山西省大同市2021届新高考数学四模试卷含解析

山西省大同市2021届新高考数学四模试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2
2a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭
（ ）
A ．1
B ．
C D 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形的面积公式以及余弦定理进行化简求出C 的值，然后利用两角和差的正弦公式进行求解即可． 【详解】
解：由()2
2a b c =+-，
得222
1sin 22ab C a b c ab =+-+，
∵ 2222cos a b c ab C +-=，
∴ sin 2cos 2C ab C ab =+，
cos 1C C -=
即2sin 16C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
则1sin 62C π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
∵ 0C π<<， ∴ 56
6
6
C π
π
π
-
<-
<
， ∴ 6
6
C π
π
-
=
，即3
C π
=
，
则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1222+ 故选D ． 【点睛】
本题主要考查解三角形的应用，结合三角形的面积公式以及余弦定理求出C 的值以及利用两角和差的正弦公式进行计算是解决本题的关键．
2．在ABC ∆中，“tan tan 1B C >”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
分析：从两个方向去判断，先看tan tan 1A B >能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出tan tan 1A B >成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.
详解：由题意可得，在ABC ∆中，因为tan tan 1A B >， 所以
sin sin 1cos cos A B
A B
>，因为0,0A B ππ<<<<，
所以sin sin 0A B >，cos cos 0A B >，
结合三角形内角的条件，故A,B 同为锐角，因为sin sin cos cos A B A B >， 所以cos cos sin sin 0A B A B -<，即cos()0A B +<，所以2
A B π
π<+<，
因此02
C <<
π
，所以ABC ∆是锐角三角形，不是钝角三角形，
所以充分性不满足，
反之，若ABC ∆是钝角三角形，也推不出“tan tan 1B C >，故必要性不成立， 所以为既不充分也不必要条件，故选D.
点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征. 3．已知复数1z i =-，z 为z 的共轭复数，则1z
z
+=（ ） A ．
32
i
+ B ．
12i
+ C ．
132
i
- D ．
132
i
+ 【答案】C 【解析】 【分析】
求出z ，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数. 【详解】
121312
z i i
z i +--==+. 故选：C 【点睛】
本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.
4．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足
MA MO
=，则·OM ON u u u u r u u u r
的
取值范围是（ ） A ．[]0,2
B
．0,⎡⎣ C ．[]22-,
D
．-⎡⎣
【答案】D 【解析】 【分析】
设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22
(2)8x y +-=，
写出点M
的参数方程，则·os OM ON θ=u u u u r u u u r ，根据余弦函数自身的范围，可求得·
OM ON u u u u r u u u r
结果. 【详解】 设(,)M x y ，则
∵
MA MO
=，()0,2A -
=
∴2222(2)2()x y x y ++=+
∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程
∴点M
的参数方程为2x y θθ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）
则由向量的坐标表达式有：
·os OM ON θ=u u u u r u u u r
又∵cos [1,1]θ∈-
∴·[OM ON θ=∈-u u u u r u u u r
故选：D 【点睛】
考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法
5．已知实数x ，y 满足约束条件220
2202x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则22
x y +的取值范围是（ ）
A ．25,22⎡⎤
⎢
⎥⎣ B ．4,85
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．2,85
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]1,8
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求得2
2x y +的取值范围.
【详解】
由约束条件作出可行域是由(2,0)A ，(0,1)B ，(2,2)C 三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而2
2x
y +可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到AB 所在的直线220x y +-=的距离是
可行域内的点到原点距离的最小值，此时2
2
2
2
45
OA OB x y OD AB ⋅⎛⎫+===
⎪⎝⎭，点C 到原点的距离是可行
域内的点到原点距离的最大值，此时2
2
2
2
228x y +=+=.所以22
x y +的取值范围是4,85⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
.
故选：B 【点睛】
本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识. 6．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23
-
B ．
23
C ．3
D ．-3
【答案】B 【解析】 【分析】
把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】
因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得23
m =. 【点睛】
本题考查复数的概念，考查运算求解能力.
