2014-2015学年福建省漳州市龙海二中高二下学期期末数学(理)试卷 Word版含解析

2014-2015学年福建省漳州市龙海二中高二（下）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.）
1．函数的定义域为（ ）
A．（﹣∞，1][6，+∞）B．（﹣∞，1）[6，+∞）C．（﹣3，1）（2，+∞） D．[﹣3，1）（2，+∞）
2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（ ）
A． 1+2i B． 1﹣2i C． 2+i D． 2﹣i
3．下列有关命题的说法中，正确的是（ ）
A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”
B．命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆否命题为真命题
C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“?x∈R，都有x2+x+1＞0”
D． “x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件
4．设A=[2，3]，B=（﹣∞，a），若A?B则a的取值范围是（ ）
A． a≥3 B． a≥2 C． a＞3 D． a≤2
5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若p（ξ＞c+5）=P（ξ＜c﹣1），则c=（ ）
A． 0 B． 2 C． 3 D． 4
6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）
A． 6种B． 12种 C． 30种 D． 36种
7．下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f （x1）＞f（x2）”的是（ ）
A． f（x）=（x+1）2 B． f（x）=ln（x﹣1）C． D． f（x）=ex
8．若函数y=﹣x2+1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（ ）
A．B． C． D．
9．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf
′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，）C．（，2）D．（﹣1，2）
10．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f （x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11．若，则x2+y2+z2的最小值为 ．
12．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）．
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 t 70
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为 ．
13．给出下列不等式：，，…，则按此规律可猜想第n个不等式为 ．
14．若a=，则二项式展开式中含x的项的系数是 ．
15．已知下列四下命题：
①函数f（x）=2x满足：对任意；
②函数均是奇函数；
③函数f（x）=e﹣2﹣ex切线斜率的最大值是﹣2；
④函数上有零点．
其中正确命题的序号是 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．
（）求点P轨迹的直角坐标方程；
（）求点P到直线l距离的最大值．
17．已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），恒成立，求x的取值范围．
18．设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x 均成立．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
20．已知函数f（x）=2x+k?2﹣x，k∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值．
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．
21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；
（）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小．
2014-2015学年福建省漳州市龙海二中高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求的.）
1．函数的定义域为（ ）
A．（﹣∞，1][6，+∞）B．（﹣∞，1）[6，+∞）C．（﹣3，1）（2，+∞） D．[﹣3，1）（2，+∞）
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．
解答：解：要使函数有意义，则，
即x≥6或x＜1，
故函数的定义域为（﹣∞，1）[6，+∞），
故选：B
点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．
2．已知，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x+yi的共轭复数为（ ）
A． 1+2i B． 1﹣2i C． 2+i D． 2﹣i
考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
专题：计算题．
分析：由已知得出x=（1+i）（1﹣yi），由复数相等的概念求出x，y确定出x+yi，再得出共轭复数
解答：解：由已知，x=（1+i）（1﹣yi），计算x=1+y+（1﹣y）i
根据复数相等的概念，解得，
