山东省临沂市第十九中新2025届高三下学期5月考试卷数学试题试卷

山东省临沂市第十九中新2025届高三下学期5月考试卷数学试题试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直
于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）
A ．22
122x y -=
B ．2
2
13
y x -=
C ．2
213
x y -=
D ．22
144
x y -=
2．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n +1+a n +2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132
B ．299
C ．68
D ．99
3．已知角α的终边与单位圆22
1x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则cos2α等于（ ）
A ．
1
9
B ．79
-
C ．23
-
D ．
13
4．函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2
π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π
个单位后得到的函数图象
关于直线x ＝
2
π
对称，则函数f(x)的解析式为（ ） A ．f(x)＝sin(2x ＋3
π) B ．f(x)＝sin(2x －3
π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6
π) D ．f(x)＝sin(2x －
6
π) 5．设函数
'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1
'()ln ()<-
f x x f x x
，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)
(0,1)-
B ．(,1)(1,)-∞-+∞
C ．(1,0)(1,
)
D ．(,1)(0,1)-∞-
6．一物体作变速直线运动，其v t -曲线如图所示，则该物体在
1
s~6s 2
间的运动路程为（ ）m ．
A ．1
B ．
43
C ．
494
D ．2
7．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60A ∠=︒，O 为ABC ∆的外心，若AO x AB y AC =+，x ，y R ∈，则23x y +=（ ） A ．2
B ．
5
3
C ．
43
D ．
32
8．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种
B ．44种
C ．48种
D ．54种
9．已知函数2ln(2),1,
()1,1,
x x f x x x -⎧=⎨-+>⎩若()0f x ax a -+恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,12⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
B ．[0,1]
C ．[1,)+∞
D ．[0,2]
10．已知正三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，其底面边长为4，E 、F 、G 分别为侧棱AB ，AC ，AD 的中点.若O 在三棱锥A BCD -内，且三棱锥A BCD -的体积是三棱锥O BCD -体积的4倍，则此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积的比值为（ ） A ．63π
B ．83π
C ．3π
D ．3π
11．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里
B ．72里
C ．48里
D ．24里
12．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ） A ．3)
B ．(3,2)
C ．(5,0)
D ．(4,1)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()2
2211x y a a
+=＞上，其中A （0，1）为直角
顶点．若该三角形的面积的最大值为
27
8
，则实数a 的值为_____． 14．已知点P 是抛物线2
4x y =上动点，F 是抛物线的焦点，
点A 的坐标为()0,1-，则PF
PA
的最小值为______________．
15．已知x ，y 满足约束条件0,
1,22,x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
则z x y =-的最大值为__________.
16．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的x 的值__________．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知二阶矩阵，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，属于特征值
的一个
特征向量为
.求矩阵.
18．（12分）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，下顶点为A ，椭圆C 的离心率是32，
12AF F ∆3（1）求椭圆C 的标准方程.
（2）直线l 与椭圆C 交于B ，D 两点（异于A 点），若直线AB 与直线AD 的斜率之和为1，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标.
19．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x 3cos φ
y sin φ=⎧⎨=⎩
（φ为参数），在以O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心为（2，
π
2
），半径为1的圆． （1）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
（2）设M 为曲线C 1上的点，N 为曲线C 2上的点，求|MN|的取值范围． 20．（12分）已知()13f x x x =+++. （1）解不等式()6f x <；
（2）若,,a b c 均为正数，且()()10f a f b c ++=，求222a b c ++的最小值.
21．（12分）已知函数23()x
f x x e =
（1）若0x <，求证：1
();9
f x <
（2）若0x >，恒有()(3)2ln 1f x k x x ≥+++，求实数k 的取值范围.
22．（10分）已知函数()()3
2
16f x x x a x =---，()ln g x a x =，a R ∈.函数()()()f x h x g x x
=
-的导函数()
h x '在5,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上存在零点. ()1求实数a 的取值范围；
()2若存在实数a ，当[]0,x b ∈时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值； ()3若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解题分析】
点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【题目详解】
不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值， 因为2tan a APF m +∠=
，2tan a
BPF m
-∠=，
所以(
)2222tan tan 221a a
a a m m APB APF BPF a a
b b m m m m +--
∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2
b m m
=()0m >，即当m b =时，等号成立，
此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，
点P 的坐标为()2,b ，代入22
221x y a b
-=
可得a =
b
所以双曲线的方程为22
122
x y -=．
故选：A 【题目点拨】
本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力. 2、B 【解题分析】
由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【题目详解】
对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，
()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，
故3n n a a +=，
{}n a ∴是以3为周期的数列，
故17298392,4,3a a a a a a ======，
()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++
()332432299=+++=.