7．已知定义在R 上函数()f x 的图象关于原点对称，且()()120f x f x ++-=，若()11f =，则
()1(2)(3)(2020)f f f f ++++=L （ ）
A ．0
B ．1
C ．673
D ．674
【答案】B 【解析】 【分析】
由题知()f x 为奇函数，且()()120f x f x ++-=可得函数()f x 的周期为3，分别求出
()00f ，=()11f =，()21f =-，知函数在一个周期内的和是0，利用函数周期性对所求式子进行化简可得.
【详解】
因为()f x 为奇函数，故()00f =；
因为()()120f x f x ++-=，故()()()122f x f x f x +=--=-， 可知函数()f x 的周期为3；
在()()120f x f x ++-=中，令1x =，故()()211f f =-=-， 故函数()f x 在一个周期内的函数值和为0， 故(1)(2)(3)(2020)(1)1f f f f f ++++==L . 故选：B. 【点睛】
本题考查函数奇偶性与周期性综合问题. 其解题思路：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
8．已知函数()32,0log ,0
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩
，则
=3f f ⎛⎫⎛ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（ ） A
．
2
B ．
12
C ．3log 2-
D ．3log 2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分段函数解析式，先求得3f ⎛ ⎝⎭
的值，再求得f f ⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的值.
【详解】
依题意1
2
331log log 3332f -⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭
，1
212322f f f -⎛
⎫⎛⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 故选：A 【点睛】
本小题主要考查根据分段函数解析式求函数值，属于基础题.
9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A ．10 B ．9
C ．8
D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案.
【详解】
3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.
故选：B . 【点睛】
本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力. 10．集合{}|212P x N x =∈-<-<的子集的个数是（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．8
【答案】D 【解析】 【分析】
先确定集合P 中元素的个数，再得子集个数． 【详解】
由题意{|13}{0,1,2}P x N x =∈-<<=，有三个元素，其子集有8个． 故选：D ． 【点睛】
本题考查子集的个数问题，含有n 个元素的集合其子集有2n 个，其中真子集有21n -个．
11．已知()f x 是定义在[]2,2-上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，则()()20f f -+=（ ） A ．3- B ．2
C ．3
D ．2-
【答案】A 【解析】
【分析】
由奇函数定义求出(0)f 和(2)f -． 【详解】
因为()f x 是定义在[]22-,
上的奇函数，(0)0f ∴=.又当(]
0,2x ∈时，()()()2()21,22213x f x f f =-∴-=-=--=-，()()203f f ∴-+=-.
故选：A ． 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
12．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足
PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A
1 B
1
C
D
【答案】B 【解析】 【分析】
设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】
设(),P x y ，因为A 是抛物线2
4x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，
所以()()0,1,0,1A F -， 则
PA m PF
=
=
=
=
当0y =时，1m =，
当0y >
时，
m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P
±，
2PA PF ==，
Q 点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，
∴
由椭圆的定义得2222a PA PF =+=+，
所以椭圆的离心率2212222
c c e a a ====-+，故选B. 【点睛】
本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数,x y 满足202201x y x y y ++≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，则3z x y =+的最小值是______________.
【答案】8- 【解析】 【分析】
先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解. 【详解】
画出不等式组20
2201x y x y y ++≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
表示的可行域如图阴影区域所示.
由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z 的直线系， 平移直线30x y +=，
易知当直线3z x y =+经过点(3,1)M -时，直线的纵截距最小，目标函数3z x y =+取得最小值，且
min 3(3)18z =⨯-+=-.
故答案为：-8
【点睛】
本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.
