x)=x值域为R，g(x)=√x2=|x|，值域为，故不是同一个函数；
=1的定义域{x|x≠0}，对应关系也相同，是同对于③f(x)=x0=1的定义域{x|x≠0}，g(x)=1
x0
一函数，故正确．
对于④f(x)=x2−x−1与g(t)=t2−t−1.定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；故正确．故选C．
6.答案：D
解析：
【分析】本题考查线性回归方程．
根据线性回归方程ŷ=b̂x+â的意义，依次判断即可得出结论．
【解答】解：线性回归方程ŷ=b̂x+â一定经过点(x,y)，故A正确；
线性回归方程ŷ=b̂x+â中，x增加一个单位时，y平均增加b̂个单位，故B正确；
线性回归方程是根据样本数据得到的一个近似方程，故由它得到的值也是一个近似值，所以在线性回归方程ŷ=b̂x+â中，样本数据中x=0时，可能有y=â，也可能有y≠â，故C正确，D不正确．故选D．
7.答案：A
=1.故选A．
解析：二次函数y=x2−2x+3图象的对称轴方程为x=−−2
2×1
8.答案：C
解析：解：∵数据5，7，7，8，10，11的平均数为：
x.=1
(5+7+7+8+10+11)=8，
6
∴数据5，7，7，8，10，11的方差：
[(5−8)2+(7−8)2+(7−8)2+(8−8)2+(10−8)2+(11−8)2]=4．
S2=1
6
故选：C．
先求出数据5，7，7，8，10，11的平均数，再求出数据5，7，7，8，10，11的方差．
本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．
9.答案：B
解析：
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
算出基本事件总数，算出2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数．
解：3男2女共5名同学站成一排合影，
基本事件总数n=A55=120，
∴2名女生相邻且不站两端包含的基本事件个数m=A22A33A22=24．
故选：B．
10.答案：C
解析：解：模拟程序的运行，可得
a=24，b=30
不满足a>b，可得b=30−24=6，
满足a >b ，可得a =24−6=18， 满足a >b ，可得a =18−6=12， 满足a >b ，可得a =12−6=6，
此时，满足a =b =6，退出循环，输出a 的值为6， 故选：C ．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
11.答案：C
解析：
本题考查了函数的奇偶性，是基础题． 由函数为奇函数的性质，可得f(0)=0．
解：∵函数f(x)=2x +ln(x +√a +x 2)为奇函数， ∴f(0)=0， ∴ln √a =0， ∴a =1， 故选C ．
12.答案：C
解析：解：由题意知本题是一个几何概型，
设甲乙两人到达的时间分别为(7+x)时、(7+y)时， 则0≤x ≤1，0≤y ≤1 若两人见面，则|x −y|≤15
60=1
4
正方形的面积为1，落在两直线之间部分的面积为1−(3
4)2=7
16，如图
∴他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是7
16． 故选：C ．
由题意知本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是Ω={(x,y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，做出事
=件对应的集合表示的面积，写出满足条件的事件是A={(x,y)|0≤x≤1，0≤y≤1，|x−y|≤15
60
1
}，算出事件对应的集合表示的面积，根据几何概型概率公式得到结果
4
本题是一个几何概型，对于这样的问题，一般要通过把试验发生包含的事件同集合结合起来，根据集合对应的图形做出面积，用面积的比值得到结果．
13.答案：301
解析：
本题考查了“秦九韶算法”的应用，属于基础题．
利用“秦九韶算法”可知：f(x)=3x4+x2+2x+4=(((3x+0)x+1)x+2)x+4，即可得出．由“秦九韶算法”可知：f(x)=3x4+x2+2x+4=(((3x+0)x+1)x+2)x+4，
在求当x=10时的值的过程中，v0=3，v1=3×10+0=30，v2=301
故答案为：301．
14.答案：31031
解析：解：2016÷5=403…1，
403÷5=80…3，
80÷5=16…0，
16÷5=3…1，
3÷5=0…3，
故2016(10)=31031(5)
故答案为：31031．
利用“除k取余法”是将十进制数除以5，然后将商继续除以5，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．
本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．
15.答案：2
3
解析：
本题给出几何概型，求△ADF 与△BFE 的面积之比大于1的概率．着重考查了三角形的面积公式和几何概型计算公式等知识，属于基础题．
根据题意，利用S △ADF ：S △BFE >1时，可得AF BF >12，由此结合几何概型计算公式，即可算出使△ADF 与△BFE 的面积之比大于1的概率．
解：由题意，S △ADF =12AD ⋅AF ，S △BFE =12BE ⋅BF ，
当S △ADF ：S △BFE>1时，可得AF BF >12，
∴△ADF 与△BFE 的面积之比大于于1的概率P =23．
故答案为23． 16.答案：②④
解析：解：因为[x +1]=[x]+1，∴{x +1}=x +1−[x +1]=x −[x]={x}，
∴{x}是周期为1的函数，
当0≤x <1时，[x]=0，∴{x}=x ，
作出{x}与y =−x 的函数图象如图所示：
由图象可知方程{x}+x =0有2个解，故②正确，{x}的定义域为R ，值域为[0,1)，故①错误；③错误；④正确；
故答案为：②④．
判断{x}的周期作出函数图象得出结论．
本题考查函数的性质，函数零点与函数图象的关系，属于中档题．
17.答案：解：(1)由函数y 1的图象过点(0,0),(5,1)得{2m +a =03m +a =1，所以{m =1a =−2
； 由函数y 2的图象过点(0,0),(5,1)得5b =1，所以b =1
5；
所以y 1=√x +4−2，y 2=15x ； (2)设投资甲产品为x 万元，则投资乙产品为(5−x)万元，0⩽x ⩽5，
则总收益y =y 1+y 2=√x +4−2+15(5−x)=√x +4−15x −1，
设√x +4=t,(2⩽t ⩽3)，
则y =t −15(t 2−4)−1=−15t 2+t −15=−15(t −52)2+2120，
所以t =52即x =94时，总收益最大，为2120万.
