广东省佛山市三水区2012年5月考前金题巧练(8,理数)

2012考前金题巧练（8）
祝你成功
1.在平面直角坐标系xoy 中，点M 与点(1,1)N -关于原点O 对称，P 是动点，且直线MP 与NP 的斜率之积等于1
3
-
.(Ⅰ)求动点P 的轨迹方程； (Ⅱ)设直线MP 和NP 分别与直线3x =交于,A B 两点，问：是否存在点P 使得PMN ∆与
PAB ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。

2.在直角坐标系xoy 上取两个定点12(2,0),(2,0)A A -,再取两个动点1(0,),N m 2(0,)N n ,且
3mn =.（I ）求直线11A N 与22A N 交点的轨迹M 的方程；
（II ）已知点G (1,0)和'(1,0)G -，点P 在轨迹M 上运动，现以P 为圆心，PG 为半径作圆Ｐ，试探究是否存在一个以点'(1,0)G -为圆心的定圆，总与圆P 内切？若存在，求出该定
圆的方程；若不存在，请说明理由.
3．已知A 、B 、C 是椭圆M ：22
221(0)x y a b a b
+=>>上的三点，其中点A 的坐标为)0,32(，
BC 过椭圆M 的中心，且.||2||,0==⋅（I ）求椭圆M 的方程；
（II ）过点),0(t 的直线l （斜率存在时）与椭圆M 交于两点P 、Q ，设D 为椭圆M 与y 轴负半轴的交点，且|,|||DQ DP =求实数t 的取值范围．
4．已知椭圆22222
221(0,)x y a b c a b c a b
+=>>>=+的左、右焦点分别为F 1,F 2，若以F 2为
圆心，b c -
为半径作圆F 2，过椭圆上一点P 作此圆的切线，切点为T ，且|PT|的最小值不小于
()2
a c -． （I ）求椭圆的离心率e 的取值范围； （II ）设椭圆的短半轴长为1，圆F 2与x 轴的右交点为Q ，过点Q 作斜率为k （k>0）的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，求直线l 被圆F 2截得的弦长s 的最大值．
．
5.如图，P 是抛物线C ：2
12
y x =
上横坐标大于零的一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 处的切线垂直，直线l 与抛物线C 相交于另一点Q . （I ）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程； （II ）若0OP OQ ⋅=，求过点,,P Q O 的圆的方程.
6.已知椭圆C 的方程为：()22
210
2
x y a a +=>，其焦点在x 轴上，离心率2e =.
（I ）求该椭圆的标准方程；（II ）设动点()00,P x y 满足2OP OM ON =+，其中M ，N 是椭圆C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12
-
，求证：22
002x y +为定值. （III ）在（II ）的条件下，问：是否存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值？ 若存在，给出证明；若不存在，请说明理由.
7．设抛物线C 1：x
2＝4 y 的焦点为F ，曲线C 2与C 1关于原点
对称．(Ⅰ) 求曲线C 2的方程；
(Ⅱ) 曲线C 2上是否存在一点P （异于原点），过点P 作C 1的两条切线P A ，PB ，切点A ，B ，满足| AB |是 | F A | 与 | FB | 的等差中项？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．设椭圆1C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个顶点与抛物线2C ：
2x = 的焦点重合，12,F F 分别是椭圆的左右焦点，离心率 1
2
e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆1C 交于,M N 两
点．（I ）求椭圆1C 的方程；（II ）是否存在直线l ，使得 2OM ON ⋅=-，若存在，求出直
线l 的方程；若不存在，说明理由；
（III ）若AB 是椭圆1C 经过原点O 的弦，且//MN AB ，求证：2
||||
AB MN 为定值．
9． 已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1，F 2；且2||21=F F 点⎪
⎭
⎫
⎝⎛23,1在椭圆C 上．（I ）求椭圆C 的方程； （II ）过F 1的直线L 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且△
AF 2B 的面积为7
2
12，求以F 2为圆心且与直线L 相切的圆的方程．
10．设椭圆22
2:12
x y M a +=(a >的右焦点为1F ，直线2
:2
2-=
a a x l 与x 轴交于点A ，
若1120OF AF +=（其中O 为坐标原点）
