2020年江西省宜春市上高中学高一数学文上学期期末试题含解析

2020年江西省宜春市上高中学高一数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列说法错误的是
A. 在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体
B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D. 一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
参考答案：
B
2. 函数的最小正周期是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
3. 同时具有性质“①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数”的一个函数是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
4. 2log510+log50.25=（）
A．0 B．1 C．2 D．4参考答案：
C
5. 设,则的值是（）
A、B、C、 D、
参考答案：
B
6. 不等式对恒成立，则的取值范围
是（▲）
A B C
D
参考答案：
C
略
7. 一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是（）
A．40 B． C． D．30
参考答案：
B
略
8. 已知三角形的三点顶点的及平面内一点满足
,则与的面积比为（）
A． B.
C． D．
参考答案：
D
略
9. （5分）已知函数f（x）=xα的图象经过点，则f（4）的值等于（）
A．B．C． 2 D．16
参考答案：
B
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
专题：计算题．
分析：由题意可得2α=，求出α=﹣，由此求出f（4）=运算求得结果．
解答：函数f（x）=xα 的图象经过点，
故有 2α=，∴α=﹣．
∴f（4）===，
故选B．
点评：本题主要考查幂函数的定义，求出α=﹣，是解题的关键，属于基础题．
10. 在△ABC中，，如果不等式恒成立，则实数t的取值范围是 ( ) A． B． C． D．
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知数列中，，，
则数列的第n项=_____．
参考答案：
略
12. 袋子里有2颗白球，3颗黑球，由甲、乙两人依次各抽取一个球，抽取后不放回．若每颗球被抽到的机会均等，则甲、乙两人所得之球颜色互异的概率是_________．
参考答案：
略
13. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(2b－c)cos A＝a cos C，则A的度数为．
参考答案：
60°
略
14. 等差数列8，5，2，…的第20项为___________.
参考答案：
-49
略
15. 直线的倾斜角为
．
参考答案：
16. 数列满足，则。

参考答案：
161
17. 若数列{a n }满足a n+1=则a 20的值是
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．
（1）求∠B 的大小；
（2）求cosA+cosC 的最大值．
参考答案：
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）由余弦定理求出cosB=，由此能求出∠B的值．
（2）推导出，从而==，由此能求出cosA+cosC 的最大值．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．
∴，
∴由余弦定理得：，
∵0＜B＜π，∴．（2）∵A+B+C=π，，
∴，
∴
=
==，
∵，
∴，
∴，
∴最大值为1，
∴cosA+cosC 的最大值为1．
19. （14分）已知数列中，，．且等比数列满足：。

(Ⅰ) 求实数及数列、的通项公式；
(Ⅱ) 若为的前项和，求；
(Ⅲ) 令数列｛｝前项和为．求证：对任意，都有＜3.
参考答案：
解 (Ⅰ)当时，，
，即，故
时……………1分
有，而
……………………2分
，从而
……………………4分
(Ⅱ)
记
则
相减得：…………7分
……………9分
(Ⅲ)
……11分
时，
……………………13分
而
…………（14分）
略
20. (本小题满分14分)
（2015湖南卷）已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，与的公共弦长为，过点F的直线与相交于两点，与相交于两点，且
与同向.
（I）求的方程；
（II）若，求直线的斜率.
参考答案：
（I）；(II) .
（I）由知其焦点F的坐标为，因为F也是椭圆的一个焦点，所以
①；又与的公共弦长为，与都关于轴对称，且的方程为
，由此易知与的公共点的坐标为，②，
联立①②得，故的方程为--------------------------------6分（II）如图，设
因与同向，且，
所以，从而，即，于是
③
设直线的斜率为，则的方程为，
由得，由是这个方程的两根，④
由得，而是这个方程的两根，---------8分
，⑤-------------------10分
将④、⑤代入③，得。

即--------12分
所以，解得，即直线的斜率为-------------------------14分【考点】直线与圆锥曲线的位置关系；抛物线的几何性质，椭圆的标准方程和几何性质性质.
21. （8分）已知直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0．
（1）判断直线l1与l2是否能平行；
（2）当l1⊥l2时，求a的值．
参考答案：
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．
分析：（1）把直线方程分别化为斜截式，利用斜率相等截距不相等即可得出；
（2）利用两条直线垂直的充要条件即可得出．
解答：解：（1）直线l1：ax+2y+6=0化为y=﹣﹣3，
直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0化为y=．
若直线l1：ax+2y+6=0和直线l2：x+（a﹣1）y+a2﹣1=0平行，则．
解得a=﹣1．
只有当a=﹣1时，直线l1与l2能平行．
（2）当l1⊥l2时，
由（1）可得=﹣1，解得a=．
点评：本题考查了斜率相等截距不相等证明两条直线平行、两条直线垂直的条件，属于基础题．22. 已知函数.（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数在上是增函数，求的取值范围；
（3）当时，若函数在上的最大值为3，最小值为2，求的取值范围.
参考答案：
解：（1），的对称轴为，.
所以不等式即为，所以其解集为.
（2）函数在上是增函数，所以函数的对称轴在直线的左侧或与重合，即，.
（3）当时，.其对称轴为，.
又，。