天津专用2020届高考数学一轮第二章函数.函数的概念及其表示

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对应学生用书起始页码 P10
一、函数定义域的求法
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(1)已知 y = f(x)的定义域是 Aꎬ求 y = f[ g( x)] 的定义域ꎬ可
由 g(x)∈A 求出 x 的范围ꎬ即为 y = f[g(x)]的定义域ꎻ
(2)已知 y = f[g(x)]的定义域是 Aꎬ求 y = f(x)的定义域ꎬ可由
x∈A 求 g(x)的范围(即 y = g(x)的值域)ꎬ即为 y = f(x)的定义域.
D.
1-3 函数 f(x)= 2x -2 的定义域为 . 1-3 答案 [1ꎬ+∞ )
解析 由 2x -2≥0ꎬ解得 x≥1ꎬ故定义域为[1ꎬ+∞ ) .
1
第二章 函数 7
二、函数解析式的求解方法
1.待定系数法:若已知 f(x)的解析式的类型ꎬ设出它的一般 形式ꎬ根据特殊值ꎬ确定相关的系数即可.
ꎻ函数 f(x)的值域是 ꎻ
{ ( 2)设 f(x)=
xꎬx<aꎬ
x2
对任意实数 ꎬx≥aꎬ
bꎬ关于

的方程
f(
x)
-b
= 0 总有实数根ꎬ则 a 的取值范围是 .
解析
(1)由题意知 f(2)=
1 ꎬ

( ) ∴ f(f(2))= f
1 2


1 2
-2


5 2
.
当 x>1 时ꎬ f( x) ∈(0ꎬ1) ꎬ
当 x≤1 时ꎬ f( x) ∈[ -3ꎬ+∞ ) ꎬ ∴ f(x)的值域为[ -3ꎬ+∞ ). (2)易知分界点 a 的位置影响分段函数的图象ꎬ故应先确定 分界点所在的不同位置ꎬ再在同一坐标系中画出 y = xꎬy = x2 的图 象ꎬ如图.
( ) f(2x+1)的定义域为
-1ꎬ- 1 2
ꎬ选 B.
答案 (1)C (2)B
1-1 函数 f(x)=

的定义域为
( log2 x) 2 -1
( )1
A. 0ꎬ 2
B.(2ꎬ+∞ )
( )
( ) ( ] 1
C. 0ꎬ 2
∪(2ꎬ+∞ )
1 D. 0ꎬ

∪[2ꎬ+∞ )
1-1 答案 C
求分层嵌套的函数值时ꎬ要从最内层逐层往外计算.
2.求函数最值.分别求出每个区间上的最值ꎬ然后比较大小.
3.解不等式.根据分段函数中自变量取值范围的界定ꎬ代入
相应的解析式求解.
4.求参数.“ 分段处理” ꎬ采用代入法列出各区间上的方程.
{1
( 1 ) 设 函 数 f ( x ) = x ꎬx>1ꎬ 则 f ( f ( 2 )) = - x - 2ꎬx≤1ꎬ
{f(x) | x∈A}叫做函数的值域ꎬ显然ꎬ值域是集合 B 的子集. 3.函数的三要素:定义域、值域、对应关系.
考点二 分段函数
若函数在其定义域的不同子集上ꎬ因对应关系不同而分别 用几个不同的式子来表示ꎬ这种函数称为分段函数.
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集ꎬ其值域 等于各段函数的值域的并集ꎬ分段函数虽由几个部分组成ꎬ但它 表示的是一个函数.