故选：B . 【题目点拨】
本题考查周期数列求和，属于中档题. 3、B
先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α. 【题目详解】
解：角α的终边与单位圆22
1x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
1
cos 3
α=，
2
217cos 22cos 12139αα⎛⎫
=-=⨯-=- ⎪⎝⎭
，
故选：B 【题目点拨】
考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题. 4、D 【解题分析】
由函数的周期求得2w =，再由平移后的函数图像关于直线2
x π=对称，得到22
3
π
π
ϕ⨯
+-
2
k π
π=+
，由此求得满
足条件的ϕ的值，即可求得答案. 【题目详解】
分析：由函数的周期求得ω2=，再由平移后的函数图像关于直线πx 2=对称，得到πππ
2φk π232
⨯+-=+，由此求得满足条件的φ的值，即可求得答案.
详解：因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，
所以
2π
πω
=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π
6
个单位后，
得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 由此函数图像关于直线π
x 2
=
对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即π
φk π,k Z 6
=-∈，
取k 0=，得πφ6=-，满足π
φ2
<，
所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，故选D.
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到
sin(2)3
y x π
ϕ=+-，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
5、D 【解题分析】
构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x
=+，
由()()1
'f x lnx f x x
<-
可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数， 且()()1ln110g f =⨯=，
当x ∈(0,1)时,g (x )>0,∵lnx <0,f (x )<0,(x 2-1)f (x )>0; 当x ∈(1,+∞)时,g (x )<0,∵lnx >0,∴f (x )<0,(x 2-1)f (x )<0 ∵f (x )是奇函数,当x ∈(-1,0)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )<0 ∴当x ∈(-∞,-1)时,f (x )>0,(x 2-1)f (x )>0.
综上所述,使得(x 2-1)f (x )>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃. 本题选择D 选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 6、C 【解题分析】
由图像用分段函数表示()v t ，该物体在1
s~6s 2间的运动路程可用定积分6
12
()d s v t t =⎰表示，计算即得解
【题目详解】 由题中图像可得，
2,01()2,131
1,363
t t v t t t t ⎧
⎪≤<⎪
=≤≤⎨⎪⎪+<≤⎩
由变速直线运动的路程公式，可得
6131113262
1()d 22d 1d 3s v t t tdt t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰
6
1
3
22112
31492(m)64
t
t t t ⎛⎫
=+++= ⎪⎝⎭．
所以物体在1s~6s 2间的运动路程是49
m 4
． 故选：C
【题目点拨】
本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题. 7、B 【解题分析】
首先根据题中条件和三角形中几何关系求出x ，y ，即可求出23x y +的值. 【题目详解】
如图所示过O 做三角形三边的垂线，垂足分别为D ，E ，F ， 过O 分别做AB ，AC 的平行线NO ，MO ，
由题知2222
94cos 607212
AB AC BC BC BC AB AC +-++︒==⇒=⋅⋅
则外接圆半径2sin 60BC r =
=
⋅︒，
因为⊥OD AB ，所以3
OD ==
=
， 又因为60DMO ∠=︒，所以2133DM AM =
⇒=，4
3
MO AN ==， 由题可知AO xAB y AC AM AN =+=+， 所以16AM x AB =
=，4
9
AN y AC ==， 所以5
233
x y +=. 故选：D. 【题目点拨】
本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题. 8、B 【解题分析】
分三种情况，任务A 排在第一位时，E 排在第二位；任务A 排在第二位时，E 排在第三位；任务A 排在第三位时，E 排在第四位，结合任务B 和C 不能相邻，分别求出三种情况的排列方法，即可得到答案． 【题目详解】
六项不同的任务分别为A 、B 、C 、D 、E 、F ，
如果任务A 排在第一位时，E 排在第二位，剩下四个位置，先排好D 、F ，再在D 、F 之间的3个空位中插入B 、C ，
此时共有排列方法：22
2312A A =；
如果任务A 排在第二位时，E 排在第三位，则B ，C 可能分别在A 、E 的两侧，排列方法有122
322=12C A A ，可能都在A 、E 的右侧，排列方法有2
2
22=4A A ；
