2020届全国名校学术联盟新高考原创仿真试卷(五)文科数学

2020届全国名校学术联盟新高考原创仿真试卷（五）
文科数学
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知复数是纯虚数，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数除法运算化简，根据纯虚数定义求得.
【详解】是纯虚数
，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查纯虚数的定义，关键是利用复数的除法运算进行化简，属于基础题.
2.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求解出集合和集合，利用交集定义求解得到结果.
【详解】，
本题正确选项：
【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.
3.如图，正方形的边长为，以为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将阴影部分拆分成两个小弓形，从而可求解出阴影部分面积，根据几何概型求得所求概率. 【详解】如图所示：
阴影部分可拆分为两个小弓形
则阴影部分面积：
正方形面积：
所求概率
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用几何概型求解概率问题，属于基础题.
4.已知双曲线的右顶点和右焦点到一条渐近线的距离之比为，则的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线方程得渐近线方程和坐标，利用点到直线距离公式和距离之比求得，利用
的关系求得，从而求得渐近线方程.
【详解】由双曲线方程可得渐近线为：，，
则点到渐近线距离：
点到渐近线距离：
，即：
则
双曲线渐近线方程为：
本题正确选项：
【点睛】本题考查双曲线性质的应用，涉及到点到直线距离公式，属于基础题.
5.已知等差数列的前项和为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将已知条件化为的形式，可得到；根据中项的性质可得，代入求得结果. 【详解】设等差数列公差为
由得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是能够将已知条件转变为首项和公差的关系，进而求得数列中的项.
6.已知不等式组表示的平面区域为，若对任意的，不等式
恒成立，则实数的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知不等式组画出可行域，可通过直线平移求得直线的纵截距最大时，最小，代入点坐标求得，则.
【详解】由已知不等式组对应的可行域如图中阴影部分所示：
可求得，，
当直线经过点时，直线的纵截距最大，最小
本题正确选项：
【点睛】本题考查线性规划求解的最值的问题，属于基础题.
7.已知函数（且），则（）
A. 图像关于原点对称
B. 图像关于轴对称
C. 在上单调递增
D. 在上单调递减
【答案】C
【解析】
【分析】
通过奇偶性判断可知函数为非奇非偶函数，可排除；根据复合函数单调性和单调性的性质可证得函数为增函数，由此可得正确选项.
【详解】，，可知为非奇非偶函数，故排除故
当时，在上单调递增，在上单调递增，且在上单调递
增在上单调递增
当时，在上单调递减，在上单调递减，且在上单
调递增在上单调递增
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，涉及到复合函数单调性的判断，关键是明确复合函数单调性遵循“同增异减”原则.
8.如图1，已知正方体的棱长为，为棱的中点，分别是线段
上的点，若三棱锥的俯视图如图2，则点到平面距离的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
通过俯视图可确定为所在棱中点，由线面关系可确定当与重合时，所求距离最大；由截面图形中的线线关系可知，从而可得结果.
【详解】由俯视图知，为的中点，为的中点，为上任意一点，如下图所示：
由中位线可知：，
平面平面
由正方体中线面关系可知：平面平面
当与重合，点到平面的距离最大
截面如下图所示
其中平面平面，平面平面
则：，又
最大值为
本题正确选项：
【点睛】本题考查立体几何中点到面的距离问题的求解，涉及到三视图、面面平行和线面垂直的知识，关键是能够通过垂直关系确定最大值取得的点.
9.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动，在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字的素数个数大约可以表示为
的结论（素数即质数，）.根据欧拉得出的结论，如下流程图中若输入
的值为，则输出的值应属于区间（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由流程图可知其作用为统计以内素数的个数，将代入可求得近似值，从而得到结果.
【详解】该流程图是统计以内素数的个数
由题可知小于数字的素数个数大约可以表示为
则以内的素数个数为
本题正确选项：
【点睛】本题考查判断新定义运算的问题，关键是能够明确流程图的具体作用.
10.函数在上值域为，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由范围得到，结合余弦函数图象可得
，解不等式求得结果.
【详解】
函数
在
上的值域为
，又
结合余弦函数图象可知：
本题正确选项：
【点睛】本题考查根据余弦型函数在某一区间的值域求解参数范围问题，关键是能够结合余弦函数图象确定角的范围.
11.已知抛物线的
焦点为
为抛物线的准线上一点，线段
分别交轴和抛
物线于点.若
，则直线的斜率为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 根据可求得，代入抛物线方程得；利用
得到所求斜率.
【详解】由
，为抛物线的准线上一点得：
，
又
直线的斜率为
本题正确选项：
【点睛】本题考查抛物线性质的应用问题，关键是能够利用向量关系用表示出点的坐标.
12.已知函数若
，则
的最大值为（ ） A.
B.
C.
D.
