6-1弹性力学平面问题(基本理论)

对于平面应力问题，由z 0
x E 1 x y
y E 1 y x
1
x y G x y
对于平面应变问题，由 z xy)
x
1
E
1
x
y

y
1 E
1
y
x
xy
1 G
xy
E E1 1 2
1
1
x
1 E1
x 1 y
y
1 E1
y 1 x
xy
1 G
2 y2x2x2y 2 xxyy2C2C0
式（b）满足相容方程，∴（b）为位移可能的应变分量。
例6-2 如图所示，试写出其边界条件。
(1) AB段（y 0）： l10, l21
x
px0,
py
p(x) l
p0
A
代入边界条件公式，有
x0xy(1)0
y(1)yx0p(x)
y
p(x)
N
C
l
p0
B
x
h
xy y0 0
例6-3 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用， 证明在板中间突出部分（1 2 ）的尖
点A处无应力存在。
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB 边界上 无面力作用。即
px py 0
AB 边界： l1co s1, l2sin1
由应力边界条件公式，有
(x)sl1 (xy)sl2 px (y)sl1 (xy)sl2 py
∴ A 点处无应力作用
例6-4 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出水坝 的应力边界条件。
左侧面： x h l11, l20 px py 0
代入应力边界条件公式
(x)sl1 (yx)sl2 px (xy)sl1 (y)sl2 py
x x h 0
xy
0
xh
右侧面： xh l11,l20 px y, py 0
式（a）是静力可能的应力场
将式（a）代入相容方程：
2 x2
y22
(y
y)x22y22(3 2x2y21 4y4)
3y23 x23y20
∴ 式（a）不是一组实际可能的应力场。
（2） 将式（b）代入应变表示的相容方程： 2x 2y 2xy
y2 x2 xy
2 x 2C y2
2 y x2
0
2 xy 2C xy
x y
y
1 E
y x
或
xy
1 G
xy
x
1
E
2
x y
y
1
E
2
y x
xy
1
E 2
xy
当为平面应变问题时，E1E、1 。
二. 边界条件
1. 位移边界条件
u u v v
S
S
2. 应力边界条件
(x)Sl1 (yx)Sl2 px (xy)Sl1 (y)Sl2 py
平面问题是在一个平面域内的求解问题，但并非数学上的 二维问题。
弹性力学平面问题分为平面应变与平面应力问题两类。
一. 平面应力问题
1.几何特征 一个方向的尺寸比另两个方 b
向的尺寸小得多。
ta， tb
—— 等厚薄平板
x
z
t
y
y
a
如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等
2. 受力特征
外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿厚 度方向（z方向）不变化。
xy
与平面应力问题的物理方程形式上完全相同。故统称为平面问题
§6-2 平面问题的基本解法
一. 平面问题基本方程
1. 平衡微分方程 2. 几何方程
x x
yx y
Fbx
0
xy x
y y
Fby
0
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
应变协调方程
2x
y2
2y
x2
2xy
xy
3. 物理方程
x
1 E
G2v(G)yuxvyw z Fby 0
G 、 E、
1E222x2u2 12y2u2 12x2vyFbx 0
wz 1uxvy
1E222y2v2 12x2v2 12x2uyFby 0
比较前式，系数有何差异，原因何在？说明了什么？
四. 应力法
仿Beltrami-Michell位移方程推导
平面问题用应力表示的协调方程（相容方程）为
px
E
12
vyuxS
l1
12vxuyS
l2
py
问题归结为求解上述方程的边值问题
(u )Su u (v )Su v
说明：
（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相应替换即可。
（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。
（3）对于平面应力问题，如果直接从三维形式的拉梅位移方 程退化可得
G2u(G)xuxvyw z Fbx 0
厚壁圆筒
x
z
1
y
y
a
（2）应变分量
因位移分量与 z 无关，且 w 0，则由几何方程易知
x x(x,y)
y y(x,y)
xy xy(x,y)
z yz zx0
（3）应力分量
由物理方程
x
111E2x
1y
y
111E2y
1x
z x y
可见，独立的应力分量仅三个
xy Gxy yz 0 zx 0
z
1.几何特征
一个方向的尺寸比另两个方 向的尺寸大得多，且沿长度方向 几何形状和尺寸不变化。
la， lb
——近似认为无限长
2. 受力特征
l O x a
p b y
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方 向不变化。
如水坝、滚柱、厚壁圆筒等。
水坝
滚柱
3. 简化分析
（1）位移分量
任取一横截面（与 z 无关）， b 因无限长，可视为对称面，则其 上任一点w 0。仅存u、v，且与 z 无关。 所以 u u ( x ,y ) v v ( x ,y ) w 0
u u ( x ,y ) v v ( x ,y )
与平面应力问题的基本未知量相同。
但
z 0
简化的主要依据是 w 0
如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平 面应力问题还是平面应变问题？
平面应力问题
平面应变问题
非平面问题
三. 两种平面问题物理方程的关系
根据两种平面问题的结论，可分别列出其物理方程
zx xz 0 zy yz 0
因其他各应力分量沿z方向变程极短，且变化增量微小。 故认为各应力分量与z无关
所以平面应力问题只有三个应力分量，且仅与x、y有关。
即
x x(x,y)
y y(x,y)
xy xy(x,y)
（2）应变分量 由物理方程
x
1 E
x
y
y
1 E
y
x
z
E
x
y
xy
1 G
xy
px (x)sl1 (yx)sl2 py (xy)sl1 (y)sl2
