九年级数学下册 专题十四 反比例函数与不等式同步测试 试题

反比例函数与不等式
一 比拟反比例函数值的大小
教材P9习题26.1第9题)
反比例函数y ＝
w －2
x
的图象的一支位于第一象限． (1)图象的另一支位于哪个象限？常数w 的取值范围是什么？
(2)在这个函数图象上任取点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，假如y 1>y 2，那么x 1与x 2有怎样的大小关系？ 解：(1)三；w > 2
(2)当y 1，y 2在同一象限时，x 1<x 2；当y 1，y 2在不同象限时，x 1>x 2.
【思想方法】 (1)利用函数的增减性可以比拟反比例函数值的大小，也可以利用函数的图象比拟大小。

(2)根据函数的增减性可以确定反比例系数。

反比例函数y ＝2
x
图象上有两个点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且x 1<x 2，那么下式关系
成立的是( D )
A ．y 1>y 2 B. y 1<y 2 C. y 1＝y 2 D ．不能确定 【解析】 反比例函数y ＝2
x
中，k ＝2＞0，
①两点在同一象限内，y 1＞y 2； ②A ，B 两点不在同一象限内，y 1＜y 2.
A (－1，y 1)，
B (2，y 2)两点在双曲线y ＝3＋2m
x
上，且y 1＞y 2，那么m 的取值范围
是( D ) A ．m ＜0 B ．m ＞0 C ．m ＞－32 D ．m ＜－3
2
二 利用图象解不等式
(教材P9习题26.1第5题)
正比例函数y ＝x 的图象与反比例函数y ＝k x
的图象有一个交点的纵坐标是2. (1)当x ＝－3时，求反比例函数y ＝k x
的值；
(2)当－3<x <－1时，求反比例函数y ＝k x
的取值范围．
解：(1)由于正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝k x
有一个交点的纵坐标是2. 将y ＝2代入y ＝x ，那么x ＝2，即该交点坐标为(2，2)， 将k ＝2×2＝4，反比例函数为y ＝4
x
.
当x ＝－3时，y ＝－4
3
；
(2)∵y ＝4x 故当－3<x <－1时 －4<y <－4
3.
【思想方法】 通过
图1
画反比例函数图象，利用图象法解不等式或者函数值的范围确定自变量的范围或者一次函数与反比例函数的大小关系，确定自变量的范围。

如图1，正比例函数y 1＝k 1x 和反比例函数
y 2＝k 2
x
的图象交于A (－1，2)，B (1，－2)两点，假设y 1<y 2，那么x 的取值范围是( D )
A ．x <－1或者x >1
B ．x <－1或者0<x <1
C ．－1<x <0或者0<x <1
D ．－1<x <0或者x >1
图2
一次函数y 1＝kx ＋b (k ≠0)与反比例函数y 2＝m x
(m ≠0)，在同一直角坐标系中的图象如下图，假设y 1>y 2，那么x 的取值范围是( A ) A ．－2<x <0或者x >1 B ．x <－2或者0<x <1 C ．x >1 D ．－2<x <1
如图3，直线y ＝k 1x ＋b 与双曲线y ＝k 2x
交于A 、B 两点，它们的横坐标分别为1和5，那么不等式k 1x ＜k 2x
＋b 的解集是__－5<x <－1或者x >0__．
图3
【解析】 由k 1x ＜k 2x ＋b ，得k 1x －b ＜k 2x
，
所以，不等式的解集可由双曲线图象不动，直线向下平移2b 个单位得到，直线向下平移2b 个单位的图象如下图，交点A ′的横坐标为－1，交点B ′的横坐标为－5， 当－5＜x ＜－1或者x ＞0时，双曲线图象在直线图象上方， 所以，不等式k 1x ＜k 2x
＋b 的解集是－5＜x ＜－1或者x ＞0.
如图4，正比例函数y ＝kx (x ≥0)与反比例函数y ＝m x
(x >0)的图象交于点A (2，3)．
图4
(1)求k 、m 的值；
(2)写出正比例函数值大于反比例函数值时自变量x 的取值范围。

