高中数学人教B版必修四学案：3.2.2 半角的正弦、余弦和正切

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切
[学习目标] 1.了解由二倍角的余弦公式推导半角的正弦、余弦、正切公式的过程.2.能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．
[知识链接]
1．代数式变换与三角变换有什么不同？
答 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．
2．倍角公式
(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α.
(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.
(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α
. [预习导引]
1．半角公式
(1)S α2：sin α2
＝± 1－cos α2； (2)C α2：cos α2
＝± 1＋cos α2； (3)T α2：tan α2
＝± 1－cos α1＋cos α(无理形式) ＝sin α1＋cos α
＝1－cos αsin α(有理形式)． 2．半角公式变形
(1)sin 2α2＝1－cos α2；(2)cos 2α2＝1＋cos α2
； (3)tan 2α2＝1－cos α1＋cos α
.
要点一 三角函数的求值
例1 已知sin α＝－817且π<α<32π，求sin α2，cos α2，tan α2
的值． 解 ∵sin α＝－817，π<α<32π，∴cos α＝－1517
. 又π2<α2<34
π， ∴sin α2
＝ 1－cos α2＝ 1＋15172＝41717， cos α2＝－ 1＋cos α2＝－ 1－15172＝－1717
， tan α2＝sin α2cos α2
＝－4. 规律方法 对于给值求值问题，其关键是找出已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般需适当变换已知式或变换所求式，建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．
跟踪演练1 已知sin α＝1213，sin(α＋β)＝45，α、β均为锐角，求cos β2
的值． 解 ∵0<α<π2，sin α＝1213， ∴cos α＝1－sin 2 α＝513
. 又∵0<α<π2，0<β<π2
， ∴0<α＋β<π.
若0<α＋β<π2
， ∵1213>45
，即sin α>sin(α＋β)， ∴α＋β<α不可能．∴π2
<α＋β<π. 又∵sin(α＋β)＝45，∴cos(α＋β)＝－35
. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－35×513＋45×1213＝3365
. 而0<β<π2，0<β2<π4
， ∴cos β2＝ 1＋cos β2＝76565
. 要点二 三角函数的化简
例2 化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ
(0<θ<π)． 解 原式＝ ⎝
⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2θ2
＝cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2cos θ⎪
⎪⎪⎪cos θ2. ∵0<θ<π，∴0<θ2<π2，∴cos θ2
>0， ∴原式＝－cos θ.
规律方法 (1)式子中含有1＋cos θ，1－cos θ等形式时，常需要用半角公式升幂．
(2)在开方时要注意讨论角的范围．
跟踪演练2 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭
⎫π4＋α. 解 由tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭
⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭
⎫π4＋αcos ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α， 则原式＝cos 2α2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α
＝cos 2α
cos 2α＝1.
1．设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，那么sin θ
4等于( )
A ．－1＋a 2
B ．－ 1－a
2
C ．－ 1＋a
2 D ．－1－a
2
答案 B
解析 由cos θ
2＝1－2sin 2θ
4得sin 2θ4＝1－cos
θ
2
2，
又5π＜θ＜6π，∴5π4＜θ4＜3π2.∴sin θ4＜0.∴sin θ4＝－ 1－a
2.
2．已知cos θ＝7
9，且270°＜θ＜360°，则cos θ
2的值为( )
A.2
3 B ．－22
3 C ．±233 D ．－2
3
答案 B
解析 ∵cos θ＝2cos 2θ2－1，∴cos 2θ2＝1＋cos θ
2，
∵270°＜θ＜360°∴135°＜θ2＜180°，∴cos θ
2＜0，
∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－ 1＋7
92＝－22
3.
3．已知sin α＝－24
25，且α为第三象限的角，则tan α
2等于(
) A ．－43 B ．－34 C.4
3 D.3
4
答案 A
解析 由sin α＝－24
25，且α为第三象限的角，
得cos α＝－725.所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－24
251－725＝－4
3
.
4．若cos 22°＝a ，则sin 11°＝________，cos 11°＝________.
答案 1－a 2 1＋a 2
解析 cos 22°＝2cos 2 11°－1＝1－2sin 211°，
∴cos 11°＝ 1＋cos 22°2
＝ 1＋a 2， sin 11°＝ 1－cos 22°2＝ 1－a 2
.
1.半角公式前面的正负号的选择
(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；
(2)若给出角α的具体范围时，则根号前的符号由角α2
所在象限确定； (3)若给出的角α是某一象限的角时，则根据角所在象限确定符号．
2．半角公式的三个变式 (1)sin 2α2＝1－cos α2； (2)cos 2α
2＝1＋cos α2； (3)tan 2α2＝1－cos α1＋cos α
，在实际进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到．。