广东省深圳市南山区蛇口育才教育集团育才三中2020-2021学年八年级上学期期中数学试题

广东省深圳市南山区蛇口育才教育集团育才三中2020-2021
学年八年级上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．9的算术平方根是（ ）
A ．﹣3
B ．±3
C ．3 D
2．己知21x y =⎧⎨=⎩
是方程3mx y -=的解，则m 的值是（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．3 D ．4
3．若点A(﹣1， m )在第二象限，则m 的值可以是（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．0
D ．1
4．下列计算正确的是（ ）
A ．=
B =
C ．2-=
D ．=
5．已知点12(4,),(2,)y y -都在直线122y x =
+上，则1y 和2y 的大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y = C ．12y y < D ．无法确定 6．已知一次函数的图象与直线1y x =-+平行，且过点(﹣6， 2)，那么一次函数解析式为（ ）
A ．6y x =-
B ．4y x =--
C ．10y x =-+
D ．4y x = 7．正比例函数y =kx （k ≠0）的函数值y 随着x 增大而减小，则一次函数y =x +k 的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8 ）
A ．5～6之间
B ．6～7之间
C ．7～8之间
D ．8～9之间 9．若单项式22a b x y +与43a b x y -是同类项，则a ，b 的值分别是（ ）
A ．a=3， b=1
B ．a =﹣3， b=1
C ．a =3，b=﹣1
D ．a =﹣3， b=﹣1 10．下列说法：①若ab =0， 则点P （a ，b ）表示原点；②点（1，a ）在第三象限；③已知点A （3，﹣3）与点B （3，3），则直线AB ∥x 轴；④若ab >0， 则点P （a ，b ）在第一、三象限.其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．如图，已知钓鱼竿AC 的长为6m ， 露在水面上的鱼线BC 长为，某钓者想
看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B' C'为，则BB'的长为（ ）
A
B ．
C
D ．
12．如图，平面直角坐标系中，ABC ∆的顶点坐标分别是A(1，1)，B(3，1)，C(2，2)，当直线12
y x b =+与ABC ∆有交点时，b 的取值范围是( )
A ．11b -≤≤
B ．112b -≤≤
C ．1122b -≤≤
D ．112
b -≤≤
二、填空题
13．如图，以直角三角形三边分别作正方形，其中两个正方形的面积分别为225，
289，
则正方形A 的边长为_______.
14．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，点D 是边BC 上一点.若沿AD 将△ACD 翻折，点C 刚好落在AB 边上点E 处，则AD= _______.
15．如图，点B 、C 分别在两条直线2y x =和y kx =上，点A 、D 是x 轴上两点，已知四边形ABCD 是正方形，则k 值为______.
16．如图，点P ，Q 是直线y ＝﹣122
x +上的两点，P 在Q 的左侧，且满足OP ＝OQ ，OP ⊥OQ ，则点P 的坐标是_____．
三、解答题
17．计算：
（1
（20114(1)()2
18．解方程组：
（1）
23 511 y x
x y
=-
⎧
⎨
+=
⎩
；
（2）
21 538
x y
x y
+=⎧
⎨
-=⎩
19．如图，在平面直角坐标系中，A(1，2)，B(3，1)，C(－2，－1)．
（1）在图中作出△ABC 关于y 轴对称的△A1B1C1并写出坐标；
（2）求出△A1B1C1的面积．
20．如图,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)证明:△BCD是直角三角形.
(2)求△ABC的面积.
21．将长为38cm，宽为5cm的长方形白纸按如图所示的方法黏合在一起，黏合部分的白纸宽为2cm.
（1）求5张白纸黏合的长度；
（2）设x张白纸黏合后的总长为y cm，写出y与x的函数关系式.
22．阅读理解：在以后你的学习中，我们会学习一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若点D是斜边AB的中点，
则CD=1
2 AB．
灵活应用：如图2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD 沿AD翻折得到△AED，连接BE，CE.
（1）求AD的长；
（2）判断△BCE的形状；
（3）求CE的长.
23．如图，在平面直角坐标系中，过点B(6，0)的直线AB与y轴相交于点C(0，6)，与直线OA相交于点A且点A的纵坐标为2，动点P沿路线O A C
→→运动.
（1）求直线BC的解析式；
（2）在y轴上找一点M，使得△MAB的周长最小，则点M的坐标为______；（请直接写出结果）
（3）当△OPC的面积是△OAC的面积的1
4
时，求出这时P的坐标.