x+yi=2+i，其共轭复数为2﹣i．
故选D．
点评：本题考查复数的基本运算，复数相等、共轭复数的概念．属于基础题．
3．下列有关命题的说法中，正确的是（ ）
A．命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2＞1，则x≤1”
B．命题“若α＞β，则tanα＞tanβ”的逆否命题为真命题
C．命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“?x∈R，都有x2+x+1＞0”
D． “x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件
考点：特称命题；四种命题；全称命题．
专题：应用题．
分析：若x2＞1，则x＞1的否命题为：若x2≤1，则x≤1
原命题为假命题，根据互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为假命题，
x∈R，使得x2+x+1＜0的否定是?x∈R，都有x2+x+1≥0
由x2+x﹣2＞0，可得x＞1或x＜﹣2，由推出关系即可判断
解答：解：命题“若x2＞1，则x＞1”的否命题为“若x2≤1，则x≤1”，故A错误
“若α＞β，则tanα＞tanβ”为假命题，根据互为逆否命题的真假关系相同可知逆否命题为假命题，故B错误
命题“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“?x∈R，都有x2+x+1≥0”，故C错误
x＞1?x2+x﹣2＞0，但是x2+x﹣2＞0时，x＞1或x＜﹣2，即x＞1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故D正确
故选D
点评：本题主要考查了命题的否定、互为逆否命题的真假关系及特称命题的否定，充分必要条件的判断的应用，属于知识的综合应用
4．设A=[2，3]，B=（﹣∞，a），若A?B则a的取值范围是（ ）
A． a≥3 B． a≥2 C． a＞3 D． a≤2
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：集合．
分析：根据A、B的包含关系，求出a的范围即可．
解答：解：A=[2，3]，B=（﹣∞，a）若A?B
则a＞3，
故选：C．
点评：本题考查了集合之间的包含关系，是一道基础题．
5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若p（ξ＞c+5）=P（ξ＜c﹣1），则c=（ ）
A． 0 B． 2 C． 3 D． 4
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题：计算题；概率与统计．
分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c+5）=P（ξ＜c﹣1），结合曲线的对称性得到点c+5与点c﹣1关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．
解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），
曲线关于x=2对称，
P（ξ＞c+5）=P（ξ＜c﹣1），
c+5+c﹣1=4，
c=0
故选：A．
点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．
6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（ ）
A． 6种B． 12种 C． 30种 D． 36种
考点：排列、组合及简单计数问题．
专题：计算题；概率与统计．
分析：“至少1门不同”包括两种情况，两门均不同和有且只有1门相同，再利用分步计数原理，即可求得结论．
解答：解：甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法可以分为两类：
1、甲、乙所选的课程中2门均不相同，甲先从4门中任选2门，乙选取剩下的2门，有C42C22=6种．
2、甲、乙所选的课程中有且只有1门相同，分为2步：①从4门中先任选一门作为相同的课程，有C41=4种选法；②甲从剩余的3门中任选1门乙从最后剩余的2门中任选1门有C31C21=6种选法，由分步计数原理此时共有C41C31C21=24种．
综上，由分类计数原理，甲、所选的课程中至少有1门不相同的选法共有6+24=30种．
故选C．
点评：本题考查排列组合知识，合理分类、正确分步是解题的关键．
7．下列函数f（x）中，满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f （x1）＞f（x2）”的是（ ）
A． f（x）=（x+1）2 B． f（x）=ln（x﹣1）C． D． f（x）=ex
考点：函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据题目所给条件，说明函数f（x）在（﹣∞，0）上应为减函数，其中选项A 是二次函数，C是反比例函数，D是指数函数，图象情况易于判断，B是对数型的，从定义域上就可以排除．
解答：解：函数满足“对任意的x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，总有f（x1）＞f（x2）”，说明函数在（﹣∞，1）上为减函数．
f（x）=（x+1）2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=﹣1，所以函数在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，不满足题意．
函数f（x）=ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞），所以函数在（﹣∞，0）无意义．
对于函数f（x）=，设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=，因为x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x20，x2﹣x1＞0，则，所以f（x1）＞f（x2），故函数f（x）=在（﹣∞，0）上为减函数．