所以当投资甲产品94万元，投资乙产品114万元，可以使得一年的投资获得最大收益，最大收益为2120万.
解析：本题考查函数模型及其应用．
(1)利用函数图像经过点(0,0),(5,1)，代入解析式即可求解；
(2)利用换元法，借助二次函数在闭区间的最值确定最大收益，解题时一定要注意变量的取值范围． 18.答案：解：(1)频率分布表如下：
成绩分组
频数 频率 [40,50)
2 0.04 [50,60)
3 0.06 [60,70)
10 0.2 [70,80)
15 0.3 [80,90)
12 0.24 [90,100) 8 0.16
(2)频率分布直方图如图所示：
解析：(1)利用50名同学参加数学测验，成绩的分组及各组的频数能列出样本的频率分布表；
(2)利用频率分布表能画出频率分布直方图．
本题考查频率分布表和频率分布直方图的作法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质的合理运用．
19.答案：解：(1)依题意得，x −=17×(1+2+3+4+5+6+7)=4，
y −=17×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3， 从而b =
∑x i b i=1y i −nxy −∑x i 2n i=1−nx −2=134.4−7×4×4.3140−7×42=0.5， a =y −−bx −
=4.3−0.5×4=2.3，
故所求线性回归方程为y ̂=0.5x +2.3；
(2)令x =9，得y ̂=0.5×9+2.3=6.8；
预测该地区在2019年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
解析：(1)依题意计算x −、y −
和回归系数，从而写出所求线性回归方程；
(2)计算x =9时y ̂的值即可．
本题考查了线性回归方程的求法和应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 20.答案：解：(1)先摸出一个白球不放回，
则口袋内装还有1个白球和2个黑球
∴再摸出一个白球的概率P =13；
(2)先摸出1个白球后放回，
则口袋内装仍有2个白球和2个黑球
∴再摸出一个白球的概率P′=24=12
解析：本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．
(1)口袋内装还有1个白球和2个黑球，可得概率为13；
(2)口袋内装仍有2个白球和2个黑球，可得概率为12． 21.答案：解：(1)∵f (x )=(n 2−3n +3)x n+1为幂函数，
∴n2−3n+3=1，
解得n=1或n=2，
当n=1时，f(x)=x2，当n=2时，f(x)=x3，
∵f(x)为奇函数，
∴f(x)=x3；
(2)由(1)f(x)=x3，
∴函数f(x)=x3为增函数，
∵f(x+1)+f(3−2x)>0，
又f(x)为奇函数，
∴f(x+1)>f(2x−3)，
∴x+1>2x−3，
∴x<4．
所以不等式f(x+1)+f(3−2x)>0的解集为(−∞,4)．
解析：本题考查幂函数定义及解析式的求法，以及函数奇偶性和单调性的综合应用，属于中等题．
(1)由幂函数的定义得，n2−3n+3=1，再由奇偶性，得解析式；
(2)由函数的奇偶性和单调性的性质，得x+1>2x−3，求得结果．
=10000人，
22.答案：解：(1)样本总体为4000
0.0008×500
∵月收入在[1500,2000)的人数为0.2×10000=2000，
∴再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，
=20(人)；
则月收入在[1500,2000)的这段应抽取100×2000
10000
(2)由(1)知月收入在[1000,2000)的频率为0.2+0.4>0.5，
=1500+250=1750元．
所以样本数据中位数为1500+0.5−0.4
0.0004
由频率分布直方图可知，月收入在[3000,3500)的频率为1−(0.0008+0.0004+0.0003+0.00025+ 0.0001)×500=0.075，
故样本数据的平均数为1250×0.4+1750×0.2+2250×0.15+2750×0.125+3250×0.075+ 3750×0.05=1962.5．
解析：本题考查了频率分布直方图与分层抽样．
(1)先计算月收入在[1500,2000)的人数，再根据从10000人中用分层抽样方法抽出100人，可得月收入在[1500,2000)的这段应抽取的人数；
(2)月收入在[1000,2000)的频率为0.2+0.6>0.5，故根据中位数的计算公式求解即可．。