江西省数学 中考特训方案 考点精讲 (204)

限时训练13 二次函数的图象与性质
(时间：60分钟)
1．(2019·衢州中考)二次函数y ＝(x －1)2＋3图象的顶点坐标是( A )
A ．(1，3)
B ．(1，－3)
C ．(－1，3)
D ．(－1，－3)
2．(2019·兰州中考)已知点A(1，y 1)，B(2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( A )
A ．2＞y 1＞y 2
B ．2＞y 2＞y 1
C ．y 1＞y 2＞2
D ．y 2＞y 1＞2
3．(2019·荆门中考)抛物线y ＝－x 2＋4x －4与坐标轴的交点个数为( C )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．(2019·绍兴中考)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( B )
A ．向左平移2个单位
B ．向右平移2个单位
C ．向左平移8个单位
D ．向右平移8个单位
5．(2019·甘肃中考)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，对于下列说法：①ac ＞0；②2a ＋b ＞0；③4ac ＜b 2；④a ＋b ＋c ＜0；⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的是( C )
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．③④⑤
,(第5题图)) ,(第6题图))
6．(2019·随州中考)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，OA
＝OC ，对称轴为直线x ＝1，则下列结论：①abc ＜0；②a ＋12b ＋14
c ＞0；③ac ＋b ＋1＝0；④2＋c 是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．其中正确的有( C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7．(2019·青岛中考)已知反比例函数y ＝ab x
的图象如图所示，则二次函数y ＝ax 2－2x 和一次函数y ＝bx ＋a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( C )
8．(2019·徐州中考)已知二次函数的图象经过点P(2，2)，顶点为O(0，0)，将该图象向右平移，当它再次经
过点P 时，所得抛物线的函数表达式为__y ＝12
(x －4)2__. 9．(2019·天门中考)矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是__100__．
10．(2019·赤峰中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，下列结论：①b ＞0；②a －b ＋c ＝0；③一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＋1＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根；④当x ＜－1或x ＞3时，y ＞0.上述结论中正确的是__②③④__．(填上所有正确结论的序号)
,(第10题图)) ,(第11题图))
11．(2019·本溪中考)如图，点P 是以AB 为直径的半圆上的动点，CA ⊥AB ，PD ⊥AC 于点D ，连接AP ，设AP ＝x ，PA －PD ＝y ，则下列函数图象能反映y 与x 之间关系的是( C )
,A ) ,B )
,C ) ,D )
12．(2019·岳阳中考)对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y ＝x 2＋2x ＋c 有两个相异的不动点x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是( B )
A ．c ＜－3
B ．c ＜－2
C ．c ＜14
D ．c ＜1 13．(2019·杭州中考)在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y ＝(x ＋a)(x ＋b)的图象与x 轴有M 个交点，函数y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)的图象与x 轴有N 个交点，则( C )
A ．M ＝N －1或M ＝N ＋1
B ．M ＝N －1或M ＝N ＋2
C ．M ＝N 或M ＝N ＋1
D ．M ＝N 或M ＝N －1
14．(2019·泸州中考)已知二次函数y ＝(x －a －1)(x －a ＋1)－3a ＋7(其中x 是自变量)的图象与x 轴没有公共
点，且当x ＜－1时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是( D )
A ．a ＜2
B ．a ＞－1
C ．－1＜a ≤2
D ．－1≤a ＜2
15．(2019·贵阳中考)在平面直角坐标系内，已知点A(－1，0)，点B(1，1)都在直线y ＝12x ＋12上，若抛物线y ＝ax 2－x ＋1(a ≠0)与线段AB 有两个不同的交点，则a 的取值范围是( C )
A ．a ≤－2
B ．a ＜98
C ．1≤a ＜98
或a ≤－2 D ．－2≤a ＜98
