2021年高考数学高分秘籍概率与统计含解析202103241128

概率与统计
1．从分别写有1，2，3的3X 卡片中随机抽取1X ．放回后再随机抽取1X ．则抽得的第一X 卡片上的数不小于第二X 卡片上的数的概率为（ ）
A ．2
3 B ．1
3C ．5
9 D ．4
9 【答案】B
【解答】：从分别写有1，2，3的3X 卡片中随机抽取1X ．放回后再随机抽取1X ．
基本事件总数n=3×3=9，
抽得的第一X 卡片上的数不小于第二X 卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），共3个，
则抽得的第一X 卡片上的数不小于第二X 卡片上的数的概率为p=3
9=1
3． 故选：B ．
1．古典概型的概率求解步骤：
2．古典概型基本事件个数的确定方法
（1）列举法：此法适合于基本事件个数较少的古典概型．
（2）列表法：此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成坐标法．
（3）树状图法：树状图是进行列举的一种常用方法，适用于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．
（4）运用排列组合知识计算．
2．将一根长为6m 的绳子剪为二段，则其中一段大于另一段2倍的概率为（ ）
A ．1
3 B ．2
3C ．2
5 D ．3
5 【答案】B
【解答】：绳子的长度为6m ，折成两段后，设其中一段长度为x ，则另一段长度6﹣x ，
记“其中一段长度大于另一段长度2倍”为事件A ，
则A={x|{0＜x ≤6x ＞2(6−x)或6−x ＞2x }={x|0＜x ＜2或4＜x ≤6}，
∴P （A ）=2
3，
故选：B ．
几何概型
1．设线段l 是线段L 的一部分，向线段L 上任投一点，点落在线段l 上的概率P=
l L 的长度
的长度
．
2．当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为度量区域来计算概率．
3．求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
4．对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积（总空间）以及事件的体积（事件空间），对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．
3．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件 " 甲分得红色 '' 与“乙分得红色”是( )
A. 对立事件
B. 不可能事件
C. 互斥但不对立事件
D. 不是互斥事件
【答案】C
【解析】甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．
故选：C．
互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件不一定是对立事件．
4．下列说法中正确的是
A．任一事件的概率总在（0，1）内
B．不可能事件的概率不一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．概率为0的事件一定是不可能事件
【答案】C
【解析】必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，不确定事件的概率在[0,1]．故A，B错误；概率为0的事件可能是随机事件，如在任意实数中任取一个数，恰好为2，概率为0，可能发生，是随机事件；又如在圆上任取一点，恰好为圆心，概率是0，可能发生，是随机事件，故D错误．故选C．
概率的几个基本性质
（1）概率的取值X围：0≤P（A）≤1．
（2）必然事件的概率P（E）=1．
（3）不可能事件的概率P（F）=0．
（4）概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B）．
注意：互斥事件的概率加法公式的应用前提是“事件A与事件B互斥”，否则不可用．
（5）对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1．
注意：对立事件的概率公式使用的前提是“事件A，B必须是对立事件”，否则不能使用．
，甲投篮3 5．甲、乙两人做定点投篮游戏，已知甲每次投篮命中率均为p，乙每次投篮命中的概率均为1
2
，甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响．
次均未命中的概率为1
27
（1）若甲投篮3次，求至少命中2次的概率；
（2）若甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
【解答】：（1）∵甲每次投篮命中率均为p ，甲投篮3次均未命中的概率为1
27， ∴（1﹣p ）3=1
27
，解得p=2
3
，
∴甲投篮3次，至少命中2次的概率：P=（2
3）3+C 32
(2
3)2(1
3)=20
27．
（2）甲、乙各投篮2次，设两人命中的总次数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3，4，
P （X=0）=（1
2）2（1
3）2=1
36，
P （X=1）=C 21(1
2)(1
2)(1
3)2+（1
2）2C 21(2
3)(1
3)=6
36，
P （X=2）=（12）2（13）2+（12）2（23）2+C 21(12)(12)C 21(23)(13)=13
36，
P （X=3）=（12
）2C 21(23
)(13
)+C 21(12
)(12
)(23
)2=12
36
，
P （X=4）=(12
)2(23
)2=4
36
，
∴X 的分布列为：
X 0
1
2
3
4
P
1
36
636
1336
1236
436
X 的数学期望E （X ）=0×
136
+1×
636
+2×1336
+3×
1236
+4×
4
36
=7
3
．
求离散型随机变量的分布列、期望与方差
（1）理解X的意义，写出X可能取的全部值；
（2）求X取每个值的概率；
（3）写出X的分布列；
（4）根据分布列的性质对结果进行检验；
（5）根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算．
6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多
【答案】D
【解析】对于选项A, 互联网行业从业人员中90后占56%，占一半以上，所以该选项正确；
对于选项B, 互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的39.6%×56%=22.176%,超过总人数的20%，所以该选项正确；
对于选项C, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%=9.52%，比80前多，所以该选项正确.