参考答案1．C
【解析】
试题分析：9的算术平方根是3．故选C．
考点：算术平方根．
2．B
【分析】
把
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入mx-y=3，求得m的值即可．
【详解】
把
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入mx-y=3得，2m-1=3，
解得：m=2，
故选：B．
【点睛】
此题考查的是二元一次方程的解，得到关于m的方程是解题的关键．
3．D
【分析】
根据已知得点A的横坐标小于0，纵坐标大于0列式即可求解．
【详解】
∵点A（-1，m）在第二象限，
∴m＞0，
故选：D．
【点睛】
此题考查点的坐标的符号特点．解题关键在于掌握第二象限点的符号为（-，+）．4．D
【分析】
根据二次根式加减乘除的运算法则逐一计算判断即可.
【详解】
解：A 、=
B
C 、=
D 、=
，正确，符合题意．故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.
5．C
【分析】
根据一次函数的增减性进行判断．
【详解】 ∵122
y x =+，k >0， ∴y 随x 的增大而增大， 又∵点12(4,),(2,)y y -在直线122y x =
+上，且-4<2， ∴y 1<y 2．
故选：C ．
【点睛】
考查了一次函数的性质，解题关键是熟记一次函数的性质：一次函数y=kx+b ，当k>0时，图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大；当k<0时，图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．
6．B
【分析】
由函数的图象与直线y=-x+1平行，可得斜率，将点（-6，2）代入，求出b 的值，即可得出一次函数的图象解析式．
【详解】
设所求一次函数的解析式为y =kx+b ，
∵函数的图象与直线y=-x+1平行，
∴k=-1，
又∵过点（-6，2），有2=-1×（-6）+b ，
解得b=-4，
∴一次函数的解析式为y=-x-4，
故选：B．
【点睛】
此题考查两条直线相交或平行问题，解题关键是根据一次函数的图象与直线y=-x+1平行，得出斜率，求出b的值．
7．A
【分析】
根据自正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
【详解】
解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
故选A．
【点睛】
本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
8．D
【分析】
【详解】
∵82=64，92=81，
所以89，
故选：D．
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，解题关键在于掌握运算法则.
9．A
【分析】
同类项是指相同字母的指数要相等．【详解】
由题意可知：2=a-b，a+b=4，
∴
2
4
a b
a b
-
⎧
⎨
+
⎩
＝
＝
，
∴解得
3
1 a
b
⎧
⎨
⎩
＝
＝
∴故选A.
【点睛】
此题考查同类项的概念，解题的关键是根据同类项的概念列出关于a、b的方程组，本题属于基础题型．
10．A
【分析】
直接利用坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系分别分析得出答案．【详解】
①若ab=0，则点P（a，b）表示在坐标轴上，故不符合题意；
②当a＞0时，点点（1，a）在第一象限，故不符合题意；
③已知点A （3，-3）与点B（3，3），则直线AB∥y轴，故不符合题意；
④若ab＞0，则a、b同号，故点P（a，b）在第一、三象限，故符合题意．
故选：A．
【点睛】
此题考查了坐标与图形的性质，正确把握点的坐标特点是解题关键．
11．A
【分析】
根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案．
【详解】
∵AC=6m，
BC=，
∴
=m，
∵AC′=6m，B′C′=，
∴m，
∴BB′=AB-m；
故选：A．
【点睛】
此题考查二次根式的应用，勾股定理，根据已知条件求出AB和AB′是解题的关键．12．B
【分析】
将A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线y＝1
2
x+b中求得b的值，再根
据一次函数的增减性即可得到b的取值范围．【详解】
解：直线y=1
2
x+b经过点B时，将B（3，1）代入直线y＝
1
2
x+b中，可得
3
2
+b=1，解得
b=-1
2
；
直线y=1
2
x+b经过点A时：将A（1，1）代入直线y＝
1
2
x+b中，可得
1
2
+b=1，解得b=
1
2
；
直线y=1
2
x+b经过点C时：将C（2，2）代入直线y＝
1
2
x+b中，可得1+b=2，解得b=1．
故b的取值范围是-1
2
≤b≤1．
故选B．
【点睛】
考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．
13．8
【分析】
根据两个正方形的面积计算正方形的边长，计算的边长即为直角三角形的直角边和斜边，根据勾股定理可以计算直角边，即正方形A的边长．
【详解】
因为以两个边长的正方形面积为225，289，
，
所以直角边的平方)22＝64，
正方形A的边长=8，
故答案为：8．
【点睛】
此题考查正方形的性质，勾股定理的运用，根据勾股定理求直角边的平方是解题的关键．
