河北省献县宏志中学2022届高三数学理科仿真模拟卷 28

河北省献县宏志中学2022届高三数学理科仿真模拟卷28
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知复数21i
z i
+=
-,则复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 设集合101x A x
x -⎧⎫
=<⎨⎬+⎩⎭
，{}
1B x x a =-<，则“”是“A B φ⋂≠”的（ ）
A ．充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分又不必要条件 3 等差数列的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则（ ） A ． B C 8 D 6
4 过抛物线x y 42=的焦点的直线交抛物线于()()1122,,,P x y Q x y 两点，如果126x x +=，则
PQ =
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
5 已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则
此几何体的外接球的体积为（ ）
A ．
163π B ． 32
3
π C D ． 6．在二项式
)2
n
x -的展开式中，只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A ． 4
B
C D
7 已知圆()2
2
:300,0C x y bx ay a b +++-=>>上任意一点关于直线:20l x y ++=的
对称点都在圆上，则
14
a b
+的最小值为（ ） A ．
9
4
B ．9
C ．1
D ．2 8．把座位编号为1、2、3、4、5的五张观看《孔子》的电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法总数为（ ） A ．24 B ．48 C ．96 D ．144
9 右图是函数()2
f x x ax b =++的部分图象，则函数()ln ()
g x x f x '=+的零点所在的区间
是（ ）
A ．11(,)42
B ．1(,1)2
C ．
D ．
10已知满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x ,若目标函数y x z +=2的最大值
7，最小值为1，则
=++a
c
b a A ． 2 B ．1 C ． －1 D ． －2
11已知点为双曲线122
22=-b
y a x )0,0(>>b a 的右支上一点,、为双曲线的左、右焦点，使
()2
2
0OP OF F P +⋅=为坐标原点,且21
3PF PF
=,则双曲线离心率为（ ）
A
216+ B 16+ C 2
13+ D 13+ 12 在一次研究性学习中，老师给出函数()()1x
f x x R x
=
∈+，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时给出命题： 甲：函数的值域为[]1,1-；
乙：若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠； 丙：若规定
11()(),()(())n n f x f x f x f f x -==，则()1n x
f x n x
=
+ 对任意n N *∈恒成
立
你认为上述三个命题中正确的个数有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个 第Ⅱ卷
二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分 13 要得到函数2sin(2)3
y x π
=+
的图象，
只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平移 个单位长度
14若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的 ．
15 在边长为2的正三角形ABC 中，以A 为圆心，为半径画一弧，分别交AB ，AC 于D ，E ．若在△ABC 这一平面区域
内任丢一粒豆子，则豆子落在扇形ADE 内的概率是________．
16 若函数()23
1,0
,0
ax x f x x x ⎧+≥=⎨<⎩，则不等式()()1f a f a >-的解集为________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分12分） 已知向量(
)
3sin 22,cos m x x =
+，()1,2cos n x =，设函数()f x m n =⋅
（Ⅰ）求的最小正周期与单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC ∆中，、、分别是角、、的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为2
3
，求的值。

18．本小题满分12分
如图，在长方体1111ABCD-A B C D 中，1AD=AA =1，AB=2，点在棱上移动．
Ⅰ 证明：11D E A D ⊥；
Ⅱ等于何值时，二面角1D -EC-D 的大小为
4
π
．
19 （本小题满分12分）
某大学高等数学老师上学期分别采用了两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进行教改试验（两个班人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）。

现随机抽取甲、乙两班各20名同学的上学期数学期末考试成绩，得到茎叶图如下：
（Ⅰ）依茎叶图判断哪个班的平均分高
（Ⅱ）从乙班这20名同学中随机抽取两名高等数学成绩不得低于85分的同学，求成绩为90分的同学被抽中的概率；
2 6 6
3 2 1 8 3 2 2 1 9 8 7 7 6
9 9 8 8
9 8 7 6 5
0 1 5 6 8 0 1 2 5 6 6 8 9 3 6 8 5 7 9 9
甲
乙
（Ⅲ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过的前提下认为成绩优秀与教学方式有关”
甲班 乙班 合计 优秀 不优秀
合计
2()P K k ≥
（参考公式：2
2
(),()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++其中n a b c d =+++） （Ⅳ）从乙班高等数学成绩不低于85分的同学中抽取2人，成绩不低于90分的同学得奖金100元，否则得奖金50元，记为这2人所得的总奖金，求的分布列和数学期望。

