残余应力的筛降效应及其对矩形板强度的影响.

残余应力的筛降效应及其对矩形板强度的影响
郑刚胡毓仁
（上海交通大学船舶与海洋工程学院200030 上海）
摘要：本文研究了船体板中残余应力的筛降，得到了在受拉和受压情况下的筛降水平的计算公式，研
究了筛降的规律。

用有限元程序模拟了残余应力的筛降过程，验证了公式的有效性。

研究了残余应力
的筛降对板的平均应力-平均应变曲线的影响。

用两种方法分别得到了考虑筛降效应的板的平均应力-
平均应变曲线的表达式。

用有限元法进行了模拟计算并对两种方法进行了讨论。

结果表明用分别计算
受残余拉应力和残余压应力区的应力得到的平均应力-平均应变曲线和有限元计算结果符合得更好。

关键词：船体结构；板；残余应力；筛降；平均应力-平均应变曲线
Shake Down Effect of Residual Stress
and its Effect on the Strength of Rectangular Plates
ZHENG Gang, HU Yu-ren
(School of Naval Architecture & Ocean Eng., Shanghai Jiaotong Univ., Shanghai 200030, China)
Abstract: The shake down effect is studied and the formula to calculate the level of the shake down effect is developed. The process of shake down is simulated with FEM program and the effectiveness of the formula is justified. The effect of the shake down on the curve of average stress- average strain is studied. With two different methods, the formula to get average stress-average strain curve of plates with the shake down of residual stress is deducted. The curve is also calculated with FEA. The result of FEA shows that the method that considers the two parts with residual contract stress and residual compress stress respectively gets the better result.
Key words: Ship structure; plates; residual stress; shake down; average stress-average strain curve
在船体板中，残余应力是影响其强度的一个重要因素。

在板的加工过程中，由于切割和焊接，在加工区产生变形甚至流动。

在受热区冷却的过程中，由于受到周围板的限制而不能自由收缩，从而产生了大小达屈服应力的残余拉应力，其宽度可达几倍的板厚。

在其他部分，则产生与之相平衡的残余压应力。

残余应力的存在使得板的极限强度降低，平均应力-平均应变曲线变得平滑，对于船体的极限强度有非常重要的影响。

在新完工的船中，板中的残余应力是最高的，焊接处的残余拉应 。

但是随着船舶被使用，船体板经历了加载和卸载的历程，由于材料塑性的作力达到屈服应力
y
用，船体板中的残余应力会下降，这一效应被称为“筛降效应”（shake down effect）。