如果任务A 排在第三位时，E 排在第四位，则B ，C 分别在A 、E 的两侧1
1
2
2
2222=16C C A A ； 所以不同的执行方案共有121241644+++=种． 【题目点拨】
本题考查了排列组合问题，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题． 9、D 【解题分析】
由()0f x ax a -+恒成立，等价于|()|y f x =的图像在(1)y a x =-的图像的上方，然后作出两个函数的图像，利用数形结合的方法求解答案. 【题目详解】 因为2
ln(2),1,
()1,1,x x f x x x -⎧=⎨
->⎩
由()(1)f x a x -恒成立，分别作出|()|y f x =及(1)y a x =-的图象，由图知，当0a <时，不符合题意，只须考虑0a 的情形，当(1)y a x =-与()(1)y f x x =图象相切于(1,0)时，由导数几何意义，此
时21(1)|2x a x '
==-=，故02a .
故选：D
【题目点拨】
此题考查的是函数中恒成立问题，利用了数形结合的思想，属于难题. 10、D 【解题分析】
如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面，计算4AH OH =，由勾股定理解得6R =
63，三棱锥O EFG -体积为
2
3
，得到答案. 【题目详解】
如图，平面EFG 截球O 所得截面的图形为圆面.
正三棱锥A BCD -中，过A 作底面的垂线AH ，垂足为H ，与平面EFG 交点记为K ，连接OD 、HD . 依题意4A BCD O BCD V V --=，所以4AH OH =，设球的半径为R ， 在Rt OHD 中，OD R =，343
HD BC =
=
133R OH OA ==，
由勾股定理：2
2
2
4333R R ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，解得6R =，此外接球的体积为2463π， 由于平面//EFG 平面BCD ，所以AH ⊥平面EFG ， 球心O 到平面EFG 的距离为KO ， 则126
2333R KO OA KA OA AH R R =-=-
=-==
， 所以三棱锥O EFG -体积为211362
434433
⨯
⨯⨯⨯=
， 所以此外接球的体积与三棱锥O EFG -体积比值为243π. 故选：D.
【题目点拨】
本题考查了三棱锥的外接球问题，三棱锥体积，球体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 11、B 【解题分析】
人每天走的路程构成公比为1
2
的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，计算1192a =，代入得到答案. 【题目详解】
由题意可知此人每天走的路程构成公比为
1
2
的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ， 则611123781
12
a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，从而可得3
241119296,1922422a a ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭，故24962472a a -=-=. 故选：B . 【题目点拨】
本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 12、D 【解题分析】
依题意，设z a bi =+，由|3|2z -=，得2
2
(3)4a b -+=，再一一验证.
【题目详解】 设z a bi =+， 因为|3|2z -=， 所以2
2
(3)4a b -+=， 经验证(4,1)M 不满足， 故选：D. 【题目点拨】
本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、3 【解题分析】
设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1k =-x +1，（k ≠0），联立方程得到B （22221a k a k -+，22
22
11a k a k -+），故S 4422
21211a k k
a a k k +
=⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭，令t 1k k =+，得S 4
222
2(1)a a a t t
=-+，利用均值不等式得到答案. 【题目详解】
设直线AB 的方程为y ＝kx +1，则直线AC 的方程可设为y 1
k
=-
x +1，（k ≠0） 由22211
y kx x y a
=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2
kx ＝0，所以x ＝0或x 222
21a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k •22221a k a k -++1），即B （22221a k a k -+，22
22
11a k a k
-+）， 因此
AB ==2
22
21a k a k
+，
同理可得：AC 211k =+•
2
2
2
21a k
a
k
+. ∴Rt △ABC 的面积为S 12=AB •AC 221
2k k
=++•
44
422422221
221111a k a k
a a k a a k k k +
=⎛⎫⎛⎫
++++++ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭ 令t 1k k =+，得S ()
44
2
24222
22(1)12a t a a a a t a t
t
==-++-+. ∵t 1k k =+
≥2，∴S △ABC
4
4
22222(1)(1)2a a a a a a t t
≤=
--⨯.