【解析】
【分析】
根据在每一段上的单调性可知，利用换元的方式可将问题转化为求解
的最大值的问题，通过导数求解出最大值即可.
【详解】设
当时，，单调递减，不存在，使得
当时，，单调递增，不存在，使得
令，，则，
设，则
令，解得：
当时，；当时，
则在上单调递增，在上单调递减
本题正确选项：
【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够通过换元的方式构造出新的函数，需要注意的是换元后新的自变量的取值范围.
第Ⅱ卷（非选择题90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分.）
13.已知向量的夹角为，且，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用数量积定义求解出，利用求解出结果.
【详解】
【点睛】本题考查向量的模的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转化为模长和夹角的运算问题.
14.若曲线在处的切线与直线垂直，则与轴围成的三角形的面积为__________．
【答案】1
【解析】
【分析】
由导数求解出切线斜率，从而得到方程；利用垂直关系求得方程，求解出两直线与轴交点及两直线的交点坐标，从而可求得面积.
【详解】由，得
切线的斜率
和轴的交点分别为
由得的交点为
所求三角形的面积为
本题正确结果：
【点睛】本题考查导数的几何意义，直线垂直的性质，属于基础题.
15.已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为，则该圆锥外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据轴截面可求得圆锥底面半径和高，根据勾股定理构造出关于外接球半径的方程，解出后代入球的表面积公式可求得结果.
【详解】依题意得，圆锥底面半径，高
设圆锥外接球半径为，则
即，解得：
外接球的表面积为
本题正确结果：
【点睛】本题考查圆锥的外接球表面积求解问题，属于基础题.
16.已知数列的前项和为，且满足，令，若
，则当取最小值时，__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用可推导出，从而可知数列为等比数列，根据可证出是以为公比的正项等比数列，利用等比中项性质结合基本不等式求得的最小值及
，根据等比数列通项公式求得公比，进而求得.
【详解】当时，
当时，，
两式相减得，即
数列是以为首项，公比为的正项等比数列
，
是以为公比的正项等比数列
当且仅当时等号成立的最小值为
此时，
【点睛】本题考查利用递推关系证明数列为等比数列、等比数列通项公式的应用、等比数列性质的应用、基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够证得数列和满足等比数列定义式.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.中，三内角所对的边分别为，边上的高为，已知. （1）求的值；
（2）若，且的面积为，求的周长.
【答案】（1）1；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据正弦定理化简已知边角关系式可求得，再次利用正弦定理得到
，再根据可求得，从而求得结果；（2）利用三角形面积求出和；根据余弦定理构造出关于的方程，求解得到，从而可求周长.
【详解】（1）由及正弦定理得：
即：
由正弦定理得：，又
，即
（2）
由余弦定理得：，得
的周长为
【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形、三角形面积公式应用问题，属于常规题型.
18.如图，在三棱锥中，，，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）分别是棱的中点，为棱上的点，求三棱锥的体积.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用余弦定理求出，根据勾股定理可得，利用线面垂直的判定定理可证得
平面，根据面面垂直的判定定理可得结论；（2）根据平行关系可知，则可得，利用体积桥得，从而可求解出，从而求得结果. 【详解】（1）证明：在中，由余弦定理得：
解得：
又，平面
又平面平面平面
（2）
分别是棱的中点
【点睛】本题考查立体几何中面面垂直关系的证明、三棱锥体积的求解问题.解决本题中三棱锥体积求解的关键是能够根据平行关系得到锥体体积之间的比例关系，从而可将问题转化为易求的三棱锥体积的求解问题.
19.某饮料公司根据市场调查数据分析得到以下结果：如果某款饮料年库存积压率低于千分之一，则该款饮料为畅销产品，可以继续大量生产.如果年库存积压率高于千分之一，则说明需
要调整生产计划.现公司2013-2018年的某款饮料生产，年销售利润及年库存积压相关数据如下表所示：
注：年库存积压率
（1）从公司2013-2018年的相关数据中任意选取年的数据，求该款饮料这年中至少有年畅销的概率.
（2）公司根据上表计算出年销售利润与年生产件数的线性回归方程为.现公司计划2019年生产千万件该款饮料，且预计2019年可获利千万元.但销售部门发现，若用预计的2019年的数据与2013-2018年中畅销年份的数据重新建立回归方程，再通过两个线性回归方程计算出来的2019年年销售利润误差不超过千万元，该款饮料的年库存积压率可低于千分之一.如果你是决策者，你认为2019年的生产和销售计划是否需要调整？请说明理由.
（参考公式：，
，）
第二次建立线性回归方程的参考数据：，
.