．（I ）求椭圆M 的方程； （II ）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:2
2
=-+y x N 的任意一条直径（E 、F
为直径的两个端点），求⋅的最大值．
11.已知椭圆2
2
14
y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，
设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （I ）求曲线C 的方程；
（II ）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；
（III ）设TAB ∆与POB ∆（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB ⋅≤15uu r uu r
，
求22
12S S -的取值范围．
.||2||AC BC =2012考前金题巧练（8）参答
1.（I ）解：因为点B 与A (1,1)-关于原点O 对称，所以点B (1,1)-. 设点P 的坐标为(,)x y 由题意得
111
113
y y x x -+⋅=-+- 化简得 2234(1)x y x +=≠±. 故动点P 的轨迹方程为2
2
34(1)x y x +=≠±
（II ）若存在点P 使得PAB 与PMN 的面积相等，设点P 的坐标为00(,)x y 则
1sin 2PA PB APB ⋅∠=1
sin 2
PM PN MPN ⋅∠ 因为sin sin APB MPN ∠=∠, 所以||||||||PA PN PM PB = 所以000|1||3||3||1|x x x x +-=-- 即 22
00(3)|1|x x -=-，解得0x 53= 因为
220034x y +=，
所以0y =
故存在点P S 使得PAB 与PMN 的面积相等，且P
的坐标为5(,3 2.解：（I ）依题意知直线11A N 的方程为：(2)2m y x =
+直线22A N 的方程为：(2)2
n
y x =--,设(,)Q x y 是直线11A N 与22A N 交点，①×②得2
2(4)4
mn y x =--
由3mn = 整理得22
143
x y +=∵12,N N 不与原点重合 ∴点12(2,0),(2,0)A A -不在轨迹M 上∴轨迹M 的方程为22
143
x y +=（2x ≠±） （II ）由（I ）知，点G (1,0)和'(1,0)G -为椭圆22
143
x y +=的两焦点， 由椭圆的定义得|'|||4PG PG +=,即|'|4||PG PG =-∴以'G 为圆心，以4为半径的圆与P 内切，即存在定圆'G ，该定圆与P 恒内切，其方程为：22(1)16x y ++=
3．（I ）∵点A 的坐标为（，，032）∴32=a ，椭圆方程为
1122
2
2=+b y x ①,又∵，且BC 过椭圆M 的中心O （0，0），∴.||||=又∵,0=⋅∴△AOC 是
以∠C 为直角的等腰三角形，易得C 点坐标为（3，3）将（3，3）代入①式得42=b ,
∴椭圆M 的方程为14
122
2=+y x （II ）当直线l 的斜率0=k ，直线l 的方程为t y =
则满足题意的t 的取值范围为22<<-t ,当直线l 的斜率k ≠0时，设直线l 的方程为
t kx y +=,由⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=14
122
2y x t kx y 得01236)13(222=-+++t ktx x k ,∵直线l 与椭圆M 交于两点
P 、Q ，∴△=0)123)(13(4)6(2
2
2
>-+-t k kt
即2
2124k t +< ② 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），PQ
中点),(00y x H ，则
H 的横坐标13322210+-=+=
k kt x x x ，纵坐标1
3200+=+=k t t kx y ，
D 点的坐标为（0，-2）,由||||DQ DP =，得DH ⊥PQ ，1-=⋅PQ DH k k ，
即
,11
332132
2
-=⋅+-++k k kt k t
即231k t +=． ③,∴,02
>k ∴1>t ．④,由②③得40<<t ，
结合④得到.41<<t ,综上所述，42<<-t
4．解：（I
）依题意设切线长||PT =，
∴当且仅当2||PF 取得最小值时||PT 取得最小值，而2min ||PF a c =-，（2分）
)a c -，1
02
b c a c -∴<-≤
，从而解得352e <≤ 故离心率e
的取值范围是
35e <≤ （II ）依题意Q 点的坐标为(1,0)，则直线的方程为(1)y k x =-，
联立方程组 22
2(1)1y k x x y a
=-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得，22222222
(1)20a k x a k x a k a +-+-= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有22122221a k x x a k +=+，222