函数f（x）=ex在（﹣∞，+∞）上为增函数．
故选C．
点评：本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（﹣∞，0）上的减函数．
8．若函数y=﹣x2+1（0＜x＜2）的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是（ ）
A．B． C． D．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的倾斜角．
分析：对函数求导y′=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，由0＜x＜2可求导数的范围，进而可求倾斜角的范围
解答：解：y′=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1
0＜x＜2
当x=1时，y′最小﹣1，当x=0或2时，y′=0
﹣1＜y′＜0
即﹣1≤tanα＜0
即倾斜角的最小值
故选D．
点评：本题考查导数的几何意义：导数在切点处的值是曲线的切线斜率．
9．已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数为f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf ′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），则满足F（3）＞F（2x﹣1）的实数x的取值范围是（ ）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，）C．（，2）D．（﹣1，2）
考点：函数的单调性与导数的关系；导数的运算．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：根据函数的奇偶性和条件，判断函数F（x）的单调性，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可．
解答：解：f（x）是奇函数，
不等式xf′（x）＜f（﹣x），等价为xf′（x）＜﹣f（x），
即xf′（x）+f（x）＜0，
F（x）=xf（x），
F′（x）=xf′（x）+f（x），
即当x∈（﹣∞，0]时，F′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函数F（x）为减函数，
f（x）是奇函数，
F（x）=xf（x）为偶数，且当x＞0为增函数．
即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等价为F（3）＞F（|2x﹣1|），
|2x﹣1|＜3，
﹣3＜2x﹣1＜3，
即﹣2＜2x＜4，
﹣1＜x＜2，
即实数x的取值范围是（﹣1，2），
故选：D．
点评：本题主要考查函数单调性和导数之间的关系的应用，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键，综合考查了函数性质的应用．
10．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0）时，f （x）=﹣1，若在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（，1）B．（1，4）C．（1，8）D．（8，+∞）
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．
分析：在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，结合题意可得到关于a的关系式，从而得到答案．
解答：解：当x∈[﹣2，0）时，f（x）=﹣1，
当x∈（0，2]时，﹣x∈[﹣2，0），
f（﹣x）=﹣1=﹣1，又f（x）是定义在R上的偶函数，
f（x）=﹣1（0＜x≤2），又f（2+x）=f（2﹣x），
f（x）的图象关于直线x=2对称，且f（4+x）=f（﹣x）=f（x），
f（x）是以4为周期的函数，
在区间（﹣2，6）内的关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞0且a≠1）恰有4个不同的实数根，
令h（x）=loga（x+2），即f（x）=h（x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内有4个交点，
在同一直角坐标系中作出f（x）与h（x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象，
0＜loga（6+2）＜1，
a＞8．
故选D．
点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，求得f（x）的解析式，作出f（x）与h （x）=loga（x+2）在区间（﹣2，6）内的图象是关键，考查作图能力与数形结合的思想，属于难题．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）
11．若，则x2+y2+z2的最小值为 ．
考点：柯西不等式在函数极值中的应用．
专题：计算题．
分析：根据柯西不等式可得（x2+y2+z2）≥，由此可得结论．
解答：解：根据柯西不等式可得（x2+y2+z2）≥
∴x2+y2+z2≥
当且仅当时，x2+y2+z2的最小值为
故答案为：
点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．一般而言，“积和结构”或“平方和结构”越明显，则构造越容易，而对于“积和结构”或“平方和结构”不够明显的问题，则须将原问题作适当变形，使“积和结构”或“平方和结构”明显化，从而利用柯西不等式进行证明．
12．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元）．
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 t 70