【答案】（1）；（2）不需要调整
【解析】
【分析】
（1）计算出每年的年度库存积压率，可知年畅销，年不畅销；列举出所有年份中任取年的取法共种，其中年均为不畅销的取法仅有种，故根据古典概型及对立事件
的概率可求得结果；（2）数据重组后依据公式计算出新的回归直线方程，并求出年的年销售利润预估值；再计算出原回归直线方程的年的年销售利润预估值，可知两值相差
千万元，由此可得结论.
【详解】（1）公司年年度存积压率分别为：
，，，，，
则该饮品在年畅销记为，年不畅销记为
任取年的取法有：
，共种。

其中年均不畅销的取法是共种
该款饮料这年中至少有年畅销的概率为：
（2）由题意得，年数据与，，，年数据重组如下表：
年生产件数
年销售利润（千万元）
经计算得，
，
当时，，此时预估年销售利润为千万元
将代入中得，，此时预估年销售利润为千万元
，故认为年的生产和销售计划不需要调整
【点睛】本题考查列举法解决古典概型问题、线性回归直线的求解及应用问题，对学生的计算能力有一定要求，属于常规题型.
20.已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上位于轴同侧的两点，的周长为，
的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）最大时，为椭圆上下顶点，可知；再根据的周长得到关于的另
一个方程，同时，由此可解出的值，进而得到椭圆方程；（2）根据
知，延长交椭圆于点，由对称性可得：，将
问题转化为求解的取值范围；将直线与椭圆方联立，根据韦达定理表示出两根之和和两根之积，利用弦长公式可将表示为：，利用分离常数的方法求得取值范围.
【详解】（1）的周长为，即……①
当为椭圆的上下顶点时，最大为
此时为等边三角形……②
由①②及得：
椭圆的方程为
（2）
延长交椭圆于点，由（1）知
设
直线的方程为，联立方程，消去并整理得：
由对称性可知
的取值范围是
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆几何性质的应用、直线与椭圆综合应用问题，弦长公式的应用.解决问题的关键是能够利用椭圆的对称性将问题转变成弦长的取值范围的
求解，从而可利用弦长公式将问题变成函数值域的求解问题.
21.已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若函数存在极值，求的取值范围，并比较的大小. 【答案】（1）上单调递减，在上单调递增.；
（2）；当时，，当时，
【解析】
【分析】
（1）求导后，根据的正负即可确定的单调区间；（2）根据（1）的结论，可知，从而可求得，则当时，单调递增，不符合题意；当时，根据零点存在定理可确定存在，使得，由的正负即可确定的单调性，从而可知此时存在极值，得到的范围；构造函数，通过导数易求得，从而根据的取值可得两数的大小关系.
【详解】（1）
当时，；当时，
在上单调递减，在上单调递增
（2）
由（1）知
当且仅当时取等号
当时，；在上单调递增，不符合题意
当时，，又，且
时，
存在，使得
当时，，当时，，当时，
在和上单调递增，在上单调递减
函数存在极值，则，即的取值范围是
比较与的大小，即比较与的大小
设，则
当时，；当时，
即在上单调递减，在上单调递增
，即
当时，；当时，
【点睛】本题考查导数在函数中的应用，重点考查导数、函数单调性、极值三者之间的关系，以及利用三者关系求解参数范围的问题，其中还涉及到零点存在定理的应用.解决本题的关键是能够利用零点存在定理得到导函数的零点所在区间，从而确定导函数的正负，进而得到函数的单调性.
请考生在22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.在极坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的方程为.以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.
（1）求曲线，直角坐标方程；
（2）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于两点，求的值.
【答案】（1）曲线的直角坐标方程为；曲线的直角坐标方程为
；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据，，即可化简两个极坐标方程，从而得到所求直角坐标方程；（2）根据的直角坐标方程可得其参数方程的标准形式，代入的直角坐标方程中，利用的几何意义，将所求问题变为求解，根据韦达定理得到结果.
【详解】（1）由，得
曲线的直角坐标方程为
由，得
曲线的直角坐标方程为：
（2）由（1）知曲线为直线，倾斜角为，点的直角坐标为
直线的参数方程为（为参数）
代入曲线中，并整理得
设对应的参数分别为，则，
【点睛】本题考查极坐标与直角坐标的互化、利用直线参数方程的几何意义求解线段之和或积的问题.解题关键是明确直线参数方程标准形式中所具有的几何意义，从而可利用韦达定理来解决.
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）采用绝对值的零点分段的方式，得在每一段的解析式，进而构造出不等式，求解不等式得到解集；（2）当时，显然成立；当时，采用绝对值的零点分段的方式，得到
的解析式，从而可确定，验证与的值，均大于，故结论可证.
【详解】（1）当时，由得
当时，，解得
当时，，解得
当时，，无实数解
故原不等式的解集为：
（2）当时，
当时，
又，
，即
综上，
【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式、不等式的证明问题，关键是能够采用零点分段的方式，去除绝对值符号，从而得到每一段的解析式.。