二次函数图象与性质大题专练(七大类型)-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(学生版)

二次函数图象与性质大题专练(七大类型)
考向分析
类型一二次函数解析式
1.(2023春·江苏苏州·九年级校考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点A1,2
，
，B2,3
C2,1
，直线y=x+m经过点A，抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
(1)判断点B是否在直线y=x+m上，并说明理由；
(2)求a，b的值；
(3)平移抛物线y=ax2+bx+1，若所得新抛物线的顶点仍在直线y=x+m上，且经过点0,1
，求新
抛物线的表达式．
2.(2023·北京西城·北京市第十三中学校考模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2 -a+2
，B m,p
．
x+2经过点A-2,t
(1)若t=0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p<t时，直接写出m的取值范围；
(2)若t<0，点C n,q
在该抛物线上，m<n且3m+3n≤-4，请比较p，q的大小，并说明理由．
3.(2023·河南周口·统考一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-4mx+m2-2m．(1)若抛物线经过A-1,0
，B0,3
两点时，求抛物线的解析式；
(2)若点M2,y M
，N3,y N
在抛物线上，且y M>y N，请求出m的取值范围；
(3)当-1≤x≤2时，函数y的最小值等于6，直接写出m的值．
类型四二次函数与方程不等式的推理计算
4.(2023·浙江·模拟预测)在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)．
(1)当a=-1时，
①若该函数图象的对称轴为直线x=2，且过点1，4
，求该函数的表达式；
②若该函数的图象与x轴有且只有一个交点，求证：b+4c≤1 4；
(2)已知该函数的图象经过点m，m
，n，n
m≠n
．若b<0，m+n=3，求a的取值范围．
类型五二次函数与公共点交点问题
5.(2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模)在平面直角坐标系中，函数函数y=x2-2mx +m2-4(m为常数)的图象记为G．
(1)设m>0，当G经过点(2,0)时，求此函数的表达式，并写出顶点坐标．
(2)判断图象G与x轴公共点的个数．并说明理由．
(3)当2m≤x≤m+3时，图象G的最高点与最低点纵坐标之差为9，求m的取值范围．
(4)线段AB的端点坐标分别为A(0,2)、B(7,4)，当图象G与x轴有两个公共点时，设其分别为点C、点D(点C在点D左侧)，直接写出四边形ACDB周长的最小值及此时m的值．
类型六二次函数的图象问题
6.(2023·山东济宁·统考一模)数形结合是解决数学问题的重要方法．小爱同学学习二次函数后，对函数y=-x -1
2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根
据函数图象，回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：；
②方程-x -1
2=-1的解为：；
③若方程-x -1
2=a有四个实数根，则a的取值范围是
．
(2)延伸思考．
①将函数y=-x -1
2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=
-x-2
-1
2+3的图象？画出平移后的图象并写出平移过程：
②观察平移后的图像，当2≤y1≤3时，直接写出自变量x的取值范围．
类型七二次函数与新定义材料问题
7.(2023·四川达州·统考一模)定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为
这个函数图像的“等值点”，例如：点1,1
是函数y=1
2
x+1
2的图像的“等值点”．
(1)分别判断函数y=x+1，y=x2-x的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
(2)设函数y=3
x
x>0
，y=-x+b的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为
C．当△ABC的面积为3时，求b的值；
(3)若函数y=x2-2x≥m
的图像记为W1，将其沿直线x=m翻折后的图像记为W2，当W1，W2两部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
压轴题速练
一、解答题(共24小题)
1.(2023•鼓楼区一模)已知二次函数y=x2+(a-2)x+3的图象经过点(2，3)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)当0<x<3时，y的取值范围为；
(3)已知点P(m-1，y1)，点Q(m，y2)在该二次函数的图象上若y1>y2，直接写出m的取值范围．
2.(2023•西湖区模拟)设二次函数y=(x+1)(ax+2a+2)(a是常数，a≠0)．
(1)若a=2，求该函数图象顶点坐标；
(2)若该二次函数图象经过(-1，1)，(-2，3)，(1，-2)三个点中的一个点，求该二次函数的表达式；
(3)若二次函数图象经过(x1，y1)，(x2，y2)两点，当x1+x2=2，x1<x2时．y1>y2，求a的取值范围．
3.(2023•温州一模)已知二次函数y=a(x-1)2-2的图象经过点(3，2)．
(1)求该函数的表达式，并在图中画出该函数的大致图象．
(2)P是该函数图象上一点，在对称轴右侧，过点P作PD⊥x轴于点D．当PD≤1时，求点P横坐标的取值范围．
4.(2023•佳木斯一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c经过点A(-1，0)和点B(0，3)，顶点为C，D是抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
(2)若S△BCD=3
2，请直接写出点D的坐标．