根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，则表中t的值为　50　．
考点：线性回归方程．
专题：计算题．
分析：计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．
解答：解：由题意，，=40+
y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，
40+=6.5×5+17.5
∴40+=50
∴=10
∴t=50
故答案为：50．
点评：本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点
13．给出下列不等式：，，…，则按此规律可猜想第n个不等式为 ．
考点：归纳推理．
专题：计算题．
分析：观察不等式，找出不等式中最后一项的分母的通项公式，不等式右边是首项为1，公差为的等差数列，从而可得到第n个不等式．
解答：解：观察不等式中最后一项的分母分别是3、7、15、31…
将每个数加1得4、8、16、32可知通项为2n+1则3、7、15、31…的通项为2n+1﹣1
不等式右边是首项为1，公差为的等差数列，
按此规律可猜想第n个不等式为
故答案为：
点评：本题主要考查了类比推理，解题的关键找出不等式的规律，同时考查了推理能力，属于基础题．
14．若a=，则二项式展开式中含x的项的系数是　240　．
考点：定积分；二项式定理的应用．
分析：由定积分的运算可得a=2，代入由二项式定理可得的通项Tk+1=x3﹣k，令3﹣k=1，可得k=2，可得含x的项系数为：=240
解答：解：由题意可得，a==﹣cosx=2，
故=，
其二项展开式的通项Tk+1==x3﹣k，令3﹣k=1，可得k=2，
故可得含x的项系数为：=240
故答案为：240
点评：本题考查定积分的求解和二项式定理的应用，属基础题．
15．已知下列四下命题：
①函数f（x）=2x满足：对任意；
②函数均是奇函数；
③函数f（x）=e﹣2﹣ex切线斜率的最大值是﹣2；
④函数上有零点．
其中正确命题的序号是　②　．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：①，函数f（x）=2x中，足：令x1=0，x2=2，可得f（）=f（1）=2；[f（x1）+f（x2）]=[f（0）+f（2）]=，可判断①；
②，利用奇偶函的概念可判断函数均是奇函数从而可判断②；
③，利用导数的几何意义可求得函数f（x）=e﹣2﹣ex切线斜率，从而可判断③；
④，利用零点存在定理可判断函数在区间（，）上无零点．
解答：解：对于①，函数f（x）=2x，令x1=0，x2=2，则=1，显然f（）=f（1）=2；[f（x1）+f（x2）]=[f（0）+f（2）]=，f（）＜[f（x1）+f（x2）]，故①错误；
对于②，函数的定义域为R，且f（﹣x）+f（x）=+=log21=0，
所以，f（﹣x）=﹣f（x），即为奇函数；
同理可得，g（﹣x）+g（x）=0，即是奇函数，故②正确；
对于③，函数f（x）=e﹣2﹣ex的导函数f′（x）=﹣ex＜0，
函数f（x）=e﹣2﹣ex切线斜率无最大值，故③错误
对于④，函数，f′（x）=﹣ln=+ln4＞0，
所以，为R上的增函数，
又f（）=﹣＜0，f（）=﹣=﹣＜0，
所以，在区间（，）上无零点，故④错误．
故答案为：②．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的“凹凸”性、奇偶性，考查导数的几何意义、函数的零点等，考查分析与运算求解能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l的极坐标方程为：，点P（2cosα，2sinα+2），参数α∈[0，2π]．
（）求点P轨迹的直角坐标方程；
（）求点P到直线l距离的最大值．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（I）利用cos2α+sin2α=1即可得出；
（II）把直线l的极坐标化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．
解答：解：（）由点P的坐标可得：且参数α∈[0，2π]，
点P的轨迹方程为x2+（y﹣2）2=4．
（），，
ρsinθ﹣ρcosθ=6，
直线l的直角坐标方程为x﹣y+6=0．
即点P到直线l距离的最大值．
点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），恒成立，求x的取值范围．
考点：函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据基本不等式的性质先求出+的最小值，问题转化为解不等式9≥|x﹣10|﹣|x+6|，从而求出x的范围．
解答：解：a＞0，b＞0 且a+b=1，
+=（a+b）（ +）=5++≥9，
故+的最小值为9，
因为对?a，b∈（0，+∞），
使恒成立，
所以，9≥|x﹣10|﹣|x+6|，
当 x≤﹣6时，16≤9，无解；
当﹣6＜x＜10时，4﹣2x≤9，
﹣2.5≤x＜10；
当 x≥10时，﹣16≤9，
x≥10；
{x|x≥﹣2.5}．
点评：本题考查了基本不等式性质的应用，考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，是一道中档题．
18．设命题p：函数f（x）=lg的定义域是R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x 均成立．
（1）如果p是真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果“p或q”为真命题，命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
考点：命题的真假判断与应用．
专题：综合题．
分析：（1）由题意，若p是真命题，则对任意实数都成立，由此能够求出p是真命题时，实数a的取值范围．
（2）若命题q为真命题时，则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．由∈（﹣∞，0），
