陕西省西安市临潼区华清中学高三数学第二次自主命题文

华清中学2016届高三第二次自主命题数学试题(文)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1若复数z 满足i z i 34)43(+=⋅-，则z 的虚部为（ ）
4.A 54.B 4.-C 5
4
.-D
2、设集合{},0432≤-+=x x x A {},2->=y y B 则)(B C A R 等于( )
]1,2.(-A ]4,.(--∞B ]1,.(-∞C ),1.[+∞D
3在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i=1,2,…,n)都在直线y=1
2x+1上，则这组样本数据的样本相关
系数为 ( )
A －1
B 0
C 1
2
D 1
4对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程2
2
1mx ny +=的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是
A ．108cm 3
B ．100 cm 3
C ．92cm 3
D ．84cm 3
6执行如图所示的程序框图,输出的S 值为
A ．1
B ．
2
3
C ．
1321
D ．
610
987
（）7 某学校随机抽取20个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图所示.
以组距为5将数据分组成[0,5),[5,10),,[30,35),[35,40]时,所作的频率分布直方图是
0.04
频率
0.05
频率
0.04
频率
0.04
频率
0.01
0.02
0.03
组距
0.01
0.02
0.03
0.04
组距
0.01
0.02
0.03
组距
0.01
0.02
0.03
组距
(B)
(A)(C)(D)
8已知抛物线)
(
2
2>
=p
px
y的焦点Ｆ恰好是双曲线1
2
2
2
2
=
-
b
y
a
x
的右焦点，且两曲线
的交点的连线过点Ｆ，则该双曲线的离心率为（）
A 2
B 3
C 2
1+ D 3
1+
9设函数()
f x在R上可导，其导函数()
f x
'，且函数()
f x在2
x=-处取得极小值，则函数()
y xf x
'
=的图象可能是
开始
是
否
0,1
i S
==
21
21
S
S
S
+
=
+
1
i i=+
2
i≥
输出S
结束
10 过点P(－3，－1)的直线l 与圆x 2
＋y 2
＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6
D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3
11 已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点（x ，y ）在△ABC 内部，则z=－x+y 的取值范围是( )
（A ）(1－3，2) B (0，2) C (3－1，2) D (0，1+3)
12 已知函数f(x)＝ax 3
－3x 2
＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－∞，－2)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知),0(+∞∈x ，观察下列各式：21≥+
x x ，34
22422≥++=+x x x x
x ，4273332733≥+++=+
x x x x x
x ， 归纳得)(1*
∈+≥+N n n x a x n ，则a =_______ 14 已知向量,a b 夹角为45︒
，且1,210a a b =-=；则_____b = 15 设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a,b,c.若6
,21sin ,3π
==
=C B a ，则b=
16 已知点P ，A ，B ，C ，D 是球O 表面上的点，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为3方形。

若6,则△OAB 的面积为______________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本小题满分12分)
已知在递增等差数列{}n a 中，12a =，3a 是1a 和9a 的等比中项． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()1
+1n n
b n a =
，n S 为数列{}n b 的前n 项和，当n S m <对于任意的+n ∈N 恒成立时，
求实数m 的取值范围． 18.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥
平面ABCD ，AP=AB ，BP=BC=2， E ，F 分别是PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ)求三棱锥E —ABC 的体积V.
19如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，现随机抽取100位从A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：
（Ⅰ）试估计40分钟内不能．．
赶到火车站的概率; （Ⅱ ）分别求通过路径L 1和L 2所用时间落在上表中各时间段内的频率;
（Ⅲ ）现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径。

20. (本小题满分12分)
已知椭圆Ｃ的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其离心率为21，且经过点Ｐ)2
3,1( （１） 求该椭圆的标准方程；
（２） 过Ｃ的右焦点Ｆ做两条互相垂直的直线21,l l 与椭圆Ｃ分别交于11,B A 和22,B A 两
点，若2211B A B A =，求直线1l 的方程。

21已知函数R x e x f x
∈=,)(
（１） 求函数)(x f 的图像在点))0(,0(f 处的切线方程； （２） 判断曲线)(x f y =与ex y =
公共点的个数，并加以证明。