12221
a k a x x a k -=+，
代入直线方程得2
121212[()1]y y k x x x x =-++2222(1)
1
k a a k -=+，
22
1212221
k a x x y y a k -⋅+⋅=+，又OA OB ⊥，2212120,0,OA OB x x y y k a ∴⋅=∴+=∴=，
k a ∴=，直线的方程为0ax y a --=，圆心2F (,0)c 到直线l
的距离d =
知2d s a =====
∴
35e <≤35
1,21342
c c ∴<+<≤≤
，∴s ∈
，所以max s =．
5.解：（Ⅰ）把x =2代入212y x =
，得y =2， ∴点坐P 标为（2，2）.由 2
12
y x =，得y x '=， ∴过点P 的切线的斜率切k =2，直线l 的斜率1k =切k 1-
=,2
1
-∴直线l 的方程为2y -=1
(2)2
x --， 即260x y +-=
（Ⅱ）设00(,),P x y 11(,)Q x y 则2
001.2y x =∵ 过点P 的切线斜率切k 0x =，因为00.x ≠
∴ 直线l 的斜率1k =22010101011122x x y y x x x x --=--=012x x +，01
102
x x k k x +⋅=⋅2
00112x x x +=
=- ① 设(,)M x y 为PQ 的中点，因为0OP OQ ⋅=，所以过点,,P Q O 的圆的圆心为(,)M x y 半径为r PM =，且22
010********
x x y y x x x x +=+
=,
所以010x x =（舍去）或014x x =-,② 联立①②得2
02x =，又因为00x >，
所以0x =，01y =
；所以1x =-，14y =∵M 是PQ
的中点，∴
,25.
2
x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22200
27()()4r x x y y =-+-=所以过点,,P Q O 的圆的方程的方程为
22527
(()224
x y +
+-= 6.解：（I
）由2e =，22
=b ，解得2,2===a b c ，故椭圆的标准方程为
22142
x y +=. （II ）设()()1122,,,M x y N x y ,则由2OP OM ON =+，得()()()001122,,2,x y x y x y =+，
即0120122,2x x x y y y =+=+，∵点M ，N 在椭圆22
142
x y +=上，∴2222112224,24x y x y +=+= 设,OM ON k k 分别为直线,OM ON 的斜率，由题意知，
2
1
2121-==
⋅x x y y k k ON OM ，∴12122=0x x y y +， 故()()22
22220012121212244244x y x x x x y y y y +=+++++
()()()2222112212122424220x y x y x x y y =+++++=，即22
00220x y +=（定值）
（III ）由（II ）知点P 是椭圆
22
12010
x y +=
上的点，∵c ==
∴该椭圆的左右焦点(
))
A B
、
满足PA PB +=
因此存在两个定点,A B ，使得PA PB +为定值。

7．(Ⅰ)解；因为曲线1C 与2C 关于原点对称，又1C 的方程2
4x y =，所以2C 方程为2
4x y =-．
(Ⅱ)解：设2
00(,)4x P x -，11(,)A x y ，22(,)B x y ,12x x ≠．214y x =的导数为1
2
y x '=，则切
线PA 的方程1111()2y y x x x -=
-，又21114y x =，得111
2
y x x y =-，因点P 在切线PA 上,故201011142x x x y -=-．同理, 202021142x x x y -=-．所以直线20011
42
x x x y -=-经过
,A B 两点，即直线AB 方程为2001142x x x y -=-,即20011
24
y x x x =+，
代入2
4x y =得220020x x x x --=，则1202x x x +=,2120x x x =-，
所以
||AB ==1||1FA y =+，2||1FB y =+．所以212012011||||()2()222
FA FB y y x x x x +=++=
+++， 由题设知，||||2||FA FB AB +=，即2222
0003(2)4(82)2x x x +=+
，解得2
0x =
从而200113423
y x -=-
=．综上，存在点P 满足题意，点P 的坐标为
1323- 或
13(23
-．
8．解：（I
）椭圆的顶点为
，即b =
，1
2
c e a ==，解得2a =，
∴椭圆的标准方程为22
143
x y +=
（II ）由题可知，直线l 与椭圆必相交．
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
②设存在直线l 为(1)(0)y k x k =-≠，且11(,)M x y ，22(,)N x y .
