2019年高考数学二轮复习解题思维提升专题17选讲系列训练手册23

专题17 选讲系列
【训练目标】
1、 掌握极坐标与直角坐标的转换公式及意义；掌握直线，圆，椭圆，双曲线的参数方程，能熟练的将参数
方程转化为普通方程；
2、 理解参数方程中参数的几何意义，并能利用参数解决简单的问题；
3、 掌握极坐标中极径的几何意义，能正确使用它来求线段长度；理解极角的含义；
4、 掌握极坐标与参数方程和解析几何的综合问题。

5、 理解绝对值的含义，能解简单的绝对值不等式；
6、 掌握几何意义法解绝对值不等式；能正确的将绝对值函数化为分段函数，并根据分段函数解不等式；
7、 掌握绝对值的三角不等式；理解恒成立问题和存在性问题；
8、 初步掌握综合法和分析法证明不等式。

【温馨小提示】
高考中极坐标与参数方程、绝对值不等式的解法及性质一般放在试卷的最后一题，二选一，共10分，属于容易题，必拿分题。

题目的类型并不多，平时做题时多总结即可。

【名校试题荟萃】
1、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为31x t
y t =-⎧⎨=+⎩
（t 为参数）.在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中,曲线。

（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程; （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.
【答案】（1），
（2）【解析】
（1）由3,{
1,
x t y t =-=+消去t 得
,
所以直线l 的普通方程为
.
由,
得.
将
代入上式,
得曲线C 的直角坐标方程为
,即
.
所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为法2:设与直线l 平行的直线为
,
当直线l '与圆C 相切时,得,
解得0b =或4b =-（舍去）, 所以直线l '的方程为0x y +=.
所以直线l 与直线l '的距离为
.
所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为2、在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：（θ为参数），在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：
．
（1）写出曲线1C 和2C 的普通方程；
（2）若曲线1C 上有一动点M ，曲线2C 上有一动点N ，求使MN 最小时M 点的坐标． 【答案】
（1）， （2）
此时，，结合可解得：，，
即所求M 的坐标为．
3、在直角坐标系xoy 中，已知曲线1C 、2C 的参数方程分别为1C ：
，2C ：
．
（1）求曲线1C 、2C 的普通方程；
（2）已知点()1,0P ，若曲线1C 与曲线2C 交于A 、B 两点，求PB PA +的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
（1）曲线1C 的普通方程为：13
422=+y x ，
当2
k θπ
≠+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：，
当2
k θπ
=
+π，k ∈Z 时，曲线2C 的普通方程为：1=x ； （或曲线2C ：
）
4、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧+-=-=t
y t
x 27（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：
.
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）设曲线C 与直线l 的交点为Q B A ,,是曲线C 上的动点，求ABQ ∆面积的最大值．
【答案】（1）， （2）
2
【解析】
（1）由⎩⎨
⎧+-=-=t
y t
x 27消去t 得
，所以直线l 的普通方程为
，
由＝
，得，
化为直角坐标方程得：
，所以曲线C 的直角坐标方程为
.
5、已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是
.
（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于.A B 两点，且||AB =l 的倾斜角α的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）由θρcos 4=得.
∵
∴曲线C 的直角坐标方程为：
.
（2）将直线的参数方程代入圆的方程
化简得
. 设A ,B 两点对应的参数分别为21,t t ，则21,t t 是上述方程的两根，则有
. ∴
∴
∵[)πα，0∈∴
.
6、已知直线l
的参数方程为142x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=．
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程；
（2）若直线与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值．
【答案】 （1），
（2
）
（2）将π
6
θ=
代入曲线C 的极坐标方程2cos ρθ=
得ρ= ∴A
点的极坐标为π6⎫
⎪⎭
． 将π
6
θ=
代入直线l 的极坐标方程得
，解得ρ=
∴B 点的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，
∴AB =
7、平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为1
1
x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
．
（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程;
