2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价七对数函数的性质与图像的应用新人教B版必修

课时素养评价七
　对数函数的性质与图像的应用
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
1.已知函数f(x)=log a(x-m)的图像过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是
( ) A.增函数 B.减函数
C.奇函数
D.偶函数
【解析】选A.由题意,
解得所以f(x)=log4(x-3),
所以f(x)是增函数,因为f(x)的定义域是(3,+∞),不关于原点对称.所以f(x)为非奇非偶函数.
【加练·固】
已知函数f(x)=log a(x-2),若图像过点(11,2),则f(5)的值为( )
A.-1
B.1
C.-2
D.2
【解析】选B.由函数图像过点(11,2),
则log a(11-2)=2,解得a=3.
故f(5)=log3(5-2)=1.
2.(2019·重庆高一检测)已知a=21.1,b=log23,c=,则a,b,c的大小关系为
( ) A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c
D.b>c>a
【解析】选A.21.1>2,=.又2>log23>log2=log2=,所以a>b>c.
3.(2019·临安高一检测)函数f(x)=2+log6(6x+1),x∈R的值域为( )
A.(0,1]
B.(0,+∞)
C.[1,+∞)
D.(2,+∞)
【解析】选D.因为6x+1>1,所以log6(6x+1)>0,
故f(x)=2+log6(6x+1)>2.
4.(多选题)已知f(x)=lg(10+x)+lg(10-x),则( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)在(0,10)上单调递增
D.f(x)在(0,10)上单调递减
【解析】选B、D.由得x∈(-10,10),
故函数f(x)的定义域为(-10,10),关于原点对称,
又由f(-x)=lg(10-x)+lg(10+x)=f(x),
故函数f(x)为偶函数,
而f(x)=lg(10+x)+lg(10-x)=lg(100-x2),
y=100-x2在(0,10)上递减,y=lg x在(0,10)上递增,故函数f(x)在(0,10)上递减.
二、填空题(每小题4分,共8分)
5.已知f(x)=lg,x∈(-1,1),则函数f(x)是________函数(填奇或偶或非奇非偶).若f(a)=2,则f(-a)=________.
【解析】因为lg=lg,所以x∈(-1,1),且f(-x)=lg=lg
=-lg=-f(x),所以f(x)为奇函数,
所以f(-a)=-f(a)=-2.
答案:奇　-2
6.(2019·徐州高一检测)函数f(x)=log a(3-ax)(a>0且a≠1)在区间(a-2,a)上单调递减,则a的取值范围为________.
【解析】因为函数在区间(a-2,a)上单调递减,
所以解得1<a≤.
答案:{a|1<a≤}
三、解答题(共26分)
7.(12分)(2019·静海高一检测)已知函数f=log a(x+2)-1(a>0且a≠1).
(1)若f=2,求函数f(x)的零点.
(2)若f(x)在[1,2]上的最大值与最小值互为相反数,求a的值.
【解析】(1)因为f(6)=2,所以log a8-1=2,
所以log a8=3,即a3=8,所以a=2.
所以f(x)=log2(x+2)-1,
令f(x)=0,即log2(x+2)-1=0,
所以log2(x+2)=1,
所以x+2=2,所以x=0.
即f(x)的零点为0.
(2)因为无论a>1或0<a<1,f(x)均为单调函数
所以最值均在区间端点取得
因为f(x)在x∈[1,2]上的最大值与最小值互为相反数,所以f(1)+f(2)=0,
即log a3-1+log a4-1=0,
所以log a3+log a4=2,
所以log a12=2,
所以a2=12,所以a=±2,
又因为a>0且a≠1,
所以a=2.
8.(14分)已知1≤x≤4,求函数f(x)=log2×log2的最大值与最小值.
【解析】因为f(x)=log2×log2
=(log2x-2)(log2x-1)=-,
又因为1≤x≤4,
所以0≤log2x≤2,
所以当log2x=,
即x==2时,f(x)取最小值-;
当log2x=0,
即x=1时,f(x)取最大值2,
所以函数f(x)的最大值是2,最小值是-.