对于选项D, 互联网行业中从事运营岗位的人数90后占总人数的56%×17%=9.52%，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数90后不一定比80后多.所以该选项不一定正确.
故选：D.
能正确分析饼状图，条形图，柱状图，折线图的，是解决该类问题的主要方法.
7．某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人.第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m
的工人数填入下面的列联表：
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：
()
()()()()
2
2
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，
【解析】（1）第二种生产方式的效率更高.
理由如下：
（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.
（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.
（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8
大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.
以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.
（2）由茎叶图知
7981
80
2
m
+
==.
列联表如下：
（3）由于
2
2
40(151555)
10 6.635
20202020
K
⨯-⨯
==>
⨯⨯⨯
，
所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
独立性检验的一般步骤：
i)根据样本数据列出22⨯列联表；
ii)计算随机变量2K的观测值k，查下表确定临界值
k：
iii)如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过20()P K k ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过20()P K k ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”.
1．从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A. 至少有一个白球，都是白球
B. 至少有一个白球，至少有一个黑球
C. 恰有一个白球，恰有两个白球
D. 至少有一个白球，都是黑球
【答案】C
1．求简单的互斥事件、对立事件的概率的方法
解此类问题，先根据已知分析出所给的两个事件是互斥事件，还是对立事件，再选择相应的概率公式进行计算．
2．求复杂的互斥事件的概率的方法
（1）直接法：第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率．
（2）间接法：第一步，求事件的对立事件的概率；第二步，运用公式P （A ）=1–P （A ）求解．特别是含有“至多”“至少”的题目，用间接法就显得比较简便．
2．秉承提升学生核心素养的理念，学校开设以提升学生跨文化素养为核心的多元文化融合课程，选某艺术课程的学生唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，其P （ξ＞0）=7
10．
（Ⅰ）求选该艺术课程的学生人数；
（Ⅱ）写出ξ的概率分布列并计算E ξ．
【解答】：（Ⅰ）设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有7﹣x 人，
则只会一项的人数是7﹣2x 人，
∵P （ξ＞0）=P （ξ≥1）=1﹣P （ξ=0）=7
10
，
∴P （ξ=0）=3
10，即C 7−2x 2
C 7−x
2
=3
10， 解得x=2，
∴选该艺术课程的学生人数共有5人．
（Ⅱ）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，
P （ξ=0）=C 3
2C 5
2=3
10， P （ξ=1）=
C 21C 3
1C 5
2=3
5，
P （ξ=2）=C 2
2C 5
2=1
10，
∴ξ的概率分布列为：
ξ0 1 2
P 3
103
5
1
10
∴Eξ=0×3
10+1×3
5
+2×1
10
=4
5
．
求超几何分布的均值与方差的方法
（1）列出随机变量X的分布列，利用均值与方差的计算公式直接求解；
（2）利用公式E（X）=nM
N ，D（X）=
2
––
–1
nM N M N n
N N
（）（）
（）
求解．
3．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3
次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为1
3，乙每次投篮投中的概率为1
2
，且各次投篮互不影响．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列与期望．
【答案】（1）13
27．（2）分布列详见解析，13
9
．
【解析】设A k，B k分别表示“甲、乙在第k次投篮投中”，
则P （A k ）=13
，P （B k ）=1
2，其中k=1，2，3．
（1）记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知
P （C ）=P （A 1）+P （11A B A 2）+P （1122A B A B A 3）=P （A 1）+P （1A ）P （1B ）P （A 2）+P （1A ）P
（1B ）P （2A ）P （2B ）P （A 3）=13+23×12×13+（23）2×（12）2×1133=+19+113
2727
=
． （2）ξ的所有可能取值为1，2，3，且
P （ξ=1）=P （A 1）+P （1A B 1）=1
3+
23×1223
=， P （ξ=2）=P （11A B A 2）+P （112A B A B 2）=23×12×13+（23）2×（12）2=29
， P （ξ=3）=P （1122A B A B ）=（
23）2×（12）2=1
9
． 综上知，ξ的分布列为
ξ 1 2 3 P