20 （本小题满分12分）
设椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>，已知该椭圆过点(2,2)M 和(6,1)N ，O 为坐标原点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设、、、为椭圆的四个顶点，求四边形1122A B A B 的内切圆的方程；
（Ⅲ）证明（Ⅱ）中圆的任意一条切线与椭圆恒有两个不同的交点、；并求OA OB ⋅的值
21 （本小题满分12分） 已知函数).0()
1ln(1)(>++=
x x x x f
（Ⅰ）试判断函数),0()(+∞在x f 上单调性并证明你的结论； （Ⅱ）若1
)(+>
x k
x f 对于(0,)x ∀∈+∞恒成立，求正整数的最大值； （Ⅲ）求证：[]2n - 3(112)(123)(134)1(1>e n n +⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅
++）
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22（本小题满分10分） 选修4-1：几何证明选讲：
如图，在Rt △ABC 中，C 90∠=, BE 平分∠ABC 交AC 于点E ， 点D 在AB 上，DE EB ⊥．
Ⅰ求证：AC 是△BDE 的外接圆的切线；
Ⅱ若6AD AE ==，求EC 的长．
23（本小题满分10分）
选修4-4：极坐标与参数方程： 已知椭圆C 的极坐标方程为θ
θρ222
sin 4cos 312
+=
，点12,F F 为其左，右焦点，直线的参
数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22222为参数，
．
（Ⅰ）求直线和曲线C 的普通方程； （Ⅱ）求点12,F F 到直线的距离之和
24 （本小题满分10分） 选修4-5：不等式选讲：
若关于的方程2
230x x a -+-=有实根 Ⅰ求实数的取值集合;
Ⅱ若对于a A ∀∈，不等式22120t at --<恒成立，求的取值范围
参考答案
一、选择题：
1-5 AABBD 6-10 CACBD 11-12 DC 二、填空题 13
3
π
16 11
(,)(,)22
-∞-⋃+∞ 三、解答题
17解：（Ⅰ）)cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+= ，
n m x f •=∴)(x x 2cos 222sin 3++=32cos 2sin 3++=x x
3)6
2sin(2++=π
x ----------------------------3分
ππ
==
∴2
2T ----------------------------4分 令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
故()3
6
k x k k Z π
π
ππ-
≤≤+
∈
)(x f ∴的单调区间为(),36k k k Z ππππ⎡
⎤-+∈⎢⎥⎣
⎦ ----------------------6分
（Ⅱ）由4)(=A f 得 43)6
2sin(2)(=++
=π
A A f
21
)6
2sin(=
+∴π
A 又为ABC ∆的内角 6
13626πππ<+<∴A 656
2ππ
=
+
∴A 3
π
=∴A --------------------------9分
1,23==
∆b S ABC 2
3
sin 21=
∴A bc 2=∴c 32
1
12214cos 2222=⨯
⨯⨯-+=-+=∴A bc c b a 3=∴a -------12分 18．Ⅰ连,在长方体1111ABCD-A B C D 中，1AD=AA =1,则四边形11ADD A 是正方形， ∴11A D AD ⊥,又1AE AD ⊥平面,∴1AE A D ⊥,∴11A D AD E ⊥平面, ∴11D E A D ⊥ ………………………………5分 Ⅱ以点D 为原点，DA 为轴，DC 为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则A1，0，0，E1，1，0，B1，2，0，C0，2，0，D ，0，0，1． 则(0,1,0)AE
，(1,1,0)EC
，1(0,2,1)D C
．
设0(1,,0)E y ，则0(1,2
,0)EC
y ，设平面1D EC 的法向量为(,,)n
x y z ，
∴0::(2):1:2x y z y =- ………………………………8分
设0(2,1,2)n y =-，而平面的法向量10,0,1n =（），由于二面角1D -EC-D 的大小为4
π
θ=
，
∴1222
1
022
cos 2
(2)12n n n n y θ⋅=
=
=
-++，∴023y =- 故23AE =-时，二面角1D -EC-D 的大小为4
π
．………………………………12分
注:利用立体几何知识解答也同样得分 19解：
（Ⅰ）甲班高等数学成绩集中于60-90分之间，而乙班数学成绩集中于80-100分之间，所以乙班的平均分高 ………………………………2分
（Ⅱ）11192
101
5
C C P C == ………………………………4分
（Ⅲ）
………………………………6分
()2
2403101017 5.584 5.024********
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过的前提下可以认
为成绩优秀与教学方式有关。