5.(2023•涧西区一模)已知二次函数y=ax2+bx(a≠0)的图象经过点(-1，5)，(2，-4)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在此抛物线上，且0<x1<1，2<x2<3．比较y1与y2的大小，并说明理由；
(3)点P的坐标为(n，-3)，点Q的坐标为(n+3，-3)，若线段PQ与该函数图象恰有一个交点，直接写出n的取值范围．
6.(2023•青龙县一模)如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y=kx+3与坐标轴交于A，B两点，经过点B的抛物线y=ax2+bx交直线AB于点C(2，2)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在直线AB上方的抛物线上是否存在点P，使得S△PAO=S△PBO，若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．
7.(2023•秦淮区模拟)已知二次函数y=ax2-2ax．
(1)二次函数的图象的对称轴是直线x=；
(2)当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为8，求该二次函数的表达式；
(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当t≤x1≤t+1，x2≥3时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
8.(2023•瓯海区一模)已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(-1，0)，B(3，0)．
(1)求该二次函数的表达式和图象顶点P的坐标．
(2)若M(m，y1)，N(n，y2)是该二次函数图象上不同的两点．当y1=y2时，m-n=5，求点P到直线MN的距离．
9.(2023•泗洪县一模)已知抛物线y=ax2+2ax+3a2-4(a≠0)．
(1)求这条抛物线的对称轴；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其函数的表达式；
(3)设该抛物线上有两点A(m，y1)B(3，y2)，若y1<y2，求m的取值范围．
10.(2023•安徽模拟)已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1，m)、(-1，n)．
(1)小明判断m，n满足关系式：m-n=2b，请判断他的说法是否正确，并说明理由；
(2)若m=2，n=0，求该二次函数的表达式；
(3)当a<0，且满足a+b=0时，若该函数图象上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)满足x1=-2，y1> y2，求x2的取值范围．
11.(2023•平阳县一模)已知抛物线y=x2+2cx+c．
(1)若抛物线与y轴的交点为(0，3)，求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点A(m，n)，B(m-4，n)在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．
12.(2023•盐田区二模)已知抛物线y=ax2-2ax+a+1．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)若a=-2，当0≤x≤3时，求y的最大值和最小值；
(3)若抛物线与直线y=x+1始终有交点，求a的取值范围．
13.(2023•天门一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax-4(a≠0)与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
(1)求点A，B的坐标；
(2)若a=-1，当t-1≤x≤t时，二次函数y=ax2-4ax-4的最大值为-1，求t的值；
(3)直线y=x-2经过点C(m，-5)，将点C向右平移6个单位长度，得到点C1，若抛物线与线段CC1只有一个公共点，结合函数图象，请直接写出a的取值范围．
14.(2023•越秀区一模)在平面直角坐标系中，抛物线y1=-(x+4)(x-n)与x轴交于点A和点B (n，0)(n≥-4)，顶点坐标记为(h1，k1)．抛物线y2=-(x+2n)2-n2+2n+9的顶点坐标记为(h2，k2)．
(1)直接写出k1，k2的值；(用含n的代数式表示)
(2)当-4≤n≤4时，探究k1与k2的大小关系；
(3)经过点M(2n+9，-5n2)和点N(2n，9-5n2)的直线与抛物线y1=-(x+4)(x-n)y2=-(x+ 2n)2-n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时，求n的值．
15.(2023•温江区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-2ax+a+3(a≠0)和直线y=-x+4．
(1)抛物线的对称轴是；抛物线的顶点M坐标为；
(2)设该抛物线与直线y=-x+4的一个交点为A，其横坐标为m，若0≤m<1
2，求a的取值范围；
(3)我们规定若函数图象上存在一点P(s，t)，满足s+t=1，则称点P为函数图象上“圆满点”．例如：
直线y=2x-1上存在的“圆满点”P
2
3，
1
3
，若抛物线y=ax2-2ax+a+3(a≠0)上存在唯一的
“圆满点”P，求此时△OPM的面积．
16.(2023•来安县一模)已知关于x的二次函数y1=(x+2a)(x-2b)(其中a，b为常数)．
(1)若a=1，该二次函数的图象经过点(-1，3)，求b；
(2)若a=b-2．
①若(-1，m)和(3，n)是该二次函数图象上的点，比较m和n的大小；
②设一次函数y2=-x+2b，当函数y=y1+y2的图象经过点(c，0)时，探索b与c之间的数量关系，并加以推理．
17.(2023•秦皇岛一模)已知y=ax2+bx+c过点A(2，0)，B(3n-4，y1)，C(5n+6，y2)三点，对称轴是直线x=1，关于x的方
程ax2+bx+c=x有两个相等的实数根．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若B点在直线x=1的左侧，C点在直线x=1的右侧，且y1>y2，求n的取值范围；
(3)若n<-5，试比较y1与y2的大小．