14．
【分析】
由勾股定理可知BC=8．由折叠的性质得：AE=AC=6，DE=DC，∠AED=∠C=90˚，设DE=DC=x，则BD=8-x，在Rt△BED中依据勾股定理列方程得出CD=3，再由勾股定理即可得出AD的长．
【详解】
在Rt△ACB中，由勾股定理可知AC2+BC2=AB2，
∴=．
由折叠的性质得：AE=AC=6，DE=DC，∠AED=∠C=90˚．
设DE=DC=x，则BD=8-x，BE=AB-AE=4．
在Rt△BED中，BE2+DE2=BD2．
∴42+x2=（8-x）2．
∴x=3，
∴CD=3，
∴
==
故答案为：
【点睛】
此题考查翻折变换的性质，勾股定理，利用勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．
15．2 3
【分析】
设正方形的边长为a ，根据正方形的性质分别表示出B ，C 两点的坐标，再将C 的坐标代入函数中从而可求得k 的值．
【详解】
设正方形的边长为a ，则B 的纵坐标是a ，把点B 代入直线y=2x 的解析式，则设点B 的坐标为（2
a ，a ）， 则点C 的坐标为（2
a +a ，a ）， 把点C 的坐标代入y=kx 中得，a=k （
2a +a ），解得，k=23． 故答案为：
23
． 【点睛】 此题考查正方形的性质及正比例函数的综合运用，建立起关系，灵活运用性质是解题的关键． 16．412,55⎛⎫- ⎪⎝
⎭． 【分析】
证明△PMO ≌△ONQ （AAS ），则PM ＝ON ，OM ＝QN ，设点P （m ，﹣12
m +2），则点Q （﹣12
m +2，﹣m ），即可求解． 【详解】
解：分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交于点M 、N ，
∵OP ⊥OQ ，
∴∠POM +∠QON ＝90°，而∠QON +∠OQN ＝90°，
∴∠OQN ＝∠MOP ，OP ＝OQ ，∠PMO ＝∠ONQ ＝90°，
∴△PMO≌△ONQ（AAS），∴PM＝ON，OM＝QN，
设点P（m，﹣1
2
m+2），则点Q（﹣
1
2
m+2，﹣m），
将点Q的坐标代入y＝﹣1
2
2
x+得：﹣m＝﹣
1
2
（﹣
1
2
m+2）+2，
解得：m＝﹣4
5
，
故点P（﹣4
5
，
12
5
），
故答案为：（﹣4
5
，
12
5
）．
【点睛】
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，该题的难点在于通过证明△PMO≌△ONQ （AAS），确定点Q的坐标，进而求解．
17．（1）（2）6.
【分析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，利用平方差公式计算，即可解答；
（2）根据绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂进行计算即可.
【详解】
（1）原式=47-3
+=
（2）原式=3+4+1-2=6.
【点睛】
此题考查二次根式的性质与化简，绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，解题关键在于掌握运算法则.
18．（1）
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；（2）
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
【分析】
（1）方程组利用代入消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【详解】
（1）
23
511
y x
x y
-
⎧
⎨
+
⎩
＝①
＝②
，
把①代入②得：5x+2x-3=11，解得：x=2，
把x=2代入①得：y=1，
则方程组的解为
2
1 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；
（2）
21
538
x y
x y
+
⎧
⎨
-
⎩
＝①
＝②
，
①×3+②得：11x=11，
解得：x=1，
把x=1代入①得：y=-1，
则方程组的解为
1
1 x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
．
【点睛】
此题考查解二元一次方程组，解题关键在于利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
19．（1）图见解析；点A1的坐标为（﹣1,2），点B1的坐标为（﹣3,1），点C1的坐标为（2, ﹣
1）；（2）9 2 .
【分析】
（1）先根据轴对称的性质作出△A1B1C1，然后再写出各点坐标即可；
（2）用一个长方形将△A1B1C1框住，再利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积即可. 【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求.由图可知：点A1的坐标为（﹣1,2），点B1的坐标为（﹣3,1），点C1的坐标为（2, ﹣1）.
（2）用一个长方形将△A 1B 1C 1框住，如上图所示：
由图可知：△A 1B 1C 1的面积=5×3－
12×1×2－12×2×5－12×3×3=92
【点睛】
此题考查的是画关于y 轴对称的图形和网格中求面积，掌握关于y 轴对称的图形的画法和用长方形将△A 1B 1C 1框住，再利用长方形的面积减去三个直角三角形的面积，是解决此题的关键.
20．（1）证明见解析；（2）△ABC 的面积为75.
