天津市蓟州区擂鼓台中学2019-2020学年高一下学期期末数学训练（03）

高一第二学期期末训练03
一、选择题
1. 已知i 是虚数单位，3
(1)(2)
i i i
--+= （ ）
A ．3i +
B ．3i --
C ．3i -+
D ．3i -
2．一个圆柱的轴截面（是过旋转轴的平面与圆柱的截面）是边长为1的正方形，那么这个几何体的全面积为 （ ） A ．
3
π2
B ．2π
C ．3π
D ．4π 3．已知互相垂直的平面αβ， 交于直线l ．若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则
A ．m ∥l
B ．m ∥n
C ．n ⊥l
D ．m ⊥n
4. 已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，a ⊥(2a -b )，则=k
A ．12-
B ．6-
C ．6
D ．12
5. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，其
中九个数为87，87，94，90，91，90，x ，99，91，其中一个数据丢失，但知道90≤x ≤99,则7个剩余分数的方差为
A ．
116
9
B ．
36
7
C ．36
D 6. 在ΔABC 中，4
B π
=
，BC 边上的高等于
1
3
BC ，则sin A =
A ．
3
10
B C D
7. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为
A ．
23 B ．25
C ．35
D ．9
10
8. 设a 是实数，且2
11i
i a ++
+是实数，则a 等于（ ）
A ．1
B ．21
C ．5
1
D ．5
1
-
9. ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知22,2(1sin )b
c a b A ，则A =
A ．3π4
B ．π3
C ．π4
D ．π
6
10. 如图，在矩形ABCD 中，E BC AB ,3,4==是
CD 的中点，沿AE 将ADE ∆折起，使二面角 B AE D --为︒60，则四棱锥ABCE D -的体积
是（ ）
A.
13399 B.13
39
27 C.
913
13
D.131327
二、填空题
11. 某校高一年级有学生280人，高二年级260人，高三年级360人，现采用分层抽样抽取容量为45的一个样本，那么在高三年级应抽取的人数为
12. 已知随机事件A 、B ，若()0.25()0.78P A P A B =⋃=，，）（AB P =0.11则()P B = ． 13. 已知向量a =(1,2),b =(-2,3),则向量a 在向量b 上的投影向量为 ； 14. 某公司为改善职工的出行条件，随机抽取50名职工，调查他们的居住地与公司的距离d (单位:千米)．若样本数据分组为[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]， (8,10]， (10,12]，由数据绘制的分布频率直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司的距离不超过4千米的人数为 人．如果用该直方图估计总体，那么第二四分位数是
15. 在ABC ∆中，︒=∠120BAC ，2==AC AB ，D 为BC 边上的点，且0=⋅BC AD ，若EB CE 3=，则AE AC AB ⋅+)( ． 三、解答题
16. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2
个红球12,A A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球12,a a 和2个白球12,b b 的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果；
（Ⅱ）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你
认为正确吗？请说明理由．
17. 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，
0.04
O
0.050.10.120.14
24681012
d
频率/组距
第14题
[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．
（Ⅰ）求直方图中x 的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户
中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？
18. 已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．
（Ⅰ）若a b =，求cos ;B （Ⅱ）若90B =，且2a =ABC ∆的面积．
19. 已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos a C +
3sin 0a C b c --=．
（Ⅰ）求A ；
（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b 、c ．
20. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB =2，BC =EF =1，
AE 6，DE =3，∠BAD =60º，G 为BC 的中点.
(Ⅰ)求证：FG∥平面BED；
(Ⅱ)求证：平面BED 平面AED；
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.
．
高一第二学期期末训练（03）参考答案：
1. B
2. A
3. C
4. D
5. B
6. D
7. D
8. A
9. C 10. A 11. 18 12. 0.64 13. ）
，（13
12
138- 14. 24，6.17 15. 2
16. 【解析】（Ⅰ）所有可能的摸出结果是：
111211122122{,},{,},{,},{,},{,},{,},A a A a A b A b A a A a 21221212{,},{,},{,},{,},{,},{,},A b A b B a B a B b B b
（Ⅱ）不正确，理由如下：
由（Ⅰ）知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为
11122122{,},{,},{,},{,},A a A a A a A a 共4种，所以中奖的概率为
41
123
=，不中奖的概率为121
1333
-=>，故这种说法不正确．
17【解析】（Ⅰ）以题意20(0.0020.00950.0110.01250.050.0025)1x ⨯++++++=，解
得0.0075x =
（Ⅱ）由图可知，最高矩形的数据组为[)220,240，∴众数是
220240
2302
+=． ∵[160,220)的频率之和为()0.0020.00950.011200.45++⨯=， 由题意设中位数为a ，
∴()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=， 得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224．
（Ⅲ）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为
[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有
0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，
抽取比例111
25151055
=
=+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取
1
2555
⨯=户．
18. 【解析】（Ⅰ）由题设及正弦定理可得2
2b
ac ．
又a b ，可得2b c ，2a c ，
由余弦定理可得222
1cos 24
a c
b B a
c ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知2
2b ac ．
因为90B ，由勾股定理得22
2a c b ．
故2
22a c ac ，得2c a ．
所以ABC ∆的面积为1．
．
19. 【解析】（
1）由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C +-
-=⇔-=
+
sin cos sin sin()sin 1
cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒
⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=
⇔=
（2）1
sin 42
S bc A bc =
=⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=，解得：2b c ==．
20. 【解析】（Ⅰ）证明：取BD 的中点为O ，连接OG OE ,，在BCD ∆中，因为G 是BC 的
中点，所以DC OG //且12
1
==
DC OG ，又因为DC AB AB EF //,//，所以OG EF //且OG EF =，即四边形OGFE 是平行四边形，所以OE FG //，又⊄
FG 平面BED ，⊂OE 平面BED ，所以//FG 平面BED ．
（Ⅱ）证明：在ABD ∆中，0
60,2,1=∠==BAD AB AD ，由余弦定理可3=
BD ，进
而可得0
90=∠ADB ，即AD BD ⊥，又因为平面⊥AED 平面⊂BD ABCD ,平面
ABCD ；平面 AED 平面AD ABCD =，所以⊥BD 平面AED .又因为⊂BD 平面BED ，所以平面⊥BED 平面AED ．
（Ⅲ）解：因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所
成角.过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，又因为平面 BED 平面ED AED =，由（Ⅱ）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠.在
ADE ∆中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理可得3
2
cos =∠ADE ，所以3
5
sin =
∠ADE ，因此35sin =∠⋅=ADE AD AH ，在AHB Rt ∆中，
65sin ==
∠AB AH ABH ，所以直线AB 与平面BED 所成角的正弦值为6
5
．。