甘肃省师大附中2017_2018学年高二数学下学期期末模拟试题文2018061903115

附中2017-2018学年下学期高二年级期末模拟试卷
文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．[2018·昆明适应]已知集合{}
2430 A x x x =--≤，{}1 3 B x x =∈-<<N ，则A B =
（ ） A ．{}0,1,2
B ．{}1,2
C ．{}1,2,3
D ．{}2,3
2．[2018·烟台模拟]某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（ ）件． A ．24
B ．18
C ．12
D ．6
3．[2018·银川二中]13i
1i +=-（ ） A ．24i --
B ．24i -+
C ．12i -+
D ．12i --
4．[2018·泉州质检]纹样是中国艺术宝库的瑰宝，火纹是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，已知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）
此
卷
只装
订
不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A ．2
B ．3
C ．10
D ．15
5．[2018·烟台一模]在平面直角坐标系xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=，则它的离心率为（ ） A ．5
B ．
52
C ．45
D ．2
6．[2018·南昌八一中学]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是为1BC ，1CD 的中点，则下列判断错误的是（ ）
A ．MN 与1CC 垂直
B ．MN 与A
C 垂直 C ．MN 与B
D 平行 D ．MN 与11A B 平行
7．[2018·漳州质检]已知x ，y 满足不等式组2350
321000x y x y x y +-≥+-≤-≤⎧⎪
⎨⎪⎩
，则2x y -的最大值为（ ）
A ．6
B ．2
C ．1-
D ．2-
8．[2018·烟台适应]函数()()2cos π22
x f x x x =
-+的部分图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．[2018·遵化期中]函数()ln 2f x x x =-的递减区间是（ ） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
D ．1,2⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
10．[2018·巴蜀中学]执行如图所示的程序框图，若输出b 的值为16，则图中判断框内①处应填（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．[2018·南宁二中]在ABC △中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
2
2cos cos212
A B
C +-=，4sin 3sin B A =，1a b -=，则c 的值为（ ） A 13B 7C 37
D ．6
12．[2018·银川二中]已知椭圆()22
22:=10x y C a b a b
+>>的左、右焦点为1F ，2F ，左、右顶点
为M ，N ，过2F 的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，1AF B △的周长为43且直线AM
与AN 的斜率之积为2
3
-
，则C 的方程为（ ） A ．22
=1128x y +
B ．22
=1124x y +
C ．22
=132
x y +
D ．2
2=13
x y +
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2018·巴蜀中学]已知向量a ，b 满足1=a ，且()2-==a a b b ，则向量a 与b 的夹角是__________．
14．[2018·常数中学]已知函数()ln f x x x =+，若函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行，则0x =__________．
15．[2018·海安中学]若1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7πcos 12α⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值为______．
16．[2018·华大联盟]某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为3的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为36π，则该几何体的体积为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2018烟台一模]已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式．
18．（12分）[2018·大连二模]如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △和1AA C △均是边长为2的等边三角形，平面11AA C C ⊥平面ABC ，点O 为AC 中点． （1）证明：1A O ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥11O B BC -的体积．
19．（12分）[2018·巴蜀中学]社会在对全日制高中的教学水平进行评价时，常常将被清华北大录取的学生人数作为衡量的标准之一．重庆市教委调研了某中学近五年（2013年-2017年）高考被清华北大录取的学生人数，制作了如下所示的表格（设2013年为第一年）．
年份（第x 年） 1 2 3 4 5 人数（y 人）
37
38
49
45
56
（1）试求人数y 关于年份x 的回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+；
（2）在满足（1）的前提之下，估计2018年该中学被清华北大录取的人数（精确到个位）； （3）教委准备在这五年的数据中任意选取两年作进一步研究，求被选取的两年恰好不相邻的概率．
参考公式：()()()
1
12
2
2
1
1
ˆn n
i
i
i i i i n
n
i i
i i x x y y x y nxy
b
x x x
nx ====---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y bx =-．
20．（12分）[2018·湘潭四模]已知点01,2A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭是抛物线21:22C x py p ⎛
⎫=> ⎪⎝⎭
上一点，且A 到
C 的焦点的距离为5
8
．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若P 是C 上一动点，且P 不在直线0:29l y x y =+上，l 交C 于E ，F 两点，过P 作直线
垂直于x 轴且交l 于点M ，过P 作l 的垂线，垂足为N ．证明：2
AM EF AN
=．
21．（12分）[2018·漳州质检]已知函数()2ln f x x x ax =+-． （1）若0a >，求函数()f x 的极值点；
（2）若3a ≥，函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <， 求证：()()123
ln 24
f x f x -≥-．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．（10分）[2018·大连二模]选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
2cos
x
y
θ
θ
=
=
⎧⎪
⎨
⎪⎩
（θ为参数），直线l经过点
()
1,1
P，斜率为3
4
，直线l与曲线C相交于A，B两点．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的参数方程；（2）求PA PB
-的值．
23．（10分）[2018·昆明适应]选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x ax =+--．
（1）当1a =时，求不等式()f x x ≤的解集； （2）当1
2
x ≥时，()21f x x +>，求实数a 的取值范围．
文
科
数
学 答
案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的． 1．【答案】A
【解析】{}1 3 B x x =∈-<<N ，将0，1，2分别代入集合{}
2430 A x x x =--≤中的不等式，可得204030-⨯-≤，此不等式成立，故有0；
214130-⨯-≤，化简得60-≤．此不等式成立，故有1，
224230-⨯-≤，化简得70-≤．此不等式成立，故有2．故选A ．
2．【答案】B
【解析】由题意，丙中型号在总体中占的比例为3003
20040030010010
=+++，
根据分层抽样可得，丙种型号的产品中抽取3
601810
⨯=，故选B ． 3．【答案】C
【解析】()()()()
22
13i 1i 13i 1i 3i 3i 1i 3i 324i
12i 1i 1i 1i 221i ++++++++--+=====-+--+-，故选C ． 4．【答案】C
【解析】根据题意，正方形的面积为5525⨯=， 所以阴影部分的面积400
25101000
S =⨯=，故选C ． 5．【答案】A
