13.建模作业_优化问题

《数学建模》课程作业题-13
第五章 优化模型-优化问题
1.已知某工厂计划生产I,II,III 三种产品，各产品需要在A,B,C 设备上加
试问:（1）如何发挥生产能力，使生产盈利最大？
模型的建立及求解：
设生产I,II,III 产品x1，x2，x3件z 为所获得的利润。

于是数学模型如下：
123
123123123max 32 2.982103001058400213104201,2,30;
z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥⎩ 利用matlab 求解（附录一）得到最优值Z =135.2667（千元），
（2）若为了增加产量，可租用别的工厂设备B,每月可租用60台，租金1.8万元，租用B 设备是否划算？
模型的建立及求解：
租用别的工厂设备B 以后模型为：
123
123123123max 32 2.982103001058460213104201,2,30;
z x x x x x x x x x x x x x x x =++++≤⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥⎩ 利用matlab 求解（附录二）得到最优值Z =129（千元），
（3）若另有俩种新产品Ⅳ、Ⅴ,其中新产品Ⅳ需用设备A 为12台时，B 为5台时，C 为10台时，单位产品盈利2.1千元；新产品Ⅴ需用设备A 为4台时，B 为4台时，C 为12台时，单位产品盈利1.87千元，如A,B,C 的设备台时不增加，这两种新产品投产在经济上是否划算？
模型的建立及求解：
添加两个新产品Ⅳ、Ⅴ后，Ⅳ、Ⅴ对应的产品数分别为x4，x5，建立模型如下：
12345
123451234512345max 32 2.9 2.1 1.8782101243001058544002131010124201,2,3,4,50;
z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++≤⎧⎪++++≤⎪⎨
++++≤⎪⎪≥⎩
（4）对产品工艺重新进行设计，改进结构.改进后生产每件产品I 需用设备A 为9台时，设备B 为12台时，设备C 为4台时，单位盈利4.5千元，这时对原计划有何影响？
模型的建立及求解：
改进结构后，建立的模型如下：
123
123123123max 4.52 2.9921030012.558400413104201,2,30;
=++++≤⎧⎪++≤⎪⎨
++≤⎪⎪≥⎩z x x x x x x x x x x x x x x x 利用matlab 求解（附录四）得到最优值Z =153.1618（千元），
2. 有一个大型的冶金矿山公司，共有14个出矿点，已知其年产量及各矿点矿石的平均品位（含铁量的百分比）如下表所示：
石的混合配料，然后进入烧结工序.最后，将小球状的烧结球团矿送入高炉进行高温炼铁，生产出生铁.该企业要求：将这14个出矿点的矿石进行混合配矿.依据生产设备及生产工艺要求，混合矿石的平均品位T 规定为45% .问：应如何配矿才能获得最佳效益？ 模型的建立及求解：
设从第一矿点到第十四个矿点，每个矿点的配矿量分别为i x 万吨（i 表示矿点数），每个矿点铁的平均品味为i y 。

由题目给点条件，可得如下线性规划模型：
(),1,2,3,
,14i i Max x y i ==∑（1）
将（1）展开
1234567
891011121314
0.37160.51250.40.470.420.49960.51410.48380.49080.40220.52710.56920.40720.5020=+++++++++++++Max x x x x x x x x x x x x x x
约束条件为混矿后的平均品味限制和各矿点的含矿量限制：
()/,1,2,3,
,14i i
i
x y x i =∑∑（2）
将（2）展开
12345678910111213141234567891011121314(0.37160.51250.40.470.420.49960.51410.48380.49080.40220.52710.56920.40720.5020)0.45()+++++++++++++>=+++++++++++++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
简化得： 123457891011121314123
456789100.07840.06250.050.020.030.04960.06410.03380.04080.04780.07710.11920.04280.0520070,07,017023,03,09.501,015.4,0 2.70x x x x x x
x x x x x
x x x x x x x x x x x x x -+-+----+--+-≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤111213147.6,013.5,0 2.701.2,07.2
x x x x ⎧⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪
≤≤≤≤≤⎪⎪≤≤≤≤⎩
得到最终模型： (),1,2,3,,
i i Max x y i ==∑ S.T 123456
7891011121314123456789100.07840.06250.050.020.030.04960.06410.03380.04080.04780.07710.11920.04280.0520070,07,017023,03,09.501,015.4,0 2.70x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x -+-+----+--+-≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤111213147.6,013.5,0 2.701.2,07.2
x x x x ⎧⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨⎪⎪⎪
≤≤≤≤≤⎪⎪≤≤≤≤⎩
3. 三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张.这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张.下表给出了工厂和商店的距离（单位公里），假设每张每公里运费0.5元.寻求一个运送方案
使运费最少？
设工厂1运给A x1a 张，给B x1b ，给C x1c 张。