14．设1F 、2F 分别为椭圆F ：22
143
x y +=的左、右两个焦点，过1F 作斜率为1的直线，交Γ于A 、B 两
点，则22||||AF BF +=________ 【答案】
32
7
【解析】 【分析】
由椭圆的标准方程，求出焦点1F 的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，利用定义可得
22||||4AF BF AB a ++=，进而求出22||||AF BF +。

【详解】
由22143x y +=知，焦点1(1,0)F -，所以直线l ：1y x =+，代入22
143
x y +=得
2234(1)12x x ++=，即27880x x +-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，
1287x x ∴+=- ，故1218242()4()277
AB a e x x =++=+⨯-=
由定义有，22||||4AF BF AB a ++=， 所以222432
||||4277
AF BF +=⨯-=。

【点睛】
本题主要考查椭圆的定义、椭圆的简单几何性质、以及直线与椭圆位置关系中弦长的求法，注意直线过焦点，位置特殊，采取合适的弦长公式，简化运算。

15．已知三棱锥P ABC -，PA PB PC ==，ABC V 是边长为4的正三角形，D ，E 分别是PA 、AB 的中点，F 为棱BC 上一动点（点C 除外），2
CDE π
∠=
，若异面直线AC 与DF 所成的角为θ，且
7
cos 10
θ=
，则CF =______. 【答案】52
【解析】 【分析】
取AC 的中点G ，连接GP ，GB ，取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，DF ，直线AC 与DF 所成的角为MDF ∠，计算2222MF a a =-+，22410DF a a =-+，根据余弦定理计算得到答案。

【详解】
取AC 的中点G ，连接GP ，GB ，依题意可得AC GP ⊥，AC GB ⊥， 所以AC ⊥平面GPB ，所以AC PB ⊥，
因为D ，E 分别PA 、AB 的中点，所以//DE BP ，因为2
CDE π
∠=，所以PB CD ⊥，
所以BP ⊥平面PAC ，故BP AP ⊥，故22PA PB PC ===， 故,,PA PB PC 两两垂直。

取PC 的中点M ，连接DM ，MF ，DF ，因为//DM AC ， 所以直线AC 与DF 所成的角为MDF ∠，
设()04CF a a =<≤，则222
22cos
224
MF MC CF MC CF a a π
=+-⋅=-+，
222222
28222410DF DP PF a a a a =+=++-⨯⨯
=-+， 所以227cos 10
4410
2410
a a a a θ=
=
=
-+-+， 化简得()()641250a a +-=，解得52a =
，即52
CF =. 故答案为：
5
2
. 【点睛】
本题考查了根据异面直线夹角求长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 16．若复数Z 满足1
(12)(2)2
i Z i -=-+，其中i 为虚数单位，则Z 的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____． 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z 得答案． 【详解】
()()1112i z 2i 1i 22
-=-+=--Q ，()()()
11
1i 12i 1i 122z i 12i 12i 12i 2⎛⎫--+-- ⎪⎝⎭∴===---+， 则1z i 2=
，z ∴的共轭复数在复平面内对应点的坐标为10,2⎛⎫
⎪⎝⎭， 故答案为10,.2⎛⎫ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，且曲线C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 上的定点P 在曲线C 外且其到C
-，试求点P 的坐标. 【答案】（1）l 的普通方程为10x y -+=．C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)2x y -+-= （2）（-1，0）或（2，3） 【解析】 【分析】
（1）对直线l
的参数方程1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消参数t 即可求得直线l
的普通方程，对4πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭整
理并两边乘以ρ，结合cos x ρθ=，sin y ρθ=即可求得曲线C 的直角坐标方程。

（2）由（1）得：曲线C 是以Q （1,1
P 的坐标为(),1x x +
，由题可得：
PQ =
【详解】
解：（1
）由1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
消去参数t ，得1y x =+．
即直线l 的普通方程为10x y -+=．
因为2),(cos sin )2(cos sin )4
2
π
ρθρθθρθθ=-
∴=+⋅
=+ 又cos x ρθ=，sin y ρθ=
∴曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-=
（2）由22
(1)(1)2x y -+-=知，曲线C 是以Q （1,1
为半径的圆
设点P 的坐标为(),1x x +，则点P 到C 上的点的最短距离为|PQ|
-
即
PQ ==，整理得220x x --=，解得121,2x x =-=
所以点P 的坐标为（-1，0）或（2，3） 【点睛】
本题主要考查了参数方程化为普通方程及极坐标方程化为直角坐标方程，还考查了转化思想及两点距离公式，考查了方程思想及计算能力，属于中档题。

18．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且向量(2,)m a c b =-u r 与向量(cos ,cos )n C B =r
共
线.
（1）求B ；
（
2）若b =3a =，且2AD DC =uuu r uuu r
，求BD 的长度.