【解析】由双曲线中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为20x y -=， 即12y x =
，则1
2
a b =，所以2b a =， 所以双曲线的离心率为222
22
55c a b a e a a a +==
==，故选A ． 6．【答案】D
【解析】由题意，在正方体1111ABCD A B C D -中，连接1B C ，
在11B D C △中，因为M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，所以11MN B D ∥， 在面1111A B C D 中，11
111A B B D B =，所以MN 与11A B 不平行，
所以MN 与11A B 平行是错误的，故选D ． 7．【答案】C 【解析】
画出不等式组2350
321000x y x y x y +-≥+-≤-≤⎧⎪
⎨⎪⎩
表示的平面区域，如图所示的阴影部分
平移直线2z x y =-，由图可知，目标函数2z x y =-过点A 时取得最大值， 由23500x y x y +-=-=⎧⎨⎩
，解得()1,1A ，此时2x y -取得最大值为121-=-，故选C ．
8．【答案】A
【解析】由已知()()2
cos π22
x f x x x =
-+，∴1x =是其图象的对称轴，这可排除B 、D ，
又()()1
022f f ==，排除D ，只能选A ．故选A ．
9．【答案】C
【解析】函数()ln 2f x x x =-，定义域为()0,+∞
求导得()1122x f x x x -'=-=
．令()0f x '<，解得1
2
x >． 所以函数的减区间为1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭．故选C ．
10．【答案】C
【解析】执行程序框图，输入0a =，1b =，第一次循环，2b =，1a =； 第二次循环，4b =，2a =；
第三次循环，16b =，3a =时，应退出循环， 故图中判断框内①处应填2，故选C ． 11．【答案】A
【解析】由题意，ABC △满足22cos cos212
A B
C +-=， 则2
2cos 1cos202
A B
C +--=，即()()
2cos 2cos 10A B C +--=， 即22cos cos 10C C +-=，解得1
cos 2
C =或cos 1C =-（舍去）， 又因为()0,πC ∈，所以π3
C =
， 又由4sin 3sin B A =，根据正弦定理可得43b a =，又1a b -=，所以4a =，3b =，
又由余弦定理得c =A ． 12．【答案】C
【解析】由1AF B △
的周长为
，可知12124AF AF BF BF a +++==
解得a =
()
M
，N ． 设点()00,A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为2
3-
23=-．
即()
22
00233
y x =-
-．①
又2200213x y b +=，所以2220013x y b ⎛⎫ ⎝- =⎪⎪⎭
，② 由①②解得2
2b =．所以C 的方程为22
132
x y +=．故选C ．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】120︒
【解析】由()2
2cos ,112cos ,2<><>⋅-=-⋅=-⋅=-⨯=a a b a a b a a b a b a b ，
得1
cos ,2<>=-a b ，,120<>=︒a b ，故答案为120︒．
14．【答案】
1
2
【解析】因为函数()ln f x x x =+，所以可得函数()1
1f x x
'=
+， 由函数()f x 在点()()00,P x f x 处切线与直线310x y -+=平行， 可得
0113x +=，解得012x =，故答案为12
． 15．【答案】13
-
【解析】由1sin 123πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则7π1cos cos sin 12122123πππααα⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+=++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭． 16．
【解析】根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为36π，
即34
π36π3R =，3R ∴=则球心O 到底面等边ABC △得中心O '
的距离OO '==3PO AO R ''∴===，
，
所以三棱锥的高2h PA OO '===，
故三棱锥的体积为
2
13V =⨯
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）212n a n =-；（2）()
413n n S =-．
【解析】（1）由等差数列通项公式得11
2650a d a d +=-+=⎧⎨⎩，解得10a =-，2d =，
所以()()111021212n a a n d n n =+-=-+-=-，即数列{}n a 的通项公式为212n a n =-．
（2）因为2108624b =---=-，2124
38b q b -===-，所以()
()
114131n n n q S q
b -==--，
∴数列{}n b 的前n 项和公式为()
413n n S =-． 18．【答案】（1）见解析（2）
12
． 【解析】（1）证明：∵11AA A C =，且O 为AC 的中点，
∴1A O AC ⊥，又∵平面11AA C C ⊥平面ABC ，且交线为AC ，又1A O ⊂平面11AA C C ， ∴1A O ⊥平面ABC ．
（2）∵111BB C C BC S S =△△，且11BB C △与1C BC △在同一平面上，∴111O BB C O C BC V V --=， 又∵11O C BC C OBC V V --=，由（1）知点1C 到平面ABC 的距离为13A O =
又∵13312OBC S ==△1131332C OBC V -==，∴1111
2
O BB C C OBC V V --==． 19．【答案】（1）3ˆ4515y x =+..；
（2）59；（3）0.6 【解析】（1）3x =，45y =，ˆ45b =．，31545315ˆˆa y x =⇒=+...．
（2）2018年对应的6x =，代入（1）58.559y ⇒=≈（人）． （3）设选取的两年恰好不相邻为事件A ，且所有的基本事件共10个：
()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,3，()2,4，()2,5，()3,4，()3,5，()4,5，
恰好不相邻的基本事件共6个，则()6
0610
P A =
=.． 20．【答案】（1）22x y =；（2）证明见解析． 【解析】（1）依题意得00124
528py p y ⎧
⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩
，
∴
15828p p +=，∵1
2
p >，∴1p =，故C 的方程为22x y =． （2）由（1）知018y =，联立22928x y
y x ==+
⎧⎪⎨⎪⎩得2
41690x x --=，
解得112x =-，29
2
x =
，∴12EF ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
设2
,
2m P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
（12m ≠-，且9
2m ≠）
， 则M 的横坐标为m ，易知A 在l
上，则1
2
AM =+
． 由题可知()21
:22m PN y x m -=--，与928
y x =+联立可得21954N x m m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，
所以2
2911422AN m m m ⎫⎫
=+-++⎪⎪⎭⎭
，
则
2
AM AN
=2
AM EF AN
=．
21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()221
x ax f x x
-+'=，
①若0a <≤280a ∆=-≤， 所以当0x >时，()221
0x ax f x x
-+'=≥，
所以()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()f x 无极值点．
②若a >，则0∆>，
由()0f x '=
得1x =
，2x =．
当x 的值变化时，()f x '，()f x 的值的变化情况如下：
所以()f x 有极大值点1x ，极小值点2x =．
（2）由（1）及条件可知
11
02
x <==≤=，
且122a x x +=
，121
2
x x =，即2112x x =，1112a x x =+，
所以()()222121112221121
1
ln ln 2ln ln 24f x f x x x ax x x ax x x x -=+---+=+-+， 记()22
12ln ln 24g x x x x =+-+
，10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
， 因为当10,2x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，
()()
2
233
21
212022x g x x x x x --'=
--=
<，
所以()g x 在10,2⎛⎤
⎥⎝⎦上单调递减，
因为1102x <≤，所以()113
ln 224
g x g ⎛⎫≥=- ⎪⎝⎭，即()()123ln 24f x f x -≥-．
请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。