x≠1) .
三、有关分段函数问题的求解方法
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1.求函数值.弄清自变量所在区间ꎬ然后代入对应的解析式ꎬ
②ꎬ
①+②×2

f( x) =
x+4f(x) +
2 x
ꎬ则
f( x) =
-2 3x

1 3
x.
(4) 令 x = 0ꎬ得 f( -y)= f(0) -y( -y+1)= 1+y2 -yꎬ
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则 f(1) +g(1)= 1ꎬ故选 C. 解法二:令 f( x)= x2 +1ꎬg( x)= -x3 ꎬ显然符合题意ꎬ ∴ f(1) +g(1)= 12 +1-13 = 1.
故选 C.
( )1
2-2 已知 f x
= 1-x xꎬ则当 x≠0 且 x≠1 时ꎬ f( x) 等于
( )
2.赋值法:给变量赋予某些特殊值ꎬ从而求出函数解析式. 3.解方程组法:利用已给定的关系式ꎬ构造出一个新的关系 式ꎬ通过解关于 f(x)的方程组求出 f(x). 4.配凑法:对 f( g( x)) 的解析式进行配凑变形ꎬ使它能用 g( x) 表示出来ꎬ再用“ x” 代替两边所有的“ g( x) ” 即可. 5.换元法:设 t = g( x) ꎬ解出 xꎬ代入 f( g( x) )ꎬ求 f( t) 的解析 式即可ꎬ注意换元后新元的范围.
(1)已知 f(x)是一次函数ꎬ且 f(f( x)) = 4x+3ꎬ则 f( x) 的解析式为 ꎻ
(2)已知 f( x +1)= x+2 x ꎬ则 f(x)的解析式为 ꎻ
( ) (3)已知函数 f(x)满足 f( x) = 2f
6 5 年高考 3 年模拟 B 版( 教师用书)
第二章
函数
§ 2.1 函数的概念及其表示
考点一 函数的概念及其表示
1.函数的定义 设 A、B 是非空数集ꎬ如果按照某种确定的对应关系 fꎬ使对
于集合 A 中的任意一个数 xꎬ在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应ꎬ那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数ꎬ记作 y = f(x)ꎬx∈A.
1.求具体函数的定义域ꎬ一般在高中范围内涉及的有:
( 1) 开偶次方时被开方数为非负数ꎻ
( 2) 分式的分母不为零ꎻ
( 3) 零次幂的底数不为零ꎻ
( 4) 对数的真数大于零ꎻ
(5)指数、对数的底数大于零且不等于 1ꎻ
( 6) 实际问题需要考虑使题目本身有意义.
2.求复合函数的定义域一般有两种情况:
解析 要 使 函 数 f ( x) 有 意 义ꎬ 需 使 ( log2 x) 2 - 1 > 0ꎬ 即
( log2 x) 2 >1ꎬ∴
log2 x>1

log2 x<- 1.解得
x>2

0<x<
1 2
. 故f( x)
( ) 的定义域为
0ꎬ
1 2
∪(2ꎬ+∞ ).
( )
1-2
函数 f(x) 的定义域为(0ꎬ1]ꎬ则函数 f
②当 0≤a≤1 时ꎬy = f( x) 的图象如图.
此时ꎬb ∈ Rꎬ y = f ( x) 的 图象 与直 线 y = b 总 有 交 点ꎬ 符 合 题意.
③当 a>1 时ꎬy = f(x)的图象如图.
当 b∈[ aꎬa2 ) 时ꎬy = f( x) 的图象与直线 y = b 无交点ꎬ不符合
题意.
1 A.

1 B.x-1
1 C.1-x
D. 1 -1 x
2-2 答案 B
( )1
解析 由 f x
= 1-x xꎬ知 x≠0 且 x≠1ꎬ
1 令x
= tꎬ得 x =
1 t
( t≠0 且 t≠1) ꎬ


f(
t)

t 1-
1 t
= t-11( t≠0 且
t≠1) ꎬ

f( x) =
1 x-1( x≠0
由图可知ꎬ两函数图象交点坐标为(0ꎬ0) ꎬ(1ꎬ1) . ①当 a<0 时ꎬy = f(x)的图象如图.
当 b∈[ aꎬ0) 时ꎬy = f( x) 的图象与直线 y = b 无交点ꎬ不符合 题意.
2
8 5 年高考 3 年模拟 B 版( 教师用书)
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2.函数的定义域、值域 在函数 y =f(x)ꎬx∈A 中ꎬx 叫做自变量ꎬx 的取值范围 A 叫做函 数的定义域ꎻ与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值ꎬ函数值的集合
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对应学生用书起始页码 P9
综上ꎬa 的取值范围是[0ꎬ1] .
答案
(1)