………………………………8分
（Ⅳ）()()()211
2555522
2101010252
100,150,200999
C C C C P P P C C C ξξξ========= 所以 100元
150元
200元
2
9 59 29
………………………………10分
252
100150200150999
E ξ=⨯+⨯+⨯=（元） ………………………………12分
20 解：Ⅰ2222
421611a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：228,4a b == 故E 的方程为：22
8,4a b ==
-----------------3分
Ⅱ设内切圆方程为2
2
2
x y r +=
则()
()22,0,2A B
12
y
=，
即0x -=
r ∴， 283r =
故
圆
的
方
程
为
228
3
x y +=
------------------------------------------6分 Ⅲ因为圆在椭圆的内部，所以圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点
（或联立方程，计算0∆>） ----------------------------------8分 （1）当直线的斜率存在时，设:l y kx m =+是圆的任意一条切线，
则
d =
()22381m k ∴=+ 甲班 乙班 合计 优秀 3 10 13 不优秀 17 10 27 合计 20 20 40
联立22
184
x y y kx m ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
得()222124280k x kmx m +++-= 212122
2
428
,1212km
m x x x x k
k
-+=-=++ ()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++
()2222
2
222
28438810121212m km m k k m k k k ---=+-+==+++----------11分
（2）当斜率不存在时，验证可知0OA OB ⋅=
综
上
，
0OA OB ⋅=-------------------------------------------------------------------12
分
21解：（I ）)]1ln(1
1
[1)]1ln(11[1)(22+++-=+--+='x x x x x x x x f …………（2分） .0)(,0)1ln(,01
1
,0,02<'∴>+>+>∴>x f x x x x
),0()(∞∴在x f 上是减函数……………………………………………………（3分）
（II ）.)]1ln(1)[1()(,1)(恒成立即恒成立k x
x x x h x k x f >+++=+> 即的最小值大于
2
1ln(1)
(),x x h x x --+'=
记()1ln(1)(0)g x x x x =--+> 则),0()(,01
)(+∞∴>+='在x g x x
x g 上单调递增，
又.02ln 22)3(,03ln 1)2(>-=<-=g g
0)(=∴x g 存在唯一实根，且满足).1ln(1),3,2(++=∈a a a
当.0)(,0)(00)(,0)(<'<<<>'>>x h x g a x x h x g a x 时，，当时， ∴[]
min (1)1ln(1)()()1(3,4)
a a h x h a a a
+++==
=+∈
故正整数的最大值是3 ……………………………7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知
)0(1
3
)1ln(1>+>++x x x x
∴x
x x x x 3
2132113)1ln(->+-=-+>
+ ………………………9分 令*))(1(N n n n x ∈+=，则)
1(3
2)]1(1ln[+->++n n n n ………………………10分
∴[]ln(112)ln(123)ln 1(1)n n +⨯++⨯+⋅⋅⋅+++
[]2n - 3(112)(123)(134)1(1>e n n ∴+⨯+⨯+⨯⋅⋅⋅++） ………………12分
22 解：Ⅰ取BD 的中点O ，连接OE ．
∵BE 平分∠ABC ，∴∠CBE=∠OBE ．又∵OB=OE ，∴∠OBE=∠BEO ， ∴∠CBE=∠BEO ，∴BC ∥OE ．………………3分 ∵∠C=90°，∴OE ⊥AC ，∴AC 是△BDE 的外接圆的切线． --------------------5分 Ⅱ设⊙O 的半径为r ，则在△AOE 中，
222AE OE OA +=
，即2226()r r +=+
，解得r =,
∴OA=2OE ， ∴∠A=30°，∠AOE=60°． ∴∠CBE=∠OBE=30°． ∴
EC=
111
3222
BE ===． ------------------------------------------10分
23解：Ⅰ 直线普通方程为 2y x =-； ------------------------------2分
曲线的普通方程为22
143x y +
=． -------------------------------4分 Ⅱ ∵1(1,0)F -,2(1,0)F
，∴点到直线的距离1d ---6分
点到直线的距离2d -------------------------8分
∴12d d += --------------------------10分 24解：Ⅰ{}
24A a a =≤≤-------------------------------------5分
Ⅱ()
4t ∈----------------------------------------10分
3
21332)111(32]
)
1(1
323211[32])
1(32[)3132()2132(->++-=+--=+++⨯+⨯-=+-++⨯-+⨯-
>n n n n n n n n n n。