22．【答案】（1）见解析；（2）
20
7
． 【解析】（1）曲线2cos :x C y θ
θ==⎧⎪⎨⎪⎩
（θ为参数），
则2
222
cos sin 12x θθ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，即22143x y +=， 直线l 的普通方程为3410x y -+=，
所以直线l 的参数方程为()415
315x t t y t
⎧=+=+⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
为参数． （2）直线()415
: 315x t l t y t
=+=⎩
+⎧
⎪⎪⎨⎪⎪为参数，将直线l 代入22143x y +=中，得2842401250t t +-=，
由于22
11143
+<，故点()1,1P 在椭圆的内部，因此直线l 与曲线C 的交点A ，B 位于点P 的两
侧，即点A ，B 所对应的t 值异号．设点A 的对应值为1t ，点B 的对应值为2t ， 则12207t t +=-
，12125
84
t t =-，故1212202077PA PB t t t t -=-=+=-=
． 23．【答案】（1）[]
[)2,02,-+∞；
（2）1,32⎛
⎫
⎪⎝⎭
． 【解析】（1）当1a =时，不等式()f x x ≤，即为11x x x +--≤，
等价于12x x ≤--≤⎧⎨⎩或112x x x -<≤≤⎧⎨⎩
或1
2x x >≤⎧⎨⎩，解得21x -≤≤-或10x -<≤或2x ≥，
故不等式()f x x ≤的解集为[][)2,02,-+∞．
（2）当1
2
x ≥
时，()2211f x x ax x x +>⇔-<+， 由21ax x x -<+，得11
11x a x x x
-+-<<++， 当12x ≥
时，11x x
++的最小值为3，11x x -+-的最大值为1
2， 故a 的取值范围是1,32⎛⎫
⎪⎝⎭．
附：什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