当且仅当21a a t t -=，即t 21
a a
-=时，△ABC 的面积S 有最大值为42
27(1)8a a a =-. 解之得a ＝3或a 3297
16
+=
. ∵a 3297
16
+=时，t 21a a -=＜2不符合题意，∴a ＝3.
故答案为：3.
【题目点拨】
本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14、
2
2
【解题分析】
过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则
sin PF PM PAM PA PA
==∠，PAM ∠为锐角.故当PA 和抛物线相切时，PF
PA 的值最小.
再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得PF
PA
的最小值. 【题目详解】
解：由题意可得，抛物线2
4x y =的焦点()0,1F ，准线方程为1y =-，
过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足，则由抛物线的定义可得PM PF =， 则
sin PF PM
PAM PA PA
==∠，PAM ∠为锐角. 故当PAM ∠最小时，
PF
PA
的值最小. 设切点()
2,P a a ，由214y x =的导数为1
2
y x '=，
则PA 的斜率为
11
222a a a a
+⋅==， 求得1a =，可得()2,1P ，
∴2PM =，22PA =， ∴2sin 2
PM PAM PA ∠==.
故答案为：
22
. 【题目点拨】
本题考查抛物线的定义，性质的简单应用，直线的斜率公式，导数的几何意义，属于中档题. 15、1
【解题分析】
先画出约束条件的可行域，根据平移法判断出最优点，代入目标函数的解析式，易可得到目标函数z x y =-的最大值． 【题目详解】
解：由约束条件得如图所示的三角形区域， 由于z x y =-，则y x z =-，
要求z x y =-的最大值，则求y x z =-的截距z -的最小值， 显然当平行直线过点1,0A 时， z 取得最大值为：101z =-=.
故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查线性规划求最值问题，我们常用几何法求最值. 16、3 【解题分析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为1和2，高为2， 如图所示，1,2,,//,AD BC SB x AD BC SB ===⊥平面,ABCD AD AB ⊥，
所以底面积为1
(12)232
S =
⨯+⨯=， 几何体的高为x ，所以其体积为1
3333
V x x =⨯⨯=⇒=．
点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、
【解题分析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【题目详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得 同理可得解得
，
，
，
.因此矩阵
【题目点拨】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单
18、（1）2
214
x y +=； （2）证明见解析，()2,1.
【解题分析】
（1）根据离心率和12AF F ∆3得到方程组，计算得到答案.
（2）先排除斜率为0时的情况，设()11,B x y ，()22,D x y ，联立方程组利用韦达定理得到12224
mt
y y m +=-
+，
2122
4
4
t y y m -=+，根据1AB AD k k +=化简得到2t m =-，代入直线方程得到答案. 【题目详解】
（1）由题意可得222
323c a bc c a b ⎧=⎪
⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩
，解得24a =，2
1b =，则椭圆C 的标准方程是2214x y +=.
（2）当直线l 的斜率为0时，直线AB 与直线AD 关于y 轴对称，则直线AB 与直线AD 的斜率之和为零，与题设条件矛盾，故直线l 的斜率不为0.
设()11,B x y ，()22,D x y ，直线l 的方程为x my t =+
联立2
214x y x my t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
，整理得()222
4240m y mty t +++-=
则12224mt y y m +=-+，2122
4
4
t y y m -=+. 因为直线AB 与直线AD 的斜率之和为1，所以1AB AD k k +=， 所以121212121111AB AD y y y y k k x x my t my t +++++=
+=+++()()()121222
121222my y m t y y t
m y y mt y y t ++++=+++， 将12224mt y y m +=-+，21224
4
t y y m -=+代入上式，整理得2AB AD k k t m +=
+. 所以
2
1t m
=+，即2t m =-， 则直线l 的方程为()212x my m m y =+-=-+. 故直线l 恒过定点()2,1. 【题目点拨】
本题考查了椭圆的标准方程，直线过定点问题，计算出2t m =-是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.