本文研究了残余应力的筛降过程，得到了计算筛降水平的公式。

就残余应力对板的强度的影响，很多学者[1-11]都进行了研究。

有的研究[4-11]集中在残余应力对于板的极限强度的影响，试图将残余应力作为一个参数加入板的极限强度的公式中。

Gordo等[1]和Hu等[2]试图得到考虑残余应力的板的平均应力-平均应变曲线。

但是上述研究都没有考虑板中残余应力的筛降效应，认为板中的残余拉应力的大小为屈服拉应力。

本文研究了经过了残余应力筛降的板的力学性能，用两种方法得到了考虑筛降效应的平均应力-平均应变曲线的表达式。

1、船体板中的残余应力及其筛降
未经过残余应力筛降的板中的应力分布如图1(a)所示。

通常，这一分布可简化为如图1(b)所示：
在焊逢周围处，拉应力达到最大，即屈服应力y σ，应变为屈服应变y ε，残余拉应力区的宽度为几倍的板厚nt 。

在其他地方，有与之相平衡的残余压
应力， 其大小可由平衡条件求得 nt b nt y
r 22-=σσ （1）
式中b 为板的宽度，t 为板的厚度。

为了方便推导，对于一些量进行无量纲化处理：
屈服应力为1，屈服应变为1，弹性模量为1，并设材料在屈服后强化时的模量降为e 。

无量纲化后的材
料应力-应变曲线如图2所示。

1.1受拉并卸载引起的残余应力筛降
对板施加大小为α的平均拉应变，其中r σα+<<10。

由于拉应力区已经达到屈服应力和屈服应变，应变进一步增大时应力的增长按模量e ，所以其应力为1+αe 。

对于原压应力区，压应变逐渐减小并出现拉应力。

由于这些都发生在弹性区，其应力和应变有线性的关系，其应变为αε-r ，应力为ασ-r 。

这样产生的平均应力为()b nte nt b /]22[αα+-。

在加载过程中，并不是板所有的宽度都能有效地抵抗拉力，只有原受压区的宽度为nt b 2-的板能够完全有效地抵抗拉力；而原受拉区的板由于已经达到屈服应力，应力的增加不能按原来的模量，而只是增加了αe 。

但是在卸载时情况发生了变化：随着应变的减小，板的所有宽度内的应力都随之以弹性模量1减小，板的所有宽度都是完全有效的。

设应变减小'α时外力为零，板内的拉应力和压应力达到平衡，有
()nt e nt b b 22'ααα+-= （2）
()()b nt e nt b /]22['ααα+-= （3）
此时残余拉应力区的拉应力为：
()αααe b nt b e ---
=-+121'1 （4） 其中的()αe b
nt b --12即为残余拉应力的下降。

当材料为理想弹塑性（e=0）时，残余拉应力的下降值为αb
nt b 2-。

1.2 受压并卸载引起的残余应力筛降
受压时同样可产生残余应力的筛降，但由于受压区没有达到屈服，所以要产生筛降效应需要压力达到一定的阈值。

从上面的推导可以看出产生筛降的机理是产生塑性应变，从而使得加载和卸载的线路不同所致。

所以只有当压应力足以产生塑性应变时才会出现筛降效应，由上面的分析可见，此时对应的平均压应变为r ε-1。

设板受到大小为θσ+-r 1的平均压应变，其中r εθ+<<10。

则残余压应力区的压应变为θ+1，压应力为θe +1。

残余拉应力区的拉应变为r ε-θ，拉应力减小为θσ-r 。

这样板产生的平均应力为()()()b nt e nt b r /]212[θσθ-++--。

设卸载后平均应变减小'θ后平均应力为零，则有
()()()[]nt nt b e b r 221'θσθθ---+= （5）
()()()[]b nt nt b e r /221'θσθθ---+= （6）
此时残余拉应力区的拉应力为
θθθσ)1(21'11e b
nt b r ---
=+-+- （7） 其中()θ)1(2e b nt b --为受拉区残余应力的下降的大小。

当材料为理想弹塑性时，残余拉应力的下降值为()θb
nt b 2-。

2 用有限元模拟筛降过程
对于板在受拉压情况下的卸载行为用有限元法进行了模拟。

考虑一块a*b 为1000mm*400mm 的矩形平板，厚度t 为10mm ，弹性模量E 为2e5MPa ，屈服应力y σ为300MPa ，屈服应变为1.5e-3，泊松比为0.3。

在中间宽度为320 mm 的区域，有大小为0.25y σ的残余压应力，在两侧的宽度各为40 mm 的区域有大小为屈服应力的残余拉应力。

2.1受拉并卸载引起的残余应力筛降
施加大小为0.001/0.0015的平均拉应变并卸载。

当屈服后没有硬化效应时，由式（4）可得其残余拉应力的下降为533.0)0015.0/001.0(400
804002=-=-αb bt b ，即经过筛降后残余拉应力为 300(1-0.533)=140MPa 。