例6-5 图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根 据材料力学公式，写出弯曲应力 x 和剪应力 x y 的表达式，并取挤
压应力 y 0 ，然后说明这些表达式是否代表正确解。
解：材料力学解答：
P
x
M I
y
2(xy)(1) F x bx F y by
平面问题的平衡微分方程为
（平面应变用1替换）
x x
yx y
Fbx
0
xy x
y y
Fby
0
平面问题的应力边界条件
平面问题的位移边界条件
(x)sl1 (xy)sl2 px (y)sl1 (xy)sl2 py
(u )Su u (v )Su v
即
x x(x,y)
y y(x,y)
xy xy(x,y)
但
zx y0
（4）结论
平面应变问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。
即
x x ( x ,y ) y y ( x ,y ) x y x y ( x ,y )
x x ( x ,y ) y y ( x ,y ) x y x y ( x ,y )
当为理想平面应力问题（t 0）时，
若为稳定平衡（不发生翘曲）， 则 w 0 当为广义平面应力问题（t 0）时， 由
z
w z
w
z 1
x
y
wz 1uxvy
可见，w可由u、v表出； 且因 t 很小， w u、v 所以平面应力问题独立的位移分量仅两个，且仅与x、y有关。
（4）结论
平面应力问题的基本未知量有八个，且均为x、y的函数。
代入应力边界条件公式，有
x xh y
xy
0
xh
上端面：为次要边界，可用圣维南原理化简。
py
px
y 0 l10, l21
FxPcos Fy Psin
MO
1 2
Phsin
由圣维南原理
h
h
h
F x h p x d x h (x y ) y 0 d x h (x y ) y 0 d x
（1）x3 2x2y2 ， y1 4y4 ， xyxy3 ；
（a）
（2） x C ( x 2 y 2 ) ， y C y 2 ， x y 2 C x y ；（b）
解:（1） 将式（a）代入平衡方程：
x x
xy y
Fbx
0
yx x
y y
Fby
0
3xy23xy20
y3 y3 0
—— 满足
0000
Fbx Fby 0
显然，平衡微分方程满足。
代入相容方程：
2 x2
y22(x
y)0
2 x2
2
y2
P I xy0
0
P
1
满足
y
h/2
x
h/2
l
再验证，式（a）是否满足边界条件？ 右侧边界：F x 0 ,F y P ,M O P l
y
y0
x
p(x) l
p0
(2) BC段（x l）： l11, l2 0
u|xl0, v|xl0
u 0, v 0
y xl
x xl
(3) AC段（y x tan）:
l 1 c o s ( N ,x ) c o s ( 9 0 ) s i n
l2co s(N ,y) co s
x(sin)xycos0 ycosyx(sin)0
第六章 弹性力学平面问题
§6-1 平面问题的概念 §6-2 平面问题的基本解法 §6-3 应力函数与应力函数解法 §6-4 平面问题在直角坐标系下求解 §6-5 平面问题在极坐标系下求解
§6-1 平面问题的概念
应力、应变和位移是弹性力学的3类基本未知函数，当这3 类基本未知函数与第3个坐标方向（一般取z方向）无关时，则 将该类问题称为平面问题。
Pxy I
1
xy Q IBS2PIh42 y2 （a）
y
h/2
x
h/2
l
y 0
代入平衡微分方程：
式（a）满足平衡方程和相容方程？
x x
xy y
Fbx
0
式（a）是否满足边界条件？
x P y,
x I
xy 0, x
xy P y, y I y 0,
y
yx x
y y
Fby
0
P y P y00 II
在局部边界上，可由静力等效力系替代面力
三. 位移法
仿拉梅位移方程推导
平面问题用位移表示的平衡微分方程为
E
12
x2u2 12y2u2 12x2vyFbx
0
E
12
y2v2 12x2v2 12x2uyFby
0
平面问题用位移表示的应力边界条件 平面问题的位移边界条件
E
12
uxvyS
l1
12uyvxS
l2
即
x x ( x ,y ) y y ( x ,y ) x y x y ( x ,y )
x x ( x ,y ) y y ( x ,y ) x y x y ( x ,y )
u u ( x ,y ) v v ( x ,y )
但
z0 w0
简化的主要依据是 z 0
二. 平面应变问题
问题归结为求解平衡方程和相容方程的边值问题
说明： （1）对位移边界问题，不易按应力求解。
（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。 （3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
例6-1 下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变 场，试分别判断它们是否为静力可能或实际可能的应力场 与位移可能应变场（不计体力）。
h
h
h
F y h p y d x h (y ) y 0 d x h (y ) y 0 d x
h
h
h
M O h p y x d x h (y ) y 0 x d x h (y ) y 0 x d x
所以
h
h(xy)y0dxPcos
hh(y)y0dxPsin hh(y)y0xdx1 2Phsin
3. 简化分析
（1）应力分量
b
如图选取坐标系，以板的中
面为xy平面，垂直于中面的任一
y
直线为z轴。
a
板面无面力，则
z zt 0 2
zx zt 0 2
因板很薄，且外力 沿 z 轴方向不变。
可认为整个薄板的
zy zt 0 各点都有： 2
x
z
t
y
z 0
zx 0
zy 0
由切应力互等定理
yz 0
zx 0
显然 x，y，xy 只与x、y有关。
z
E
x
y
1
x
y
可由 x ， y 表出
所以平面应力问题独立的应变分量仅三个，且只与x、y有关。
即
x x(x,y)
y y(x,y)
xy xy(x,y)
但
z 1xy 0
（3）位移分量
通过几何方程分析
由
x
ux，y
v y
可知： u、v仅为x、y的函数
xcos1 xysin1 0 （2） ysin1xy cos1 0
x cos1 xy sin1 0 （1） y sin1 xy cos1 0
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界， ∴满足式（1）和（2），解得
AC 边界： l1 cos2 cos1 l2 sin1
代入应力边界条件公式，有
x y xy 0