16．(2019·安徽中考)在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线l 分别与函数y ＝x －a ＋1和y ＝x 2－2ax 的图象相交于P ，Q 两点．若平移直线l ，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是__a ＞1或a ＜－1__．
17．(2019·镇江中考)已知抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1(a ≠0)过点A(m ，3)，B(n ，3)两点，若线段AB 的长不
大于4，则代数式a 2＋a ＋1的最小值是__74
__．
18．(2019·长春中考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax ＋83
(a ＞0)与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点M.P 为抛物线的顶点．若直线OP 交直线AM 于点B ，且M 为线段AB 的中点，则a 的值为__2__．
19．(2019·荆门中考)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数)的顶点为P ，且抛物线经过点A(－1，0)，B(m ，0)，C(－2，n)(1＜m ＜3，n ＜0)，下列结论：①abc ＞0；②3a ＋c ＜0；③a(m －1)＋2b ＞0；④a ＝－1时，存在点P 使△PAB 为直角三角形．其中正确结论的序号为__②③__．
20．(2019·衡阳中考)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝x 2的图象如图所示．已知A 点坐标为(1，1)，过点A 作AA 1∥x 轴交抛物线于点A 1，过点A 1作A 1A 2∥OA 交抛物线于点A 2，过点A 2作A 2A 3∥x 轴交抛物线于点A 3，过点A 3作A 3A 4∥OA 交抛物线于点A 4……依次进行下去，则点A 2 019的坐标为__(－1__010，1__0102)__．
21．(2019·北京中考)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx －1a
与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．
(1)求点B 的坐标(用含a 的式子表示)；
(2)求抛物线的对称轴；
(3)已知点P ⎝⎛⎭⎫12
，－1a ，Q(2，2)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 解：(1)当x ＝0时，y ＝－1a
，∴A ⎝⎛⎭⎫0，－1a . 将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ⎝
⎛⎭⎫2，－1a ； (2)由点A ，B 的坐标可得它们关于直线x ＝1对称，∴抛物线的对称轴为x ＝1；
(3)∵对称轴为x ＝1，∴b ＝－2a.
∴y ＝ax 2－2ax －1a
. ①若a ＞0，则当x ＝2时，y ＝－1a
＜2； 当y ＝－1a
时，x ＝0或x ＝2. ∴图象与线段PQ 无交点；
②若a ＜0，则当y ＝2时，ax 2－2ax －1a
＝2，得 x ＝a ＋|a ＋1|a 或x ＝a －|a ＋1|a
. 当a ＋|a ＋1|a ≤2时，a ≤－12
. ∴当a ≤－12
时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点．
22．(2019·广州中考)已知抛物线G ：y ＝mx 2－2mx －3有最低点．
(1)求二次函数y ＝mx 2－2mx －3的最小值(用含m 的式子表示)；
(2)将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1.经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(3)记(2)所求的函数为H ，抛物线G 与函数H 的图象交于点P ，结合图象，求点P 的纵坐标的取值范围． 解：(1)∵y ＝mx 2－2mx －3＝m(x －1)2－m －3，抛物线有最低点，∴二次函数y ＝mx 2－2mx －3的最小值为－m －3；
(2)∵抛物线G ：y ＝m(x －1)2－m －3，
∴平移后的抛物线G 1：y ＝m(x －1－m)2－m －3.
∴抛物线G 1顶点坐标为(m ＋1，－m －3)．
∴x ＝m ＋1，y ＝－m －3.
∴x ＋y ＝m ＋1－m －3＝－2，
即x ＋y ＝－2，变形得y ＝－x －2.
∵m ＞0，m ＝x －1，∴x －1＞0.∴x ＞1.
∴y 与x 的函数关系式为y ＝－x －2(x ＞1)；
(3)方法一：如图，函数H ：y ＝－x －2(x ＞1)的图象为射线，
当x ＝1时，y ＝－1－2＝－3；当x ＝2时，y ＝－2－2＝－4.
∴函数H 的图象过点B(2，－4)．
对于抛物线G ：y ＝m(x －1)2－m －3，当x ＝1时，y ＝－m －3；当x ＝2时，y ＝m －m －3＝－3.∴抛物线G 恒过点A(2，－3)．
由图象可知，若抛物线与函数H 的图象有交点P ，则y B ＜y P ＜y A .
∴点P 的纵坐标的取值范围为－4＜y P ＜－3.
方法二：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －2，y ＝mx 2－2mx －3，
得 m(x 2－2x)＝1－x.
∵x ＞1，且x ＝2时，方程为0＝－1不成立，
∴x ≠2，即x 2－2x ＝x(x －2)≠0.
∴m ＝1－x x （x －2）
＞0. ∵x ＞1，∴1－x ＜0.∴x(x －2)＜0.
∴x －2＜0.∴x ＜2，即1＜x ＜2.
∵y P ＝－x －2，∴－4＜y P ＜－3.。