19、（1）C 1：2x 9+y 2＝1，C 2 ：x 2+（y ﹣2）2＝1；（2）[0
，2
+1]
【解题分析】
（Ⅰ）消去参数φ可得C 1的直角坐标方程，易得曲线C 2的圆心的直角坐标为（0，2），可得C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M （3cosφ，sinφ），由三角函数和二次函数可得|MC 2|的取值范围，结合圆的知识可得答案． 【题目详解】
（1）消去参数φ可得C 1 的普通方程为2
x 9
+y 2＝1，
∵曲线C 2 是圆心为（2，
π2
），半径为1 的圆，曲线C 2 的圆心的直角坐标为（0，2）， ∴C 2 的直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2＝1；
（2）设M （3cosφ，sinφ），则|MC 2
|=
==
= ∵﹣1≤sinφ≤1，∴1≤|MC 2
|2
≤
， 由题意结合图象可得|MN|的最小值为1﹣1＝0
，最大值为
2
+1， ∴|MN|的取值范围为[0
+1]． 【题目点拨】
本题考查椭圆的参数方程，涉及圆的知识和极坐标方程，属中档题． 20、（1）()5,1-；（2）4
9
【解题分析】
（1）利用零点分段讨论法可求不等式的解. （2）利用柯西不等式可求222a b c ++的最小值. 【题目详解】
（1）()24,12,3124,3x x f x x x x +≥-⎧⎪
=-<<-⎨⎪--≤-⎩
，
由()6f x <得1246x x ≥-⎧⎨+<⎩或3126x -<<-⎧⎨<⎩
或3
246x x ≤-⎧⎨--<⎩，
解得()5,1x ∈-.
（2）()()()()242410f a f b c a b c ++=++++=， 所以222a b c ++=， 由柯西不等式(
)()
()2
222
2
22123
1
23112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++得：
(
)(
)
()2
22222222122a b c a b c ++++≥++
所以(
)
()2
22
2
9224a b c
a b c ++≥++=，
即222
4
9a b c ++≥
（当且仅当429
a b c ===时取“=”）. 所以222a b c ++的最小值为
4
9
.
【题目点拨】
本题考查绝对值不等式的解法以及利用柯西不等式求最值.解绝对值不等式的基本方法有零点分段讨论法、图象法、平方法等，利用零点分段讨论法时注意分类点的合理选择，利用平方去掉绝对值符号时注意代数式的正负，而利用图象法求解时注意图象的正确刻画．利用柯西不等式求最值时注意把原代数式配成平方和的乘积形式，本题属于中档题. 21、（1）见解析；（2）（﹣∞，0] 【解题分析】
（1）利用导数求x ＜0时，f （x ）的极大值为22439f e ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即证1();9f x <（2）等价于k≤233211
x
x e x nx x
---，
x ＞0，令g （x ）＝233211
x x e x nx x
---，x ＞0，再求函数g(x)的最小值得解.
【题目详解】
（1）∵函数f （x ）＝x 2e 3x ，∴f′（x ）＝2xe 3x +3x 2e 3x ＝x （3x+2）e 3x ．
由f′（x ）＞0，得x ＜﹣
23或x ＞0；由f′（x ）＜0，得2
03x -<<， ∴f （x ）在（﹣∞，﹣23）内递增，在（﹣2
3
，0）内递减，在（0，+∞）内递增，
∴f （x ）的极大值为22439f e
⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴当x ＜0时，f （x ）≤2244139949f e ⎛⎫-
=<= ⎪⨯⎝⎭
（2）∵x 2e 3x
≥（k+3）x+2lnx+1，∴k≤233211
x x e x nx x
---，x ＞0，
令g （x ）＝233211x x e x nx x ---，x ＞0，则g′（x ）232
(13)211
x x x e nx x
++-=， 令h （x ）＝x 2（1+3x ）e 3x +2lnx ﹣1，则h （x ）在（0，+∞）上单调递增， 且x→0+时，h （x ）→﹣∞，h （1）＝4e 3﹣1＞0， ∴存在x 0∈（0，1），使得h （x 0）＝0，
∴当x ∈（0，x 0）时，g′（x ）＜0，g （x ）单调递减， 当x ∈（x 0，+∞）时，g′（x ）＞0，g （x ）单调递增，
∴g （x ）在（0，+∞）上的最小值是g （x 0）＝0
320000
32ln 1
x x e x x x ---，
∵h （x 0）＝()0
320
013x x x e
++2lnx 0﹣1=0，所以0
320
00
12ln 13x x x e x -=
+，
令0
20030=130x x x e ∴+=，2lnx ，
令
000
12ln =13013x x x -∴+=+，2lnx
所以0
320
00
12ln 13x x x e x -=
+=1，00=3x -2lnx ,
∴g （x 0）0320000000
32111331
0x x e x nx x x x x ----+-=
== ∴实数k 的取值范围是（﹣∞，0]． 【题目点拨】
本题主要考查利用证明不等式，考查利用导数求最值和解答不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22、()1[]