由22
143(1)
x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得2222
(34)84120k x k x k +-+-=， 2122
834k x x k +=+，2122
412
34k x x k
-⋅=+，21212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++ =22
2222222
4124128512(1)234343434k k k k k k k k k ----+-+==-++++
所以k =l
的方程为1)y x =-
或1)y x =-
（III ）设1122(,),(,)M x y N x y ,3344(,),(,)A x y B x y
由（II ）可得： |MN
12|x x -=
22
12(1)
34k k ++．
由22
143x y y kx
⎧+
=⎪⎨⎪=⎩
消去y ，并整理得：22
1234x k =+ ， |AB
34|x x -=22222
48(1)
||34412(1)
||34k AB k k MN k ++==++为定值 9． 解：（I ）设椭圆的方程为()0122
22>>=+b a b
y a x ，由题意可得：
椭圆C 两焦点坐标分别为F 1(-1,0），F 2(1,0)
42
3
25)23()11()23()11(22222=+=+-+++=∴a
2=∴a ,又c=1, b 2
=4-l=3, 故椭圆的方程为134
2
2=+y x ．
（II ）：设直线l 的方程为x=ty-1，
由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
1
22y x ty x ，消去x 得096)34(22=--+ty y t ，△>O 恒成立，
设),(),,(2211y x B y x A ,则2
21221349
,346t
y y t t y y +-=⋅+=
+ 所以=
⋅-+=-212
21214)(||y y y y y y ()
222
2
22
341
1234363436t t t t t ++=+++
又圆F 2的半径为2
2
12
1|
101|t
t
t r +=
++⨯-=
所以||||||2
1
2121212y y y y F F S B
AF -=-⋅⋅=∆72123411222=++=t t ，解得t 2=1， 所以2122
=+=
t r ．故圆F 2的方程为：2)1(22=+-y x
10．（I
）由题设知，2A ⎛⎫
⎪⎭
，)
1
F ，由112OF AF +=0，得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=-22222
222
a a a a ．解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+y x M ． （II ）：设圆()12:2
2
=-+y x N 的圆心为N ，则()()
-⋅-=⋅
()()
N F N P N F N P =--⋅-222
1N P N F N P =-=-．从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2
NP 的最大值．因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，所以12
62
02
0=+y
x ，即
2
02
036y x -=．因为点()2,0N ，所以()()121222
02
02
02
++-=-+=y y x ．
因为0y ⎡∈⎣，所以当10-=y 时，2
NP 取得最大值12．所以⋅的最大
值为11
22
2
1212222
12164(4)
(1)2()4(1)2()40141414k k k x x k x x k k k k k -∴++++=++-+=>+++．
24,k ∴<又234k >
，2
344
k ∴<<，
3(2,(,2)k ∴∈-． 11．（I ）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．设双曲线C 的方程为2
2
21y x
b
-=()0b >，
=2b =． 所以双曲线C 的方程为2
2
14
y x -=． （II ）证：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），
则直线AP 的方程为(1)y k x =+，
联立方程组()22
1,1.4
y k x y x ⎧=+⎪⎨+
=⎪⎩整理，得()22224240k x k x k +++-=， 解得1x =-或2244k x k -=+．所以2
22
44k x k -=+．同理可得，21244k x k +=-．所以121x x ⋅=．
（III ）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），
则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．
因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即22
1116x y +≤．
因为点P 在双曲线上，则2
211
14
y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．因为1221
||||||2
S AB y y =
=，21111
||||||22
S OB y y ==，所以()()22222222122121121
441544S S y y x x x x -=-=---=--．由（II ）知，121x x ⋅=，即
211x x =
．设21t x =，则14t <≤，22
1245S S t t -=--．设()45t t
f t =--，则()()()22
2241t t f t t t
-+'=-+
=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，
()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min 40S S f -==．
当2t =
，即1x =(
)
()22
12max
21S S f -==．所以2212S S -的取值范围为[]0,1．。