想要不出现太强的考试焦虑，那么最好的办法是，形成自己的掌控感。

1、首先，认真研究考试办法。

这一点对知识水平比较高的考生非常重要。

随着重复学习的次数增加，我们对知识的兴奋度会逐渐下降。

最后时刻，再去重复学习，对于很多学生已经意义不大，远不如多花些力气，来思考考试。

很多老师也会讲解考试的办法。

但是，老师给你的办法，不能很好地提高你对考试的掌控感，你要找到自己的一套明确的考试办法，才能最有效地提高你的掌控感。

有了这种掌控感，你不会再觉得，在如此关键性的考试面前，你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。

2、其次，试着从考官的角度思考问题。

考官，是掌控考试的;考生，是被考试考验的。

如果你只把自己当成一个考生，你难免会惶惶不安，因为你觉得自己完全是个被摆布者。

如果从考官的角度去看考试，你就成了一名主动的参与者。

具体的做法就是，面对那些知识点，你想像你是一名考官，并考虑，你该用什么形式来考这个知识点。

高考前两个半月，我用这个办法梳理了一下所有课程，最后起到了匪夷所思的效果，令我在短短两个半月，从全班第19名升到了全班第一名。

当然，这有一个前提——考试范围内的知识点，我基本已完全掌握。

3、再次，适当思考一下考试后的事。

如觉得未来不可预测，我们必会焦虑。

那么，对未来做好预测，这种焦虑就会锐减。

这时要明白一点：考试是很重要，但只是人生的一个重要瞬间，所谓胜败也只是这一瞬间的胜败，它的确会带给我们很多，但它远不能决定我们一生的成败。