高一同步课程数学讲义：二次函数 【 学生版】

高一同步 数学 “二次函数”
讲义编号：
二次函数在初中与高中都是极重要的一类函数，本讲将联系上一讲方程中的思想，结合二次函数的图像，更深入地分析二次函数.
1.（★☆☆☆）作函数128)(2+-=x x x f 的图像.
2.（★★☆☆）m 为何值时，二次方程013422=-++m mx x 有两个负根？
知识点一：二次函数的性质 ✧ 子知识点一：二次函数的表示方式： 1.一般式：c bx ax x f ++=2)( )0(≠a
2.顶点式：c a
b a b x a x f +-
+=4)2()(2
2 )0(≠a
注意：1x 、2x 是二次函数与x 轴交点的横坐标，因此与x 轴没有交点的二次函数没有交点式 ✧ 子知识点二：二次函数的性质：
1.对称性：二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a 关于直线a
b
x 2-
=对称 b a ,同号，对称轴在y 轴左侧；b a ,异号，对称轴在y 轴右侧；0=b ，对称轴是y 轴
2.顶点：二次函数与对称轴唯一的交点，坐标为：)44,
2(2
a
b a
c a b -- 3.二次项系数a ：0>a 时，二次函数图像开口向上；0<a 时，二次函数图像开口向下 a 越大，二次函数图像的开口越小（函数值增长得越快）
开口向上时，顶点处的函数值是二次函数的最小值；开口向下时，顶点处的 函数值是二次函数的最大值（注意顶点应在定义域内）
4.单调性：0>a 时，对称轴左侧单调递减，右侧单调递增；0<a 时，左侧递增，右侧递减 知识点二：二次函数实根分布的讨论 ✧ 子知识点一：二次函数与一元二次方程的关系
对于二次函数c bx ax x f ++=2)( )0(≠a ，当0)(=x f 时，即02=++c bx ax ，也就是一元二次方程。

因此一元二次方程是否有根等价于相应的二次函数是否与x 轴有交点。

若ac b 42-=∆0>，则c bx ax x f ++=2)(与x 轴有两个不同的交点； 若ac b 42-=∆=0，则c bx ax x f ++=2)(与x 轴只有一个交点； 若ac b 42-=∆0<，则c bx ax x f ++=2)(与x 轴无交点.
此外，从顶点式c a b a b x a x f +-
+=4)2()(2
2的角度考虑，我们能发现一些等价的结论： 0>a ，即开口向上时，若)(x f 的最小值
0442
<-a b ac ，则二次函数与x 轴有两个交点； 若
0442
=-a b ac ，则二次函数的顶点是其与x 轴的唯一的交点； 若
0442
>-a
b a
c ，则二次函数与x 轴无交点. 从下图中可以清楚看出上述结论：
（0<a 时的结论类似，在此不再列出） 子知识点二：二次函数与x 轴交点的分布问题
假设二次函数c bx ax x f ++=2)( 其中 0>a 且ac b 42-=∆0>，与x 轴两个交点的横坐标记为21,x x
注：0<a 时的结论类似，在此不再列出.
1. 结合知识点一和方法
例1：（★☆☆☆）已知当21-=x 时，二次函数有最大值4
3
-，且点()3,1-是该函数的图像上的点，求
二次函数的解析式中的各项的系数.
例2：（★★☆☆）二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f --=+-.比较)23(-f ，)3
(π
-f ，)1(-f 的大小
2. 结合知识点二和方法
例1：（★★★☆）不等式()04)2(222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. (]2,∞- B. ()2,-∞- C. ]2,2(- D. ()2,2-
例2：（★★☆☆）设关于x 的方程0532=+-a x x 的一根大于2-小于0，另一根大于2小于3，求a 的取值范围.
例3：设a ax x x f -++=3)(2，且)(x f 在闭区间]2,2[-上恒取非负数，求实数a 的取值范围.
1.（★☆☆☆）若函数c bx x x f ++=2)(是偶函数，则=b ________.
2.（★☆☆☆）函数65)(2+-=x x x f （23≤≤-x ）的值域是_________.
3.（★★☆☆）若关于x 的方程012)1(22=-+-mx x m 的两个根，一个小于0，一个大于1，则实数m 的取值范围是__________.
4.（★☆☆☆）已知二次函数63)(2-+=x x x f ，它与直线2-=y 的公共点的坐标是________
5.（★★★☆）设二次函数c x ax x f +-=4)(2的值域为),0[+∞，则4
4
112
2+++=
a c u 的最小值是
________
6.（★★★☆）对任意[]1,1-∈k ，函数42)4()(2+--+=k x k x x f 的值恒大于零，则x 的取值范围是（ ）
A.()3,1
B.),3()1,(+∞-∞
C.)1,(-∞
D.),3(+∞
7.（★★☆☆）设a 、b 、k 是实数，二次函数b ax x x f ++=2)(满足：)1(-k f 与)(k f 异号，)1(+k f 与)(k f 同号，在以下关于)(x f 的零点的命题中，假命题的序号为（ ）
①该二次函数的两个零点之差一定大于2；②该二次函数的零点都小于k ；③该二次函数的零点都大于1-k 。

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
8.（★★☆☆）当0>a ，10≤≤x 时，讨论函数ax x x f 2)(2+-=的最大值和最小值.
9.（★☆☆☆）当m 为何值时，方程05)2(2=++++m x m x 的两个根都是正数？
10.（★☆☆☆）设关于x 的二次方程0234)1(22=-+++k kx x k 的两根同号，求k 的取值范围.
11.（★★★☆）设R m ∈,二次函数a x x x f ++=2)( （0>a ）满足0)(<m f ，判断)1(+m f 的正负.
12.（★★★☆）已知函数b x a x x f +++=)1()(2，且3)3(=f ，又知x x f ≥)(恒成立，求b a ,的值.
13.（★★★☆）已知函数3)1(4)54()(22+-+-+=x k x k k x f 的图像都在x 轴的上方，求实数k 的取值范围.
14.（★★★☆）不等式()01)1(122<----x a x a 的解集是全体实数，求实数a 的取值范围
15.（★★★★）已知关于x 的实系数二次方程02=++n mx x 有两个不等实根1x 、2x ，求证：如果21<x ，22<x ，那么n m +<42且4<n .
16.（★★★☆）已知二次函数bx
(，0
)
=2
ax
x
f+
)
(有两个相同的根.
f=
)2(=
x
f，且方程x
（1）求)
f的解析式；
(x
（2）是否存在常数p、q（q
p<），使得)
2,
p，
2[q
p和]
[q
f的定义域和值域分别是]
(x
,若存在，求出q
p,的值；若不存在，说明理由.
讲师评价。