解：(1)将A (2，3)分别代入y ＝kx 和y ＝m x 中可得：3＝2k 和3＝m
2
解方程得：k ＝3
2
，m ＝6.
(2)由图象可知，正比例函数值大于反比例函数值时：x >2.
图5
如图5，一次函数y 1＝kx ＋b 的图象与反比例函数y 2＝m
x
的图象相交于点A (2，3)和点B ，与x 轴相交于点C (8，0) (1)求这两个函数的解析式； (2)当x 取何值时，y 1>y 2.
解：(1)把A (2，3)代入y 2＝m x
得m ＝6，
把A (2，3)、C (8，0)代入y 1＝kx ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k ＋b 0＝8k ＋b 解得⎩
⎪⎨⎪⎧k
b ＝4 ∴这两个函数的解析式是y 1x ＋4，y 2＝6
x
(2)解⎩⎪⎨⎪⎧yx ＋4y ＝6x
，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝6y 1＝1 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2
y 2＝3
∴当x <0或者2<x <6时，y 1>y 2.
图6
如图6，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与坐标轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数
y ＝m
x
的图象在第二象限的交点为C ，CD ⊥x 轴，垂足为D ，假设OB ＝2，OD ＝4，△AOB 的
面积为1.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出当x ＜0时，kx ＋b －m
x
＞0的解集．
解：(1)∵OB ＝2，△AOB 的面积为1
∴B (－2，0)，OA ＝1， ∴A (0，－1)
∴⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝－1－2k ＋b ＝0 ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－
12b ＝－1 ∴y ＝－1
2
x －1
又∵OD ＝4，OD ⊥x 轴， ∴C (－4，y )，
将x ＝－4代入y ＝－1
2x －1得y ＝1，
∴C (－4，1) ∴1＝m
－4，
∴m ＝－4， ∴y ＝－4
x
.
(2)当x ＜0时，kx ＋b －π
x
＞0的解集是x ＜－4.
如图7，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y 1＝k 1x ＋1的图象与y 轴交于点
A ，与x 轴交于点
B ，与反比例函数y 2＝k 2
x
的图象分别交于点M 、N ，△AOB 的面积为1，
点M 的纵坐标为2.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围．
图7
解：(1)当x ＝0时，y 1＝1，那么A (0，1)．
由△AOB 的面积为1，可知1
2OA ·OB ＝1，OB ＝2，那么B (2，0)
将B (2，0)代入y 1＝k 1x ＋1，得2k 1＋1＝0即k 1＝－1
2
所以一次函数的解析式为y 1＝－1
2
x ＋1
又M 点的纵坐标为2，那么－1
2x ＋1＝2，所以x ＝－2
那么M (－2，2)，所以k 2＝－2×2＝－4 所以反比例函数的解析式为y 2＝－4
x
.
(2)x ＜－2或者0＜x ＜4.
图8
一次函数y 1＝x ＋m 的图象与反比例函数y 2＝6
x
的图象交于A 、B 两点．当x >1时，
y 1>y 2；当0<x <1时，y 1<y 2.
(1)求一次函数的解析式；
(2)反比例函数在第一象限上有一点C 到y 轴的间隔 为3，求△ABC 的面积． 解：(1)由题意可知点A 的横坐标为1，当x ＝1时，y 2＝6
1＝6，
∴A (1，6)
∵直线y 1＝x ＋m 过点A ， ∴6＝1＋m ，解得m ＝5， ∴一次函数的解析式为y ＝x ＋5.
(2)当x ＝3时，y 2＝6
3
＝2，故C (3，2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋5y ＝6x
解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝6，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－6y 2
＝－1，故B (－6，－1)
如图，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .设直线BC 的解析式为y ＝kx
＋b ，那么由⎩⎪⎨⎪⎧－6k ＋b ＝－13k ＋b ＝2解得⎩⎪
⎨⎪⎧k ＝1
3b ＝1
，所以直线BC 的解析式为y ＝1
3x ＋1，那么直线BC
交x 轴于点G (－3，0)．
∵直线y ＝x ＋5交x 轴于点D (－5，0)， ∴DG ＝2，CF ＝2，DE ＝AE ＝GF ＝6. ∴S △ABC ＝S △BDG ＋S △ADE ＋S 梯形AEFC －S △CGF
＝12×2×1＋12×6×6＋12×(2＋6)×2－1
2×6×2 ＝1＋18＋8－6 ＝21.
创 作人：
历恰面 日 期： 2020年1月1日。