请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（10分）． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交圆O 于点N ，过点N 的切线交CA 的延长线于点P ．
（1）求证：2
PM PA PC =⋅；
（2）若圆O 的半径为23，3OA OM =，求MN 的长．
23 . （本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程 平面直角坐标系xoy 中，直线l 23x t y t
⎧=-⎪
⎨
=⎪⎩t 为参数），圆C 的方程为
224x y +=，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；
（2）求直线l 和圆C 的交点的极坐标（要求极角[)0,2θπ∈）． 24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
（1）当1=a 时，求函数)(x f 的最小值 （2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围
答案
一选择题 1-5 BADBB 6-10 CACCD 11-12 AD 二填空题13
n
n
14. 32
15 .1 16. 33 三 解答题
17 由{}
n a 为等差数列，设公差为d ，则()11n a a n d =+-，
3a 是1a 和9a 的等比中项，
∴2
3
19a a a =即()()2
22228d d +=+，解得0d =（舍）或2d =， ∴()112n a a n d n =+-=．
（2）()()11111+12121n n b n a n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪++⎝⎭
，
121111
11111112223
1212
n n S b b b n n n ⎛⎫⎛⎫=++
+=
-+-++
-=-< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为n S m <对于任意的+n ∈N 恒成立，∴12
m ≥
18解： (Ⅰ)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD ,
又∵AD ⊄平面PAD ,E F ⊄平面PAD ,
∴EF ∥平面PAD .
(Ⅱ)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ,
则BG ⊥平面ABCD ,且EG =
1
2
PA .
在△PAB 中，AD =AB ,∠PAB °,BP =2,∴AP =AB 2,EG =22
.
∴S △ABC =
12AB ·BC =1
2
2×2,
∴V E-AB C=1
3
S△
ABC·EG=
1
3
×2×
2
2
=
1
3
.
19解（Ⅰ）由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，
∴用频率估计相应的概率为0.44.
（Ⅱ）选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为：
（Ⅲ）A1，A2，分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站。

由（Ⅱ）知P(A1) =0.1+0.2+0.3=0.6
P(A2)=0.1+0.4=0.5， P(A1)>P(A2)
∴甲应选择L1
P(B1) =0.1+0.2+0.3+0.2=0.8
P（B2）=0.1+0.4+0. 4=0.9，P（B2）＞P（B1），
∴乙应选择L2.
20 解析：（１）由题意设椭圆Ｃ的标准方程为：1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
则
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
=
=
+
2
1
1
4
9
1
2
2
2
2
2
a
c
c
b
a
b
a
解之得：1
,3
,42
2=
=
=c
b
a
所以Ｃ的方程为1
3
4
2
2
=
+
y
x
（２）由（１）知Ｆ（１,０），设
1
l的方程为：)1
(-
=x
k
y带入Ｃ中得
01248)43(2222=-+-+k x k x k
设),(),,(221111y x B y x A ，则2
221222
14312
4,438k
k x x k k x x +-=+=+ 2
22
12
212
1143)
1(124)(1k
k x x x x k
B A ++=-++=
21l l ⊥ )1(1
:2--
=∴x k
y l
同理可有2
22
234)
1(12k
k B A ++= 因为2211B A B A =所以224334k k +=+解得1±=k 故1l 的方程为：)1(-±=x y
21答案：解：
（１）因为1)0(0==e f ，所以切点为（０,１）
又x e x f =')(，1)0(='f ，故所求切线方程为1+=x y
（２）曲线)(x f y =与ex y =有且仅有一个公共点，理由如下
因为曲线)(x f y =与ex y =
均过点（１，ｅ）且e f =')1(
可得曲线)(x f y =在点（１，ｅ）处的切线方程为)1(-=-x e e y 即ex y =
令e e x g ex e x g x x -='-=
)(则,)(
当0)(时，),1(;0)(时，)1,
(>'+∞∈<'-∞∈x g x x g x 所以）上单调递增，1上单调递减，在（)1,(在)
(∞+-∞x g 故0)1()(min ==
g x g ex x f x g ≥≥∴)(即0)(恒成立
所以曲线)(x f y =与ex y =有且仅有一个公共点。

试题解析：（1）连接ON ，因为PN 为⊙O 的切线，则90ONP ∠=．因为OB ON =，则
OBN ONB ∠=∠．
又BO AC ⊥
，则9090PMN BMO OBN ONB PNM ∠=∠=-∠=-∠=∠,所以
PM PN =．
据切割线定理，2PN PA PC =⋅，所以2
PM PA PC =⋅．
（2）因为23OA =，则
23OA
OM =
=．又23OB =，则224MB OM OB =+=
据相交弦定理，(232)(232)8MB MN MA MC ⋅=⋅=-+=，所以2MN =． 考点：1、相交弦定理；2、切割线定理．
试题解析：（1）直线l 的普通方程为320x y +-=，
将cos ,sin x y ρθρθ==带入（），得cos 3sin 20ρθρθ+-=， 化简得直线l 的方程为cos 13πρθ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
， 圆C 的极坐标方程为2ρ=．
（2）联立方程组2
cos 13ρπρθ=⎧⎪⎨⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎭⎩
，消去ρ得1cos 32πθ⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，
因为[)0,2θπ∈，所以53
3
3
π
π
π
θ-≤-
<
， 所以3
3
π
π
θ-
=-
或3
3
π
π
θ-
=
，
所以直线l 和圆C 的交点的极坐标为(2,0)，22,3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
试题解析：（1）1=a 时，()()()4141141=---+≥--++=x x x x x f
陕西省西安市临潼区华清中学高三数学第二次自主命题文
- 11 - / 11 所以函数()x f 的最小值为4
（2
当0<a 时，显然成立
当0>a 时，综上，a 的取值范围是(){}20, ∞-．。