【加练·固】
设函数f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)的定义域为.
(1)若t=log2x,求t的取值范围.
(2)求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取最值时对应的x的值.
【解析】(1)因为t=log2x为单调递增函数,而x∈,
所以t的取值范围为,
即t∈[-2,2].
(2)记t=log2x,则
y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1)=(t+2)(t+1)=-(-2≤t≤2).
因为y=-在上递减,在上递增,
所以当t=log2x=-,即x==时,
y=f(x)有最小值f=-;
当t=log2x=2,即x=22=4时,
y=f(x)有最大值f(4)=12.
(15分钟·30分)
1.(4分)已知a<b,函数f(x)=(x-a)·(x-b)的图像如图所示,则函数g(x)=log b(x +a)的图像
可能是( )
【解析】选B.由题图可知0<a<1<b,故函数g(x)单调递增,排除A、D,结合a的范围可知选B.
2.(4分)已知函数y=|log x|的定义域为,值域为[0,1],则m的取值范围为( )
A. B.
C.[1,2]
D.[1,+∞)
【解析】选C.作出y=|log x|的图像(如图),
可知f=f(2)=1,
由题意结合图像知:1≤m≤2.
3.(4分)(2019·蚌埠高一检测)已知函数f(x)=lg(+ax)图像关于原点对称.则实数a的值为________.
【解析】函数图像关于原点对称,通过表达式可知函数的定义域是R,故得到函数是奇函数,
故-f(1)=f(-1),-lg(a+)=lg(-a),a+=,解得a=±2.
答案:±2
4.(4分)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增加的,且f=0,则不等式f(log4x) <0的解集是________.
【解析】由题意可知,由f(log4x)<0,得-<log4x<,
即log4<log4x<log4,得<x<2.
答案:
5.(7分)已知f(x)=log2(x+1),当点(x,y)在函数y=f(x)的图像上时,点在函数y=g(x)的图像上.
(1)写出y=g(x)的解析式.
(2)求方程f(x)-g(x)=0的根.
【解析】(1)依题意,得
则g=log2(x+1),
故g(x)=log2(3x+1).
(2)由f(x)-g(x)=0,
得log2(x+1)=log2(3x+1),
所以解得x=0或x=1.
6.(7分)设f(x)=log a(3+x)+log a(3-x)(a>0,a≠1),且f(0)=2.
(1)求实数a的值及函数f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最小值.
【解析】(1)由题意,f(0)=log a3+log a3=2log a3=2,
所以a=3,所以f(x)=log3(3+x)+log3(3-x),
所以解得-3<x<3,
所以f(x)的定义域是(-3,3).
(2)因为f(x)=log3(3+x)+log3(3-x)
=log3[(3+x)(3-x)]
=log3(9-x2)且x∈(-3,3),
所以当x=时,f(x)在区间[0,]上取得最小值,f(x)min=log33=1.
1.(2019·郑州高一检测)若函数f(x)=log a(x2-ax+1)有最小值,则a的取值范围是________.
【解析】令t=x2-ax+1,y=log a t,
(1)当0<a<1时,函数y=log a t单调递减,而函数t=x2-ax+1没有最大值,则函数f(x)没有最小值.
(2)当a>1时,函数y=log a t单调递增,当且仅当Δ=a2-4<0时函数t=x2-ax+1有最小值,因此,可得:1<a<2.
综上,1<a<2.
答案:1<a<2
2.已知函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x).
(1)求函数f(x)的定义域.
(2)若不等式f(x)>m有解,求实数m的取值范围.
【解析】(1)要使函数的解析式有意义,
自变量x须满足可得-2<x<2.
故函数f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)的定义域为(-2,2).
(2)因为不等式f(x)>m有解,所以m<f(x)max,
f(x)=lg(2+x)+lg(2-x)=lg(4-x2),
令t=4-x2,因为-2<x<2,所以0<t≤4,
因为y=lg x为增函数,
所以f(x)的最大值为lg 4,所以m的取值范围为m<lg 4.。