第12讲 余数问题

第12讲余数问题
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）：
（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；
商=（被除数-余数）÷除数。

一个自然数被另一个自然数n除时，余数只能是0，1，2，……（n-1)。

在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。

在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。

例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。

如果两个整数被另一自然数n除时（n为整数），余数相同，则它们的差必定能被n整除。

如果整数a和b除以同一个自然数m，所得的余数相同，c和d除以同一自然数m，余数也相同，那么a+c，b+d除以m所得的余数也相同。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。

注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c 的余数）。

例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。

注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。

例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。

例1、5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

练习：
1、2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数。

2、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。

这个数多少？
3、求478×296×351除以17的余数。

例2、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。

练习
1、被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是35，余数是2，求被除数。

例3、一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？
练习：
1、用一个整数去除345和543所得的余数相同，且商相差9，求这个数。

2、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，试求这个自然数的最大值。

3、自然数a除以7余3，自然数b除以7余4，（a+b）除以7余几？
例4、有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。

求这个数。

练习
1、有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是多少？
2、自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减去b的差除以7，余数是多少？
3、有一个整数，用它去除312，231，123得到的三个余数之和是41，求这个数。

4、甲、乙、丙三数之和为100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，都是商5余1，乙数是几？
例5、1～400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个？
练习
1、在1～200这200个自然数中，被3或7除都余2的数有多少个？
2、11+22+33+44+55+66+77+88+99除以3的余数是多少？
3、2012个7组成一个2012位数，被13除后余数是多少？商的各位数字之和是多少？
例6、甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。

两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。

参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。

如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？
练习：
1、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲的岁数之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数差的差得到4289。

问男孩几岁，父亲几岁？
2、有一本故事书，每两页文字之间有3页插图，假如这本书有96页，而第一页是插图，这本书共有插图多少页？假如这本书有99页，而第一页是插图，这本书有插图多少页？。