2
3
29
19
所以E （ξ）=1×
23+2×29+3×113
99
=．
相互独立事件的概率的求法
（1）直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
（2）间接法：正面计算较烦琐（如求用“至少”表述的事件的概率）或难以入手时，可从其对立事件
入手计算．
4.甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队取胜乙队的概率为0.6，本场比赛采用五局三胜，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互没有影响．求：
（1）甲队3：0获胜的概率；
（2）设本场比赛结束所需的比赛局数为ξ，求随机变量ξ的分布列．
【解答】：（1）∵甲队3：0获胜，即为前3局甲胜比赛结束．
∴P=C33×（0.6）3=27
125
（2）ξ的所有取值为3，4，5，
P（ξ=3）=C33×（0.6）3+C30（0.6）0×（0.4）3=27
125+8
125
=7
25
=0.28，
P（ξ=4）=C32×（0.6）2×（0.4）×（0.6）+C32×（0.4）2×（0.6）×（0.4）=0.3744，P（ξ=5）=C42×（0.6）2×（0.4）2×(0.6+0.4)=0.3456，
∴ξ的分布列为：
ξ 3 4 5
P 0.28 0.3744 0.3456
1．n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次可看作C k
个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作k个A
n
事件与（n–k）个A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k（1–p）n–k（其中p为
p k（1–在一次试验中事件A发生的概率）.因此，n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k
n p）n–k．
p k（1–p）n–k计算概率即2．写二项分布时，首先确定随机变量X的可能取值，然后用公式P（X=k）=C k
n
可．
3．若离散型随机变量X~B（n，p），则E（X）=np，D（X）=np（1–p），即其均值和方差的求解既可以利用定义，也可以直接代入上述公式．
5．某中学在高三上学期期末考试中，理科学生的数学成绩~(105,100)
<=，
X N，若已知(90105)0.36
P X
则从该校理科生中任选一名学生，他的数学成绩大于120分的概率为()
A．0.86B．0.64C．0.36D．0.14
【答案】D
【解答】：学生成绩X服从正态分布(105,100)
P X
∴>=，
N，(105)0.5
<=，(105120)(90105)0.36
P X
(90105)0.36
∴<=<=，
P X P X
∴>=-<=-=，
P X P X
(120)0.5(105120)0.50.360.14
故选：D．
1．对于正态分布N（μ，σ2），由x=μ是正态曲线的对称轴知
（1）P（x≥μ）=P（x≤μ）=0．5；
（2）对任意的a，有P（X<μ–a）=P（X>μ+a）；
（3）P（X<x0）=1–P（X≥x0）；
（4）P（a<X<b）=P（X<b）–P（X≤a）．
2．服从N（μ，σ2）的随机变量X在某个区间内取值的概率的求法
（1）利用P（μ–σ<X≤μ+σ），P（μ–2σ<X≤μ+2σ），P（μ–3σ<X≤μ+3σ）的值直接求；
（2）充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这些特殊性质求解．
6.某科研小组对冬季昼夜温差大小与某反季节作物种子发芽多少之间的关系进行分析，分别记录了每天昼夜温差和每100颗种子的发芽数，其中5天的数据如下：
该小组的研究方案是：先从这5组数据中选取3组求线性回归方程，再用方程对其余的2组数据进行检验．
（Ⅰ）求余下的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率：
（Ⅱ）若选取的是第2、3、4天的数据，求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆ:y
bx a =+ （Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与2组检验数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，请问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？ （参考公式：线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中系数计算公式： 1
1
2
2
2
1
1
()()
()ˆ()
n
n
i
i i i
i i n
n
i
i
i i x
x y y x y nxy
b
x x x
n x ==-==---==
--∑∑∑∑，ˆˆa
y b x =-，其中x ，y 表示样本的平均值） 【解答】：（Ⅰ）设“余下的2组数据恰好是不相邻2天数据为事件A ”，
从5组数据中选取3组数据，余下的2组数据共10种情况：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，
(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．
其中事件A 的有6种，
P ∴（A ）63105
=
=； （Ⅱ）由数据求得12x =，28y =，
且3
11014i i i x y ==∑，3
2
1
434i i x ==∑．
代入公式得：3
1
3
2
2
2
1
3101431228
ˆ34343123i i
i i
i x y
xy
b
x
x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，
ˆˆ283128a
y bx =-=-⨯=-． ∴线性回归方程为：ˆ38y
x =-； （Ⅲ）当10x =时，ˆ310822y
=⨯-=，|2223|1-， 当8x =时，ˆ38816y
=⨯-=，|1616|1-． 故得到的线性回归方程是可靠的．
若两个变量之间具有线性相关关系，则点散布在一条直线附近，该直线为回归直线，能够用最小二乘法求回归直线方程，能够利用相关系数来表明两个变量的线性相关性的强弱.