工厂2运给A x2a 张，给B x2b ，给C x2c 张，z 表示最小费用。

⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎪⎩⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤=+=+=+≤++≤+++++++=.
45205020302045105010301045
215021302180222701115
.0*]2*52*202*71*301*51*10[min c x b x a x c x b x a x c x c x b x b x a x a x c x b x a x c x b x a x c x b x a x c x b x a x z 利用matlab 求解（附录六）得到A B C 分别在工厂1和工厂2
的购买张工厂一运给A 店铺0张，给B 店铺50张，给C 店铺0张。

工厂二运给A 店铺30张，给B 店铺0张，给C 店铺45张。

总运费为342.5元
4. 某车间有一批长度为180公分的钢管（数量充分多），今为制造零件，要将其截成三种不同长度的管料，70公分，52公分，35公分.生产任务规定，这三种料的需要量分别不少于100根，150根，100根.所有截法如下表所示.我们知道，截钢管时不免要产生“边角料”，从节约原料的观点来考虑，应该采取怎样的
截法，才能在完成任务的前提下，使总的边角料达到最小限度？
模型的建立及求解：
设i x 表示第i 种方法截的数量，)8,,2,1( =i ，Z 表示剩余边料的总和，为了节约材料，Z 越小越好，而且还得满足各个长度的数量要求。

建立模型如下：
12345678
12342
3567134678min 562352462352100232150..32351000,1,2,,8i
z x x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x x x x i =+++++++⎧+++≥⎪
++++≥⎪⎨+++++≥⎪⎪≥=⎩
利用matlab 求解（附录七）得到剩余边料最小值为600cm ，
5. 某人有一笔50万元的资金可用于长期投资,可供选择的投资机会包括购买国库券、公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等.不同的投资方式的具体参数如下表所示.投资者希望投资组合的平均年限不超过5年，平均的期望收益率不低于13%，风险系数不超过4，收益的增长潜力不低于10%.问在满足上述要求的前提下投资者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？
投资参数
设国库券、公司债券、房地产、股票、短期存款、长期储蓄、现金存款分别存
87654321,,,,,,,x x x x x x x x ，Z 表示平均年收益，由题意可建立模型如下：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++++++≥++++≤+++++≤+++++++++++=50
10
50/)105203015(450/)216831(550/)5126103(.50/)3121020251511(max 7654321654326543216543217654321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x T S x x x x x x x Z
6. 设有M=400万元资金，要求4年内使用完，若在一年内使用资金x 万元，则可获得效益()g x =年利率为r =10%，试制定出这笔资金的使用方案，使4年的经济效益总和最大. 模型的建立及求解：
设前四年使用的资金分别为4321,,,x x x x 万元，总的经济效益为Z ，第一年使用了1x 万元，则可剩余400-1x 万元，则第一年末的时候得到的效益为
1x 万
元，第二年可使用的资金为)400)(1(1x r -+，第二年末得到经济效益为
21x x +，第三年可使用的资金为])400)(1)[(1(21x x r r --++万元，第三年末
经济效益为
321x x x ++，第四年可使用的资金为
{}321])400)(1)[(1()1(x x x r r r ---+++万元，第四年末总效益为
4321x x x x +++因此可以建立模型如下：
利用matlab 求解（附录九）得到四年可获得最大效益为Z=43.0858万元，
7. 某个中型的百货商场要求售货人员每周工作5天，连续休息2天，工资200元/周，已知对售货人员的需求经过统计分析如下表所示，问如何安排可使配备销售人员的总费用最少？
设星期一到星期天每天休息的人数分别为7654321,,,,,,x x x x x x x 由于要求售货人员每周工作5天，连续休息2天，工资200元/周，则可建立如下模型：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎧=≥≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++≥++++++++++=为整数
i i x i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x T S x x x x x x x Z 7,6,5,4,3,2,1,012141916
121518.)
(200min 543217
432176321765217654176543654327654321 利用matlab 求解（附录十）得到最少费用为46400元，
8. 某工厂生产甲、乙两种产品，已知有关数据见下表。

工厂在做决策时，要考虑如下的问题：
（1）根据市场信息，产品甲的需求有所上升，故产品甲的产量大于乙的2倍； （2）超过计划供应的原材料时，需高价采购，这就增加成本； （3）不要使设备超负荷运行；
（4）应尽可能达到并超过计划利润指标48；
试问问如何安排生产？给出数学模型和计算结果。

生产数据
模型的建立及求解：
设生产甲产品为1x ，生产乙产品为2x ，获得利润为Z 。

根据问题一，应有
⎪⎩⎪
⎨⎧≥+≤+≥-+=36
446002.86max 21
212121x x x x x x T S x x Z 212x x ≥；根据问题二，可知6021≤+x x ；根据问题三可知364421≤+x x ；根据问题四，要尽可能实现利润最大化。