对这一过程用MARC 程序进行了模拟，整个加载和卸载过程分为50步。

计算结果见图3，在第46步增量附近平均应力为零，由此可得出对应平均应力为零时的残余拉应力为
140Pma ，可以看出和理论值是一致的。

考虑有屈服硬化的情况，给定一个硬化值，设e 为0.09。

由式（4）求得筛降掉的残余拉应力为485.0)0015.0/001.0)(09.01(400
80400)1(2=--=--αe b bt b 。

筛降后的残余拉应力应为（1-0.485）300=154MPa 。

计算结果见图4，第46和第47步增量之间平均应力的值达到零，插值后对应的残余拉应力为154MPa ，和理论值也是一致的。

2.2 受压并卸载引起的残余应力筛降
在板的一端给出大小为-2的位移并恢复到零。

由于r σ的大小为0.25，则θ的值为2/1.5-0.75=0.583。

当没有屈服硬化时，由式（7）得到筛降后减少的残余应力为467.0583.0*400
804002=-=-θb nt b 。

由此计算出筛降后的残余拉应力为（1-0.467）*300=160MPa ，残余压应力为40MPa 。

由MARC 计算的结果为，平均应力为零时的残余拉应力与残余压应力分别为160MPa 和40MPa ，和公式得到的结果相一致。

当存在屈服硬化时，设e 值仍为0.09。

则由式（7）得到筛降后的残余应力的下降值为 425.0583.0*)09.01(*400
80400)1(2=--=--θe b nt b ，从而得到残余拉应力和残余压应力分别为（1-0.425）*300=173MPa 和43MPa 。

有限元模拟的结果分别为和172MPa 和42MPa ，亦和公式得到的结果吻合得很好。

2.3讨论
由式（4）和式（7）可以看出，应力的筛降和塑性应变的大小有关，与之成正比，并且和屈服硬化的程度有关，硬化越强，则筛降越小。

对于受拉时的残余应力筛降，考虑理想弹塑性材料：当平均应变达到r ε+1时，原受压区的应力达到屈服应力。

这时两区域的应力情况将相同，残余应力完全消失。

将r εα+=1代入式（4）得当e 为零时，残余应力的筛降量为1。

对于受压后的筛降效应，考虑没有屈服硬化的情况，当平均应变为2时，原受拉区的压应力达到屈服应力。

在此后的卸载过程中，两区域的应力曲线将重合，
残余应力降为零。

由-1+r ε-θ=-2得r εθ+=1，将r εθ+=1代入公式（7），当e 为零时，得残余应力降为零。

上面的讨论从另一个角度验证了公式的有效性。

当材料存在屈服硬化时，由于增大应变不能使两部分的应力达到一致，因此无法通过加载和卸载的过程将其残余应力筛降至零。

剩余的残余应力的水平和硬化的程度有关，剩余的无法筛降的残余拉应力的大小为e 。

如果屈服后模量仍为1，则不存在筛降的现象，如果屈服后模量降为0，则可将残余应力筛降至零。

3、 任意残余拉应力下板的平均应力-平均应变曲线
残余应力对于板的平均应力-平均应变关系的影响已经被很多学者研究。

有的学者[1，2]给出了考虑残余应力的平均应力-平均应变关系公式。

因为没有残余应力的筛降，板中的残余拉应力为屈服应力。

平均应力－平均应变曲线如图5（a ）所示。

图中三根有残余应力的曲线对应的残余压应力分别为0.1，0.2，0.3，其残余拉应力为1。

曲线大致可分为三段，第一段为无影响段，此时四条曲线是重合的；第二段为残余应力影响段，由于残余应力的大小不同，使曲线和无残余应力的平均应力-平均应变曲线产生了分离，并且分离的时间和残余应力的水平有关；第三段为影响消失段，此时曲线再度重合，并且各残余应力水平的曲线是在同一点重合的。

而对于经过了筛降的残余应力，板边的残余应力已经小于屈服应力。

这样就影响到了板的平均应力-平均应变曲线。

经过了残余应力的筛降，板的平均应力-平均应变曲线如图5（b ）所示。

图中的残余压应力的水平分别为0.3，0.2，0.1，0。

对应的残余压应力的水平分别为1，2/3，1/3，0。

经过了不同水平筛降的板的平均应力-平均应变曲线的第二段是一组平行线，和无残余应力的板的平均应力-平均应变曲线相交在不同的位置。

根据是否将残余压应力区和残余拉应力区分别考虑，研究带有残余应力的板的平均应力-平均应变关系的半经验方法有两种，下面用这两种方法分别得到带任意残余应力的板的平均应力-平均应变曲线。