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理逆定理可以证明△BCD 是直角三角形；（2）要求△BCD 的面积，已知BD 的长度，即要求AC 的长度，已知CD 的长度，即要求AD 的长度，设AD ＝x ，根据勾股定理列方程求解．
【详解】
（1）证明：∵ CD ＝9，BD ＝12，
∴ CD 2＋BD 2＝92＋122＝225，
∵ BC ＝15，∴ BC 2＝225，
∴ CD 2＋BD 2＝BC 2，
∴ △BCD 是直角三角形，且∠BDC ＝90°
； （2）设AD ＝x ，则AC ＝x ＋9，
∵ AB ＝AC ，∴ AB ＝x +9，
∵ ∠BDC ＝90°
，∴ ∠ADB ＝90°， ∴ AB 2＝AD 2＋BD 2，
∴ ()222912x x +=+，
解得：x =
72
， ∴AC =72+9=252
， ∴S △ABC =12AC ×BD =12×252×12=75， ∴ △ABC 的面积为75．
【点睛】
本题主要考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用．
21．（1）长度为182cm ；（2）362y x =+
【分析】
（1）5张白纸黏合，需黏合4次，重叠2×
4=8cm ，所以总长就可得到； （2）x 张白纸黏合，需黏合（x-1）次，重叠2（x-1）cm ，所以总长可以表示出来；
【详解】
（1）5张白纸黏合，需黏合4次，重叠2×4=8cm ．所以总长为38×5-8=182（cm ）；
（2）x 张白纸黏合，需黏合（x-1）次，重叠2（x-1）cm ，所以总长y=38x-2（x-1）=36x+2（x≥1，且x 为整数）
【点睛】
此题考查一次函数的应用，解题关键在于根据题意列出方程，注意自变量的取值范围的作用. 22．（1）AD=
52；（2）见解析；（3）CE=75 【分析】
（1）依据勾股定理进行计算即可得到BC 的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到结论；
（2）依据CD=DE=DB ，可得∠DEC=∠DCE ，∠DEB=∠DBE ，再根据三角形内角和定理，即可得出∠DEB+∠DEC=90°，进而得到△BCE 是直角三角形；
（3）利用12•BC•AH=12•AB•AC ，可得AH=125，依据AD 垂直平分线段BE ，可得12•AD•BO=12
•BD•AH ，即可得出OB=125，BE=2OB=245，最后在Rt △BCE 中，运用勾股定理可得EC=
75
．
【详解】
（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
由勾股定理得，，
∵点D是BC的中点，BCRt△ABC的斜边，
∴AD=1
2
BC=
5
2
；
（2）△BCE为直角三角形．理由：
∵D是BC的中点
∴CD=BD
∵将△ABD沿AD翻折得到△AED，
∴DE=DB，
∴CD=DE=DB，
∴∠DEC=∠DCE，∠DEB=∠DBE，
∵∠DEC+∠DCE+∠DEB+∠DBE=180°，
∴∠DEB+∠DEC=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BCE是直角三角形；
（3）如图，连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
由题可得AD=DC=DB=5
2
，
∵1
2
•BC•AH=
1
2
•AB•AC，
∴AH=12
5
，
∵AE=AB，DE=DB，
∴点A在BE的垂直平分线上，点D在BE的垂直平分线上，
∴AD 垂直平分线段BE ， ∵12•AD•BO=12
•BD•AH ， ∴OB=
125
， ∴BE=2OB=245， 在Rt △BCE 中，
75 ． 【点睛】
此题考查翻折变换，直角三角形的斜边中线的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用面积法求高．解题时注意：如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
23．（1）BC 解析式为6y x =-+；（2）M （0，
65）；（3）点P 的坐标为(1，12)或(1，5). 【分析】
（1）设直线BC 的解析式是y=kx+b ，把B 、C 的坐标代入，求出k 、b 即可；
（2）先确定出点M 的位置，进而求出直线AB'的解析式即可得出结论；
（3）分为两种情况：①当P 在OA 上，此时OP ：AO=1：4，根据A 点的坐标求出即可； ②当P 在AC 上，此时CP ：AC=1：4，求出P 即可．
【详解】
（1）设直线BC 的解析式是y=kx+b ，
根据题意得：606b k b ⎧⎨+⎩
＝＝ 解得16k b -⎧⎨⎩
＝＝ 则直线BC 的解析式是：y=-x+6；
（2）如图，作点B （6，0）关于y 轴的对称点B'，
∴B'（-6，0），
连接AB'交y轴于M，此时MA+MB最小，得到△MAB的周长最小设直线AB'的解析式为y=mx+n，
∵A（4，2），
∴
42
60 m n
m n
+
⎧
⎨
-+
⎩
＝
＝
，
∴
1
5
6
5
m
n
⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎩
＝
＝
，
∴直线AB'的解析式为y=16 55
x+，
令x=0，
∴y=6
5
，
∴M（0，6
5），
（3）设OA的解析式是y=ax，则4a=2，
解得：a＝1
2
，
则直线的解析式是：y＝1
2
x，
①当P在OA上时，
∵当△OPC的面积是△OAC的面积的1
4
时，
∴P的横坐标是1
4
×4＝1，
在y＝1
2
x中，当x=1时，y＝
1
2
，则P的坐标是(1，
1
2
)；
②当P在AC上时，
∵△OPC的面积是△OAC的面积的1
4
，
∴CP：AP=1：5，
∵A（4，2）
∴在y=-x+6中，当x=1时，y=5，则P的坐标是（1，5），
∴P的坐标是：P1(1，1
2
)或P2(1，5)．
【点睛】
此题考查一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，能求出符合的所有情况是解题的关键．。