【答案】（1）3
B π
=
（2）BD =【解析】 【分析】
（1）根据共线得到(2)cos cos a c B b C -=，利用正弦定理化简得到答案. （2）根据余弦定理得到9c
=，cos C =，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】
（1）∵(2,)m a c b =-u r 与(cos ,cos )n C B =r
共线，∴(2)cos cos a c B b C -=.
即(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，∴2sin cos sin()sin A B B C A =+=
即sin (2cos 1)0A B -=，∵sin 0A ≠，∴1
cos 2
B =，∵(0,)B π∈，∴3B π=.
（2）b =3a =，3
B π
=
，在ABC V 中，由余弦定理得：
22229631
cos 2232
a c
b
c B ac c +-+-===⨯⨯，∴23540c c --=.
则9c =或6c =-（舍去）.
∴222cos
2a b c C ab +-===2AD DC =uuu r uuu r ∴1
3DC b ==在BDC V 中，由余弦定理得：
2222cos 972319
BD CB DC CB DC C =+-⋅=+-⨯=，
∴BD =【点睛】
本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力. 19．在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知3cos 24
C =-. （1）求sin C 的值；
（2）当2c a =，且b =ABC V 的面积.
【答案】（1）4；（2）
4
【解析】 【分析】
（1）利用二倍角公式2cos 212sin C C =-求解即可，注意隐含条件sin 0C >.
（2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得sin ,cos ,cos A A C 的值，又由
()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+求出sin B 的值，最后由正弦定理求出a 的值，根据三角
形的面积公式即可计算得出. 【详解】
（1）由已知可得2
cos 212s 3
4
in C C =-=-， 所以2
7sin 8
C =
， 因为在锐角ABC V 中，sin 0C >，
所以sin C =
（2）因为2c a =，
所以1sin sin 28
A C =
=
， 因为ABC V 是锐角三角形，
所以cos ,cos 48
C A =
=
， 所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+
8484=
+=
.
sin a
A
=
，所以a =
所以11sin 2244
ABC S ab C ===
V 【点睛】
此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.
20．已知点()0,2B -和椭圆22
:142
x y M +=.直线:1l y kx =+与椭圆M 交于不同的两点P ，Q .
（1）当1
2
k =
时，求PBQ △的面积； （2）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值.
【答案】（1）4PBQ S =V ；（2）14
k =-或14
k =
【解析】 【分析】
（1）联立直线l 的方程和椭圆方程，求得交点的横坐标，由此求得三角形PBQ 的面积.
（2）法一：根据,P B 的坐标求得C 的坐标，将,P C 的坐标都代入椭圆方程，化简后求得P 的坐标，进而求得k 的值.
法二：设出直线PB 的方程，联立直线PB 的方程和椭圆的方程，化简后写出根与系数关系，结合311
2
x x =求得P 点的坐标，进而求得k 的值. 【详解】
（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，
若12k =
，则直线l 的方程为1
12
y x =+， 由22142112x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，得23440+-=x x ， 解得12x =-，22
3
x =
， 设直线l 与y 轴交于点()0,1A ，则3AB =且
()12112324223PBQ S AB x x ⎛⎫
=
⨯+=⨯⨯+= ⎪⎝⎭
V . （2）法一：设点()33,C x y
因为()11,P x y ，()0,2B -，所以13132
22x x y y ⎧
=⎪⎪⎨
-+⎪=⎪⎩
又点()11,P x y ，()33,C x y 都在椭圆上，
所以22
1122
1114222214
2x y x y ⎧+
=⎪⎪⎪
⎨-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪+=⎪⎩
解得11212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或11212x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
所以k =
或k =
. 法二：设()33,C x y
显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为12y k x =-
由22
11422
x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
，得()22
1121840k x k x +-+=
所以()
21
1
132
1132
116210
821421k k x x k x x k ⎧
⎪∆=->⎪⎪+=⎨+⎪
⎪=⎪+⎩
又3112
x x =
解得1
12
14x k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或11214x k ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
所以11212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
或11212x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
所以k =
k =. 【点睛】
本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知数列{}n a 满足对任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，其前n 项和为n S ，且7349,S a ＝是1a 与13a 的等比中项，12a a ＜．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）已知数列{}n b 满足1
2n a n b +=，n n n c a b ＝，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求
920
65
n T n --大于1000的最
小的正整数n 的值．
【答案】（1）21n a n =-（2）4 【解析】 【分析】
（1）利用122n n n a a a +++＝判断{}n a 是等差数列，利用749,S ＝求出47a ＝，利用等比中项建立方程，求出公差可得.