10,28；()24；()312. 【解题分析】
()1由题意可知，()2ln 16h x x x a x a =---+，求导函数()h x '，方程220x x a --=在区间5
,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有实数解，求出实数a 的取值范围；
()2由()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'，分步讨论，并利用导函数在函数的单调性的研究，
得出正实数b 的最大值；
()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---，因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率
()2113216k x x a =---，切线方程为()2412y a x =--，设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，因为
()a g x x '=
，所以切线斜率2
a k x =，即切线方程为
()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22ln a y x a x a x =+-.所以2224ln 12
a
a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩
，求得257x ≥，设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+
-≥ ⎪⎝⎭，则()22
1121
022x G x x x x -=
-=>'， 所以()G x 在5
,7
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，最后求出实数a 的值.
【题目详解】
()1由题意可知，()2
ln 16h x x x a x a =---+，则()2221a x x a h x x x x --'=--=， 即方程220x x a --=在区间5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有实数解，解得[]
10,28a ∈； ()2因为()()3216f x x x a x =---，则()23216f x x x a =--+'， ①当()412160a ∆=--+≤，即47103
a ≤≤时，()0f x '≥恒成立， 所以()f x 在[]0,
b 上单调递增，不符题意； ②当47163
a <<时，令()232160f x x x a =--+='，
解得：x ==
当x ⎛∈ ⎝⎭
时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以不存在0b >，使得()f x 在[]0,b 上的最大值为()0f ，不符题意； ③当1628a ≤≤时，()2
32160f x x x a =--+='，
解得：1103x =<，2103
x +=> 且当()20,x x ∈时，()0f x '<，当()2,x x ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，
若20b x <≤，则()f x 在[]0,b 上单调递减，所以()()max 0f x f =， 若2b x >，则()()20,f x x 上单调递减，在()2,x b 上单调递增， 由题意可知，()()0f b f ≤，即()32
160b b a b ---≤， 整理得216b b a -≤-，
因为存在[]
16,28a ∈，符合上式，所以212b b -≤，解得04b <≤， 综上，b 的最大值为4； ()3设直线l 与曲线()y f x =的切点为()()321111,16x x x a x ---， 因为()()23216f x x x a =---'，所以切线斜率()2
113216k x x a =---，
即切线方程()()()232111111321616y x x a x x x x a x ⎡⎤=----+---⎣⎦ 整理得：()232
111132162y x x a x x x ⎡⎤=----+⎣⎦ 由题意可知，3211212x x -+=-，即32112120x x --=，
即()()
211122360x x x -++=，解得12x = 所以切线方程为()2412y a x =--，
设直线l 与曲线()y g x =的切点为()22,ln x a x ，
因为()a g x x
'=，所以切线斜率2a k x =，即切线方程为()222ln a y x x a x x =-+， 整理得22
ln a y x a x a x =+-. 所以2224ln 12a a x a x a ⎧=-⎪⎨⎪-=-⎩
，消去a ，整理得2211ln 022x x +-=， 且因为[]()22410,28a a a x =-∈，解得257
x ≥， 设()115ln 227G x x x x ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，则()221121022x G x x x x
-=-=>'， 所以()G x 在5,7⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，
因为()10G =，所以21x =，所以24a a =-，即12a =.
【题目点拨】
本题主要考查导数在函数中的研究，导数的几何意义，属于难题.。