18.(2023•南山区一模)探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y=x+|-2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x⋯-2-1012345⋯
y⋯654a21b7⋯
(1)写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m=，a=，b=；
(2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)已知函数y=-(x-2)2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|-2x+6|+m> -(x-2)2+8的解集为．
19.(2023•南山区模拟)已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与二次函数y=1
2
(x+2)2-2的图象
相交于点A(1，m)、B(-2，n)．
(1)求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
(2)根据函数图象，直接写出不等式kx+b<1
2
(x+2)2-2的解集；
(3)方程1
2
(x+2)2-2-n=0在-3≤x≤1范围内只有一个解，求n的取值范围；
(4)把二次函数y=1
2(x+2)2-2的图象左右平移得到抛物线G：y=1
2
(x-m)2-2，直接写出当抛物
线G与线段AB只有一个交点时m的取值范围．
20.(2023•深圳一模)探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y=x+|-2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
x⋯-2-1012345⋯
y⋯654a21b7⋯
(1)写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m=，a=，b=；
(2)根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)已知函数y=16
x的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|-2x+6|+m>16
x的解
集为．
21.(2023•信阳模拟)定义：在平面直角坐标系中，有一条直线x=m，对于任意一个函数，作该函数自变量大于m的部分关于直线x=m的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于m的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线x=m的“镜面函数”．例如：图①是函数y =x+1的图象，则它关于直线x=0的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为
y=
x+1(x≥0)
-x+1(x<0)
，也可以写成y=|x|+1．
(1)在图③中画出函数y=-2x+1关于直线x=1的“镜面函数”的图象．
(2)函数y=x2-2x+2关于直线x=-1的“镜面函数”与直线y=-x+m有三个公共点，求m的值．
(3)已知抛物线y=ax2-4ax+2(a<0)，关于直线x=0的“镜面函数”图象上的两点P(x1，y1)，Q (x2，y2)，当t-1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≥y2，直接写出t的取值范围．
22.(2023•义乌市校级模拟)定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于n(n≥0)的点叫做这个
函数图象的“n阶方点”．例如，点
1
3，
1
3
是函数y=x图象的“12阶方点”；点(2，1)是函数y=2x
图象的“2阶方点”．
(1)在①-2，-1
2
；②(-1，-1)；③(1，1)三点中，是反比例函数y=1x图象的“1阶方点”的有
(填序号)；
(2)若y关于x的一次函数y=ax-3a+1图象的“2阶方点”有且只有一个，求a的值；
(3)若y关于x的二次函数y=-(x-n)2-2n+1图象的“n阶方点”一定存在，请直接写出n的取值范围．
23.(2022•婺城区模拟)定义：在平面直角坐标系中，对于任意一个函数，作该函数y轴右侧部分关于y轴的轴对称图形，与原函数y轴的交点及y轴右侧部分共同构成一个新函数的图象，则这个新函数叫做原函数的“新生函数“例如：图①是函数y=x+l的图象，则它的“新生函数“的图象如图②所
示，且它的“新生函数“的解析式为y=
x+1(x≥0)
-x+1(x<0)
，也可以写成y=|x|+1．
(1)在图③中画出函数y=-2x+l的“新生函数“的图象．
(2)函数y=x2-2x+2的“新生函数“与直线y=-x+m有三个公共点，求m的值．
(3)已知A(-1，0)，B(3，0)，C(3，-2)，D(-1，-2)，函数y=x2-2nx+2(n>0)的“新生函数“图象与矩形ABCD的边恰好有4个交点，求n的取值范围．
24.(2022•零陵区模拟)九年级数学兴趣小组在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0，a1，b1，c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2(a2≠0，a2，b2，c2是常数)满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=2x2-3x+1的“旋转函数”．
小组同学是这样思考的，由函数y=2x2-3x+1可知，a1=2，b1=-3，c1=1，根据a1+a2=0，b1=b2，c1 +c2=0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参照小组同学的方法解决下面问题：
(1)函数y=x2-4x+3的“旋转函数”是2；
(2)若函数y=5x2+(m-1)x+n与y=-5x2-nx-3互为“旋转函数”，求(m+n)2022的值；
(3)已知函数y=2(x-1)(x+3)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试求证：经过点A1，B1，C1的二次函数与y=2(x-1)(x+3)互为“旋转函数”．。