（2）利用{}n a 的通项公式n a ,求出()22
4,214n
n n n n b c n ===-g ，用错位相减法求出
1
2065499
n n n T +-=
+⨯，最后建立不等式求出最小的正整数. 【详解】
解：()1Q 任意*n N ∈都有122n n n a a a +++＝，
∴数列{}n a 是等差数列，
74449,749,7S a a ∴∴Q ＝＝＝，
又3a Q 是1a 与13a 的等比中项，12a a <，设数列{}n a 的公差为d ，且0d >， 则()()()2
77379d d d -=-+，解得2d ＝，
1731a d ∴-＝＝，
()12121n a n n ∴=+-=-；
()2由题意可知 ()224,214n n n n n b c n ===-g ，
()121434?··214n n T n ∴=⨯+⨯++-⨯①， ()23141434?··214n n T n +=⨯+⨯++-⨯②，
①﹣②得：()2
3
1
342424?·
·24214n
n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯，
1
2065499
n n n T +-∴=
+⨯， 122920
4265
n n n T n ++-∴
==-，
由
920
65
n T n --1000＞得，2221000n +>，
2210n ∴+≥，
4n ∴≥，
∴满足条件的最小的正整数n 的值为4．
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式及错位相减法求和. (1)解决等差数列通项的思路(1)在等差数列{}n a 中，1a d 、是最基本的两个量，一般可设出1a 和d ，利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列方程(组)求解即可. (2)错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列
{}n n a b g 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解;
在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式 22．已知函数()3
2
f x ax bx =+，当1x =时，有极大值3；
（1）求a ，b 的值；
（2）求函数()f x 的极小值及单调区间. 【答案】（1）6,9a b =-=；
（2）极小值为0，递减区间为：()(),0,1,-∞+∞，递增区间为()0,1. 【解析】 【分析】
（1）由题意得到关于实数,a b 的方程组，求解方程组，即可求得,a b 的值；
（2）结合（1）中,a b 的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值. 【详解】
（1）由题意，函数()3
2
f x ax bx =+，则()2
32f x ax bx '=+，
由当1x =时，有极大值3，则(1)320(1)3f a b f a b =+=⎧⎨=+='⎩
，解得6,9a b =-=.
（2）由（1）可得函数的解析式为()3
2
69f x x x =-+，
则()2
181818(1)f x x x x x '=-+=--，
令()0f x '>，即18(1)0x x -->，解得01x <<， 令()0f x '<，即18(1)0x x --<，解得0x <或1x >， 所以函数的单调减区间为(,0),(1,)-∞+∞，递增区间为(0,1)，
当0x =时，函数取得极小值，极小值为(0)0f =.当1x =时，有极大值3. 【点睛】
本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23．设函数())
ln 1f x x a
=-.
（1）若函数()y f x =在()1,+∞是单调递减的函数，求实数a 的取值范围；
（2）若0n m >>，证明：2ln ln n m +<. 【答案】（1）2a ≥（2）证明见解析 【解析】 【分析】
（1）求出导函数()f x '
，由()0f x '≤在()1,+∞上恒成立，采用分离参数法求解；
（2）观察函数()f x ，不等式凑配后知，利用2a =时()1n f f m ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
可证结论． 【详解】
（1）因为()y f x =在()1,+∞上单调递减， 所以()10
f x x '=
≤，即a ≥在()1,+∞上恒成立 因为y
=
在()1,+∞()0,2，所以2a ≥ （2）因为0n m >>，所以
1n
m
> 由（1）知，当2a =时，()y f x =在()1,+∞上单调递减
所以()1n f f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭
即ln 210n
m ⎫-<⎪⎪⎭
所以2ln ln n m +<. 【点睛】
本题考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式．解题关键是把不等式与函数的结论联系起来，利用函数的特例得出不等式的证明．。