求回归直线方程的步骤：先依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；然后计算出
21
1
,,,n n
i i i i i x y x x y ==∑∑的值；再计算回归系数,a b ，由此写出回归直线方程：y bx a =+.
1．甲、乙、丙、丁、戊站成一排，甲不在两端的概率（ ）
A ．4
5 B ．3
5C ．2
5 D ．1
5
2．如图，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，已知小正方形的外接圆恰好是大正方形的内切圆，现在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A ．2π−12
B ．
π−24
C ．
π−12
D ．
π−14
3．箱子里有3双颜色不同的手套（红蓝黄各1双），有放回地拿出2只，记事件A 表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A 的概率为（ ）
A ．16
B ．13
C ．15
D ．25
4．把红、黑、白、蓝4X 纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1X ，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是
A ．对立事件
B ．不可能事件
C ．互斥但不对立事件
D ．以上均不对
5．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列对立的两个事件是A．“至少1名男生”与“至少有1名是女生”
B．“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”
C．“至少1名男生”与“全是男生”
D．“至少1名男生”与“全是女生”
6．已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x 2 4 5 6 8
y 30 40 50 60 70
根据上表可得回归方程y^=b^x+a^，计算得b^=7，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为（）A．75万元B．85万元
C．99万元D．105万元
7．一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个比2大的数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则这个数的所有可能值的和为（）
A．20B．17
C．32D．3
8．为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n=（）
A．180B．160
C．150D．200
9．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲，x乙，则下列说法正确的是（）
A．x甲＞x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
B．x甲＞x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
C．x甲＜x乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛
D．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛
10．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,n)，用最小二乘法建立的回归方程为ỳ=0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是( )
A. y与x具有正的线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(x,y)
C. 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D. 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
11．下列有关样本相关系数的说法不正确的是( )
A. 相关系数用来衡量x与y之间的线性相关程度
B. ∣r∣≤1,且∣r∣越接近0,相关程度越小
C. ∣r∣≤1,且∣r∣越接近1,相关程度越大
D. ∣r∣≥1,且∣r∣越接近1,相关程度越大
12．某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，⋯，x10，其均值和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为( )
A. x，s2+1002
B. x+100，s2+1002
C. x，s2
D. x+100，s2
13.某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为．
14.已知变量x，y具有线性相关关系，它们之间的一组数据如表所示，若y关于x的线性回归方程为y^=1.3x ﹣1，则m=；
x 1 2 3 4
y 0.1 1.8 m 4
15.袋中装有4个红球、3个白球，甲、乙按先后次序无放回地各摸取一球，在甲摸到了白球的条件下，乙摸到白球的概率是
16.有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为．
17.已知ξ～B（n，p），Eξ=3，D（2ξ+1）=9，则P的值是．
18．某校高三分为四个班．高三数学调研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130（包括120分但不包括130分）的频率为0.05，此分数段的人数为5人．
（1）问各班被抽取的学生人数各为多少人？
（2）在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率．
（3）求平均成绩．
19．某二手车交易市场对某型号的二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：
使用年数 2 4 6 8 10
售价 16 13
9.5 7 4.5
参考公式：122
1ˆn
i i i n i
i x y nxy b
x nx ==-=-∑∑
，ˆˆa
y bx =-． （1）试求y 关于x 的回归直线方程：
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为ω=0.05x 2﹣1.75x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x 为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？
20.某地区工会利用“健步行APP ”开展健步走积分奖励活动．会员每天走5千步可获积分30分（不足5千步不积分），每多走2千步再积20分（不足2千步不积分）．为了解会员的健步走情况，工会在某天从系