由此可建立如下模型：
利用matlab 求解（附录十一）得到最大利润Z=400，
附录一：
%zs13_1_1.m
c=[-3,-2,-2.9];
a=[8,2,10;10,5,8;2,13,10]; b=[300,400,420]; vlb=[0,0,0]; vub=[];
[x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub); xi=round([x']) Z=-z
附录二： %zs13_1_2.m
c=[-3,-2,-2.9];
a=[8,2,10;10,5,8;2,13,10]; b=[300,460,420]; vlb=[0,0,0]; vub=[];
[x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub); xi=round([x']) Z=-z-18
附录三： %zs13_1_3.m
c=[-3,-2,-2.9,-2.1,-1.87];
a=[8,2,10,12,4;10,5,8,5,4;2,13,10,10,12]; b=[300,400,420]; vlb=[0,0,0,0,0]; vub=[];
[x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub); xi=round([x']) Z=-z
附录四：
%zs13_1_4.m
c=[-4.5,-2,-2.9];
a=[9,2,10;12,5,8;4,13,10];
b=[300,400,420];
vlb=[0,0,0];
vub=[];
[x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub);
xi=round([x'])
Z=-z
附录五：
%zs13_2.m
c=[-0.3716 -0.5125 -0.4 -0.47 -0.42 -0.4996 -0.5141 -0.4838 -0.4908 -0.4022 -0.5271 -0.5692 -0.4072 -0.5020];
a=[0.0784,-0.0625,0.05,
-0.02,0.03,-0.0496,-0.0641,-0.0338,-0.0408,0.0478,-0.0771,-0.1192,0.0 428,-0.052];
b=0;
vlb=[0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0;0];
vub=[70;7;17;23;3;9.5;1;15.4;2.7;7.6;13.5;2.7;1.2;7.2;];
[x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub);
disp('取最优值对应的各个矿点的产值')
xi=[x']
disp('最优值')
Z=-z
附录六：
%zs13_3.m
c=[10 5 30 7 10 5];
a=[1 1 1 0 0 0;0 0 0 1 1 1];
b=[70 80];
aeq=[1 0 0 1 0 0; 0 1 0 0 1 0;0 0 1 0 0 1];
beq=[30 50 45];
vlb=[0 0 0 0 0 0];
vub=[30 50 45 30 50 45];
[x,z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub);
xi=round([x'])
Z=0.5*z
附录七：
%zs13_4.m
c=[5,6,23,5,24,6,23,5];
a=[-2,-1,-1,-1,0,0,0,0;0,-2,-1,0,-3,-2,-1,0;-1,0,-1,-3,0,-2,-3,-5];
b=[-100,-150,-100];
vlb=[0;0;0;0;0;0;0;0];
vub=[];
[x,z]=linprog(c,a,b,[],[],vlb,vub);
disp('取最优值所对应各个方案截的数量')
xi=[round(x)']
disp('最优值')
z
附录八：
%zs13_5.m
c=[11,15,25,20,10,12,3]./(-50);
a=(1/50).*[3 10 6 2 1 5 0;1 3 8 6 1 2 0;0 -15 -30 -20 -5 -10 0]; b=[5 4 -10];
aeq=[1 1 1 1 1 1 1];
beq=[50];
vlb=[0;0;0;0;0;0;0;0];
vub=[];
[x,z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub);
disp('投资方案')
X=[x']
disp('最优年收益')
Z=-z/100
附录九：
M文件
%yueshu.m
function [g,ceq]=yueshu(x) %定义非线性的约束条件
g(1)=x(1)-400;
g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;
g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;
g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;
ceq=0;
end
M文件
%fun8.m
function y=fun8(x)
y=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));
end
代码：
%zs13_6.m
x0=[1;1;1;1];
vlb=[0;0;0;0];
vub=[];
A=[];
b=[];
Aeq=[];
beq=[];
[x,z]=fmincon('fun8',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'yueshu');
X=[x']
Z=-z
附录十：
%zs13_7.m
c=200*[11 15 25 20 10 12 3];
a=(-1)*[0 1 1 1 1 1 0;0 0 1 1 1 1 1;1 0 0 1 1 1 1;1 1 0 0 1 1 1;1 1 1 0 0 1 1;1 1 1 1 0 0 1;1 1 1 1 1 0 0];
b=(-1)*[18 15 12 16 19 14 12];
aeq=[];
beq=[];
vlb=[0;0;0;0;0;0;0;0];
vub=[];
[x,z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub);
disp('周一到周七休息的人数分别为')
X=[x']
disp('需要最少的费用')
z
附录十一：
%zs13_8.m
c=(-1)*[6 8];
a=[-1 2;1 1;-4 -4];
b=[0 60 -36];
aeq=[];
beq=[];
vlb=[0;0];
vub=[];
[x,z]=linprog(c,a,b,aeq,beq,vlb,vub);
disp('甲乙产品分别生产')
X=[x']
disp('需要最少的费用')
Z=-z。