3.1方法一
J.M. Gordo 和Guedes Soares[1] 研究了有残余
应力的板的平均应力-平均应变曲线，用经验的方法
得到了其公式。

其思路如下：首先研究带有残余应
力的刚性板的应力应变曲线，然后将板的柔度的概
念拓展并由此得到拓展的有效宽度。

将有效宽度作
为平均应力的一个折减系数对板的平均应力-平均
应变进行折减，从而得到板的平均应力-平均应变曲
线。

但是Gordo 和Guedes Soares 考虑的板中的受拉
的残余应力为材料的屈服应力。

下面就用这一思路
来研究残余应力经过了筛降的板的平均应力-平均
应变曲线。

研究无初始变形的刚性板，当板中没有残余应
力时，其应力应变关系可由下面的公式描述 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<<-≤=1
11111εεε
εσ （8） 对于有残余压应力1r σ和残余拉应力2r σ的刚性板，其平均应力-平均应变曲线如图6所示，共分为三段。

AB 段为完全有效段，断面上所有的部分都能有效地承受载荷。

BC 段为部分有效段，此时断面上中间部分的板已经达到屈服应力，随着应变的增加，应力不再增加，而是保持为屈服应力。

原受残余拉应力的板还能有效地承受载荷。

CD 段为完全屈服段，此时板中所有的部分都已经达到屈服应力。

板的强度达到最大并且随着平均应变的增加不再发生变化。

由对应力的分析可得B 点的坐标为1-1r σ。

对于C 点的坐标，以往研究的都是未经残余应力筛降的情况，横坐标为2。

考虑到残余应力的筛降，得其横坐标为21r σ+。

12=r σ时即无残余应力筛降的情况。

由此得到有残余应力的刚性板的平均应力-平均应变曲线为
()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤++<≤-+-+-<<=ε
σσεσσσσσεσσεεσ22121121
11111110r r r r r r r r r （9） 将有效宽度的概念进行拓展，定义板的有效柔度如下
εββ=e （10）
其中，=βE
t b y σ，为板的柔度。

定义板的有效宽度ϕ为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=111122e e e e ββββϕ （11）
由式（9）和式（11）得到带有残余压应力1r σ和拉应力2r σ-的板的平均应力-平均应变曲线
ϕσσ=a （12）
3.2 方法二
研究带有残余应力的板的强度的另一种方法是分别考虑残余拉应力区和残余压应力区，将结果综合后得到板的平均应力-平均应变曲线。

对于受残余拉应力的两边，认为这两部分一直能完全有效地承载，其应力应变关系即为材料的应力应变关系，于是有
⎩⎨⎧<++≤≤-=εσσεσεσ22
21110r r r e （13）
在受压区域，由于有残余应力，其有效柔度为
1r e σεββ+= （14）
由此得到其有效宽度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=111122e e e e ββββφ （15）
当中间部分的板能完全有效地承载时，其应力应变关系为
⎩⎨⎧≤--<≤+=εσσεσεσ111'1110r r r m
（16） 由此得到板中间部分的应力应变关系为
φσσ'm m = （17）
综合上面的分析得到板的平均应力-平均应变曲线
b t t b e m /)2)2((ησησσ+-=
（18）
3.3模拟结果及比较
用这两种方法得到的曲线的比
较见图7。

用有限元程序MARC 对
带有残余应力的板也进行了分析，
得到了平均应力－平均应变曲线
也见图7。

从中可以看出：
1． 从极限强度的结果来看，两种
方法计算的结果和有限元的结果
都是吻合得比较好的。

但是从曲线
的形状来看，方法二和有限元分析
的结果吻合的更好。

2． 从计算结果来看，方法二得到的结果于21r σε+=时取得最大
值（或者是一个折角点）。

但是其
曲线与无残余应力的板的平均应力-平均应变曲线相交于更早的一个地方，这与人们一般的认识似乎不相符合。

这一现象可能是由于下面的原因造成的。

在有残余应力的板中，对应于相同的平均应变，由于其边缘部分的塑性应变比没有残余应力的板的塑性应变小，使得有残余应力的板边能更有效地承载。

虽然有残余应力的板的中间部分的塑性应变较没有残余应力的板为大，但此时有效宽度对于应变已不太敏感。

综合两个方面的影响造成了带残余应力的板在屈服后的强度大于没有残余应力的板的强度。

方法一将板作为一个整体来考虑，将用平均应变定义的有效宽度作为板的平均应力的一个折减系数，从而在无初始变形的刚性板的平均应力-平均应变曲线的基础上得到了板的平均应力-平均应变曲线，没有考虑应变不同对于两部分的力学性能的影响。