5 2
ꎻ[
-3ꎬ+∞
)
(2) [0ꎬ1]
{
3-1
已知函数 f(x)=
2x f(
ꎬx≥4ꎬ x+1) ꎬx
解法二:∵ x+2 x = ( x ) 2 +2 x +1-1 = ( x +1) 2 -1ꎬ
∴ f( x +1)= ( x +1) 2 -1ꎬ
又∵ x +1≥1ꎬ
∴ f( x) = x2 -1( x≥1) .
( ) ( ) (3)由 f(x)= 2f
1 x
+x①ꎬ得 f
1 x
= 2f(x) +
1 x
lg x2 +x 2
的定
义域为
( )
A.[ -5ꎬ4]
B.[ -5ꎬ-2)
C.[ -5ꎬ-2] ∪[1ꎬ4]
D.[ -5ꎬ-2) ∪(1ꎬ4]
1-2 答案 D
解析

函数
f( x) 的定义域为(0ꎬ1] ꎬ∴0lgx2 +x≤1ꎬ即 2

<
x2 + 2
x≤10ꎬ则

5≤x<



1<x≤4ꎬ故选
(
1)
函数
f(
x)

lg( x+1) x-1
的定义域是
( )
A.( -1ꎬ+∞ )
B.[ -1ꎬ+∞ )
C.( -1ꎬ1) ∪(1ꎬ+∞ )
D.[ -1ꎬ1) ∪(1ꎬ+∞ )
(2) 已知函数 f( x) 的定义域为 ( -1ꎬ0) ꎬ则函数 f( 2x + 1) 的
定义域为
( )
A.( -1ꎬ1)
∴ f( y)= y2 +y+1ꎬ即 f( x)= x2 +x+1.
答案 (1)f(x)= -2x-3 或 f(x)= 2x+1 (2) f( x) = x2 -1( x≥1)
( 3) f( x) =

2 3x

1 3

(4)f(x)= x2 +x+1
2-1 已知 f( x) ꎬg( x) 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函
则 f( f( x) ) = f( ax+b) = a( ax+b) +b = a2 x+ab+b = 4x+3ꎬ
{ { { a2 = 4ꎬ
a = -2ꎬ a = 2ꎬ

ab+b

解得 3ꎬ
b = -3

b = 1.
故所求解析式为 f(x)= -2x-3 或 f(x)= 2x+1.
(2) 解法一:设 t = x +1( t≥1) ꎬ 则 x = (t-1) 2 ꎬ∴ f(t)= (t-1) 2 +2(t-1)= t2 -2t+1+2t-2 = t2 -1ꎬ ∴ f( x) = x2 -1( x≥1) .
1 x
+xꎬ则 f(x) 的解析式
为 ꎻ
(4)已知 f(0) = 1ꎬ对任意的实数 xꎬy 都有 f( x-y) = f( x) -
y(2x-y+1)ꎬ则 f(x)的解析式为 .
解析 (1) 由题意设 f( x)= ax+b( a≠0) ꎬ
( ) B. -1ꎬ- 1 2
C.( -1ꎬ0)
( )1
D. ꎬ1 2
解析
(
1)
要使函数
f(
x)

lg( x+1) x-1
有意义ꎬ需满足
x+

>
0 且 x-1≠0ꎬ得 x>-1 且 x≠1ꎬ故选 C.
(2)由已 知 得 - 1 < 2x + 1 < 0ꎬ 解 得 - 1 < x < -
1 2
ꎬ所以函数
数ꎬ且 f( x) -g( x)= x3 +x2 +1ꎬ则 f(1) +g(1)=
( )
A.-3
B.-1
C.1
D.3
2-1 答案 C
解析 解法一:∵ f( x) -g( x)= x3 +x2 +1ꎬ ∴ f( -x) -g( -x)= -x3 +x2 +1ꎬ
又由题意可知 f( -x)= f(x)ꎬg( -x)= -g(x)ꎬ ∴ f(x) +g(x)= -x3 +x2 +1ꎬ
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