第4届罗马尼亚大师杯数学竞赛(试题)

第4届罗马尼亚大师杯数学竞赛
第一天:2011年2月25日,星期五,布加勒斯特
语言:中文1.证明:存在两个函数R
,,使得函数))
f→
:
R
g
f在R上是严格递减的,而
g
(x
(
g在R上是严格递增的.
f
))
(
(x
2.求所有的正整数n,使得存在一个实系数多项式f(x),满足下面的两个性质:
(1) 对任意整数k,数f(k)为整数的充要条件是k不能被n整除；
(2) 多项式f(x)的次数小于n.
3.设ω是△ABC的外接圆,一条平行于BC的动直线l分别交线段AB,AC于点
D,E,交圆ω于点K,L(点D介于K和E之间),γ1是与线段KD,BD和圆ω都相切的圆,γ2是与线段LE,CE和圆ω都相切的圆.求l变化时,圆γ1和γ2的内公切线的交点的轨迹.
每题7分
共4小时30分钟
第4届罗马尼亚大师杯数学竞赛
第二天:2011年2月26日,星期六,布加勒斯特
语言:中文
4. 对正整数∏
==s
i i i p n 1α,设∑==Ωs
i i n 1)(α是n 所有素因数的个数,这里的素因数依重数求和得到,定义)()1()(n n Ω-=λ(例如1)1()32()12(122-=-=⋅=+λλ).证明:
(1) 存在无穷多个正整数n,使得1)1()(+=+=n n λλ;
(2) 存在无穷多个正整数n,使得1)1()(-=+=n n λλ.
5. 对每个正整数n ≥3,试确定平面上具有下述性质的n 个不同的点X 1,X 2,…,X n 之间的关系:对任意一对不同的点X i ,X j ,都存在{1,2,…,n}的一个排列σ,使得对所有1≤k ≤n,都有d(X i ,X k )=d(X j ,X σ(k)).这里d(X,Y)表示点X 和Y 之间的距离.
6. 一个2011⨯2011的方格表的每个小方格都被标上整数1,2,…,20112中的某个数,使得其中的每个数都恰好用了一次.现在将表格的左右边界视为相同，上下边界也视为相同，依通常的方式得到一个圆环面(可视为一个“甜甜圈”的表面).求最大的正整数M,使得对任意标数方式,都存在两个相邻的小方格(指有公共边的小方格),它们中所填写的数之差(大的减小的)至少为M.
注: 用坐标表示,小方格(x,y)和(x ',y ')相邻是指:x=x ',y-y '≡±1(mod 2011)或者y=y ',x-x '≡±1(mod 2011).
每题7分
共4小时30分钟。