方法二将板分开来处理，对于边缘受残余拉应力的板不考虑折减。

有限元分析得到的应力分布
结果表明这一做法是合理的。

对于中间部分的板，取E
t b y σβ=作为其柔度，而取1r e σεββ+=作为其有效柔度。

这一做法是基于以下的考虑：β是表示其几何与变形特征的一个参数，而就几何与变形特征而言，有残余应力的板和没有残余应力的板是没有什么不同的。

而有效柔度是用来求有效宽度的，是应变的函数，因此计算有效柔度时用中间部分板的实际平均应变1r σε+。

有限元计算的结果表明这一做法得到的结果是合理的。

4结语
本文导出了计算焊接残余应力的筛降水平的公式。

用有限元分析软件模拟了残余应力的筛降过程，分析的结果表明导出的公式是有效的。

本文还分析了残余应力的筛降对于板的平均应力-平均应变曲线的影响。

提出了两种生成平均应力－平均应变曲线的方法。

方法一将Gordo 和Guedes Soares 的计算带残余应力的板的平均应力-平均应变曲线的公式拓展到可以计算任意残余拉应力。

方法二分别考虑受残余拉应力区和残余压应力区的应力应变情况得到了任意残余拉应力下的计算板的平均应力-平均应变曲线的公式。

该公式考虑了板各部分应力不同的影响，因而更接近实际的情况，由其得到的带残余应力的板的强度在后崩溃阶段要大于无残余应力的板的强度。

与有限元分析的结果比较表明这一公式能更好地描述带残余应力的板的力学行为。

参考文献:
[1] J.M.Gordo and C.Guedes Soares, Approximate load shortening curves for stiffened plates under uniaxial compression ，Integrity of Offshore Structures-5, pp 189-211
[2] Yuren Hu, Jiulong Sun, An approximate method to generate average stress-strain curve with the effect of residual stresses for rectangular plates under uniaxial compression in ship structures, Marine structures 12(1999), 585-603
[3] 胡毓仁，孙久龙，船体总纵极限弯矩简化计算方法研究及程序开发，研究报告， 中国船级社上海规范研究所，上海交通大学船舶与海洋工程学院，1997
[4] C.Guedes Soares, Design Equation for the compressive Strength of Unstiffened Plate Elements with Initial Imperfections, J. Construct. Steel Research 9(1988), 287-310
[5] C.Guedes Soares, Design Equation for Ship Plate Elements under Uniaxial Compression, J. Construct. Steel Research 22(1992), 99-114
[6] C.Guedes Soares and J. M. Grodo, Compressive Strength of Rectangular Plates Under Biaxial
Load and Lateral Pressure, Thin-Walled Structures 24(1996), 231-259
[7] Jeom Kee Paik and P. Terndrup Pedersen, Ultimate and Crushing Strength of Plated Structures, Journal of Ship Research, V ol. 39, No. 3, Sept. 1995, pp. 25-261
[8] G. H. Little, The collapse of rectangular steel plates under uniaxial compression, The Structural Engineer, V ol. 58B, No. 3, Sep. 1980
[9] Y. Ueda and T. Yao, The Influence of Complex Initial Deflection Modes on the Behaviour and Ultimate Strength of Rectangular Plates in Compression, J. Construct. Steel Research 5 (1985), 265-302
[10] 白勇徐向东崔维成，船体结构极限强度的影响参数与敏感度探讨，船舶力学，第2卷，第5期，1998年10月。

[11] 欧文.休斯著，张祥孝主译，船舶结构设计，华南理工大学出版社，1990年。