知q是真命题时，a≥0．再由p或q为真命题，命题p且q为假命题，知或，能求出实数a 的取值范围．
解答：解：（1）由题意，若p是真命题，
则对任意实数都成立，
若a=0，显然不成立；
若a≠0，解得a＞2
故如果p是真命题时，
实数a的取值范围是（2，+∞）
（2）若命题q为真命题时，
则3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．
x＞0
3x＞1
3x﹣9x∈（﹣∞，0）
所以如果q是真命题时，a≥0．
又p或q为真命题，命题p且q为假命题
所以命题p与q一真一假
或
解得0≤a≤2综上所述，实数a的取值范围是[0，2]
点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要注意公式的灵活运用．
19．甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
考点：条件概率与独立事件；离散型随机变量的期望与方差．
专题：概率与统计．
分析：（）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A）=，能求出结果．
解答：解：（）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，
P（ξ=1）=（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×=，
P（ξ=2）=++=，
P（ξ=3）==，
随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
数学期望E（ξ）=0×+1×+2×+3×=．
（）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A）=++=，
P（AB）==，
P（B|A）===．
点评：本题考查离散型随机变量的期分布列和数学期望，考查条件概率的求法，是历年高考的必考题型之一，解题时要注意排列组合知识的合理运用．
20．已知函数f（x）=2x+k?2﹣x，k∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求实数k的值．
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，求实数k的取值范围．
考点：函数恒成立问题．
专题：函数的性质及应用．
分析：（1）根据函数f（x）为奇函数，建立条件关系即可求实数k的值．
（2）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2﹣x成立，进行转化即可求实数k的取值范围．
解答：解：（1）f（x）=2x+k?2﹣x是奇函数，
f（0）=0，
即1+k=0，
k=﹣1．
（2）x∈[0，+∞），均有f（x）＞2﹣x，
即2x+k?2﹣x＞2﹣x成立，k＞1﹣22x，
对x≥0恒成立，k＞[1﹣（22x）]max．
y=1﹣（22x）在[0，+∞）上是减函数，
[1﹣（22x）]max=1﹣1=0，k＞0．
点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数恒成立问题，利用指数函数的运算性质是解决本题的关键．
21．已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（）讨论函数f（x）在定义域内的极值点的个数；
（）若函数f（x）在x=1处取得极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；
（）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较的大小．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值．
专题：综合题．
分析：（）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．通过考察f′（x）的正负值区间判断单调区间，得出极值点情况．
（）a=1，f（x）≥bx﹣2恒成立，即（1﹣b）x＞lnx﹣1，将b分离得出，b＜，令g（x）=，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值．
（）由（）g（x）=在（0，e2）上为减函数，g（x）＞g（y），＞，整理得＞，考虑将1﹣lnx除到右边，为此分1﹣lnx正负分类求解．
解答：解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．
（）当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函数在（0，+∞）单调递减，
在（0，+∞）上没有极值点；
当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞，f′（x）＜0得x＜．f′（x）=0得x=．
在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，即在x=处有极小值．
当a≤0时在（0，+∞）上没有极值点，
当a＞0时，在（0，+∞）上有一个极值点．（3分）
（）函数在x=处取得极值，a=1，
f（x）=x﹣1﹣lnx，
f（x）≥bx﹣2，移项得（1﹣b）x≥lnx﹣1，再将b分离得出，b＜，令g（x）=，
则令g′（x）=，可知在（0，e2）上g′（x）＜0，在（e2，+∞）上g′（x）＞0，
g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值．此时g（e2）=1﹣，
所以b≤1﹣．
（）由（）g（x）=在（0，e2）上为减函数．0＜x＜y＜e2且x≠e时，
有g（x）＞g（y），＞，整理得＞①
当0＜x＜e时，1﹣lnx＞0，由①得，
当e＜x＜e2时，1﹣lnx＜0，由①得
点评：本题考查函数与导数，利用导数研究函数的单调性，极值，并利用单调性比较大小．考查了分类讨论、构造、推理计算能力．。