统中随机抽取了1000名会员，统计了当天他们的步数，并将样本数据分为[3，5），[5，7），[7，9），[9，11），[11，13），[13，15），[15，17），[17，19），[19，21]九组，整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求当天这1000名会员中步数少于11千步的人数；
（Ⅱ）从当天步数在[11，13），[13，15），[15，17）的会员中按分层抽样的方式抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人积分之和不少于200分的概率；
（Ⅲ）写出该组数据的中位数（只写结果）．
21.秉承提升学生核心素养的理念，学校开设以提升学生跨文化素养为核心的多元文化融合课程，选某艺术课程的学生唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人，设ξ为选出的
．
人中既会唱歌又会跳舞的人数，其P（ξ＞0）=7
10
（Ⅰ）求选该艺术课程的学生人数；
（Ⅱ）写出ξ的概率分布列并计算Eξ．
22.一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次
摸到红球即停止．
（1）求恰好摸4次停止的概率；
（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．
23.中国职业男篮CBA 总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为1
2．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入400万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元．
（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为3000万元的概率；
（2）设总决赛中获得门票总收入为X ，求X 的数学期望E （X ）．
24．已知对某高校80名篮球运动员的身高进行测量得到如图所示的频率分布直方图，记身高在[150,160)，
[160,170)，[170,180)，[180,190)，
[190,200](单位：cm )内的人数分别为12345,,,,n n n n n ，其中2452n n n =+，且3=28n ．
（1）求25,n n 的值，并求篮球运动员的身高分别在[160,170)以及[190,200]内的频率；
（2）试求这80名篮球运动员的平均身高（用各组区间的中点值作代表）；
（3）若身高在[190,200]内的篮球运动员中，有4名篮球运动员的身高超过195 cm，则从身高在[190,200]内的篮球运动员中随机抽取4人，记身高超过195 cm的篮球运动员的人数为X，求X的分布列以及数学期望．
25．某校高三年级共有1600名学生，其中男生960名，女生640名，在某次物理考试中（满分为100分），成绩在[80，100]内的学生可取得A等（优秀），在[60，80)内的学生可取得B等（良好），在[40，60)内的学生可取得C等（合格），不足40分的学生只能取得D等（不合格）．现按性别采用分层抽样的方法抽取100名学生，将他们的物理成绩按从低到高分成10组，即[0，10)、[10，20)、[20，30)、[30，40)、[40，50)、[50，60)、[60，70)、[70，80)、[80，90)、[90，100]，由此绘制的部分频率分布直方图如图所示：
（1）估计该校高三年级学生在此次物理考试中成绩不合格的人数；
2 列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为“此次物理考试中成绩是否优秀
（2）将下面的2
与性别有关”？
参考公式及数据：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．
1.B 【解答】：甲、乙、丙、丁、戊站成一排，基本事件总数n=A 55=120， 甲不在两端包含的基本事件个数m=3A 44=72， ∴甲不在两端的概率p=m
n =72
120=3
5． 故选：B ．
2.B 【解答】：设大正方形的边长为1，其内切圆直径为1，
则小正方形边长为√2
2
，
∴阴影部分的面积S 阴影部分=S 圆﹣S 小正方形=π
4−1
2=
π−24
，
∴在大正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率：P=S
阴影部分S
小正方形
=
π−24
．
故选：B ．
3.B 【解答】：分别设3双手套为：a 1a 2；b 1b 2；c 1c 2．a 1，b 1，c 1分别代表左手手套，a 2，b 2，c 2分别代表右手手套．
从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：n=6×6=36，共36个基本事件．
事件A 包含：（a 1，b 2），（b 2，a 1），（a 1，c 2），（c 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 2），
（a 2，c 1），（c 1，a 2），（b 1，c 2），（c 2，b 1），（b 2，c 1），（c 1，b 2），12个基本事件，
故事件A 的概率为P （A ）=1236
=13
．故选：B ．
4．【答案】C
【解析】根据题意，把红、蓝、黑、白四X 纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四个人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，所以两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”和“丁分得红牌”，所以两者不是对立事件．即事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．故选C ．
5．【答案】D
【解析】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，在A 中，“至少1名男生”与“至少有1名是女生”能同时发生，不是互斥事件，故A 错误；在B 中，“恰好有1名男生”与“恰好2名女生”是互斥不对立事件，故B 错误；在C 中，“至少1名男生”与“全是男生”能同时发生，不是互斥事件，故C 错误；在D 中，“至少1名男生”与“全是女生”是对立事件，故D 正确．故选D ．
6.B 【解答】：由表中数据计算x =1
5×（2+4+5+6+8）=5，
×（30+40+50+60+70）=50，
y=1
5
线性回归方程过样本中心点，则：50=7×5+a∧，
解得a∧=15，∴线性回归方程为：y∧=7x+15，
据此估计，当投入10万元广告费时，销售额为y∧=7×10+15=85（万元）．故选：B．
7.A【解答】：设这个数字是x，且x＞2，
，众数是2，
则平均数为25+x
7
当x≤4时，中位数为x，
+2=2x，解得x=3，
此时25+x
7
当x＞4时，中位数为4，
此时25+x
+2=2×4，解得x=17，
7
综上，x的所有可能值为3与17，其和为20．
故选：A．
8.A【解答】：由频率分布直方图得支出金额在[30，50]的学生所在频率为：1﹣（0.01+0.025）×10=0.65，
∵支出金额在[30，50]的学生有17人，
∴n=117
=180．
0.65。