（2）已知与直线l 平行的直线l '过点()20M ,
，且与曲线C 交于A ，B 两点，试求MA MB ⋅． 【答案】 （1）
，2
2y x =
（2）
将其代入曲线C 的直角坐标方程可得，
设点A ，B 对应的参数分别为1t '，2
t '． 由一元二次方程的根与系数的关系知12
163t t ''=-，12
4
3
t t ''+=． ∴．
8、在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋acos φ，y ＝asin φ（φ为参数，实数a ＞0），曲线C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φ，y ＝b ＋bsin φ（φ为参数，实数b ＞0）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝
α⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ≥0，0≤α≤π2与C 1交于O ，A 两点，与C 2交于O ，B 两点．当α＝0时，|OA|＝2；当α＝π2时，|OB|
＝4.
（1）求a ，b 的值；
（2）求2|OA|2
＋|OA|·|OB|的最大值． 【答案】（1）1，2 （2）42＋4
化为普通方程为x 2
＋（y －b ）2
＝b 2
，展开可得极坐标方程为ρ＝2bsin θ， 由题意可得当θ＝π
2
时，|OB|＝ρ＝4，∴b ＝2.
（2）由（Ⅰ）可得C 1，C 2的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝4sin θ. ∴2|OA|2
＋|OA|·|OB|＝8cos 2
θ＋8sin θcos θ＝4sin 2θ＋4cos 2θ＋4 ＝42sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋4， ∵2θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋4的最大值为42＋4， 当2θ＋π4＝π2，θ＝π
8时取到最大值.
9、已知函数
．
（1）当1a =时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）0x ∃∈R ，()03f x ≤，求a 的取值范围．
【答案】（1） （2）[]5,1-．
【解析】 （1）当1a =时，，
①当2x ≤-时，
，
令()3f x ≤，即213x --≤，解得2x =-，
②当21x -<<时，()3f x =，显然()3f x ≤成立，∴21x -<<， ③当1x ≥时，()21f x x =+，
令()3f x ≤，即213x +≤，解得1x ≤， 综上所述，不等式的解集为．
（2）∵
，
∵0x ∃∈R ，有()3f x ≤成立，∴只需23a +≤，解得51a -≤≤， ∴a 的取值范围为[]5,1-． 10、已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.
【答案】（1） 解集为
（2） 实数的取值范围是
.
（2）设，则.
因为当且仅当
时取等号，
所以
.
因为函数的值域为，
所以有解，即. 因为，所以，即.
所以实数的取值范围是
11、已知不等式的解集为．
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
12、已知函数．
（1）当时，求的解集；
（2）当时，恒成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）
【解析】
（1）当时，由，可得，①或②或③
解①得：
解②得：
解③得：
综上所述，不等式的解集为
（2）若当时，成立，
即
故
即
对时成立
故
13、已知函数．
（1）解不等式
（2）若对任意的，任意的，使得成立，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）或
14、已知
（1）当a＝—1，b＝2时，解不等式f（x）≥0；
（2）若存在a，b的值，使不等式m成立，求实数m的最小值．【答案】（1）（2）-2
【解析】
（1），
解得．
（2）由得
，
故，当且时取等号．
故．∴m的最小值为．
15、设，.
（1）若
的最大值为，解关于的不等式
；
（2）若存在实数使关于的方程有解，求实数的取值范围．
【答案】 （1）； （2）
16、在极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=,曲线C 与曲线D 关于极点对称． （1）以极点为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系,求曲线D 的极坐标方程；
（2）设P 为曲线D 上一动点,记P 到直线3sin -=θρ与直线2cos =θρ的距离分别为1d ,2d ，求1d +2d 的最小值． 【答案】（1） （2）
【解析】 （1）设
是曲线上任意一点,则
关于原点的对称点
在曲线
上，且
，将
代入
得，
则
，即曲线的极坐标方程为。

（2）由曲线
的极坐标方程为
得直角坐标方程为
，设
，
直线与直线
的直角坐标方程分别为，
从而
，
故
的最小值为。

17、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
.
（1）若曲线C 上一点Q 的极坐标为0,2πρ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，且l 过点Q ，求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；
（2）设点()
1P --，l 与C 的交点为,A B ，求
11PA PB
+的最大值. 【答案】（1）2228x y += （2）
43
（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得，，
化简得
，①
可得
，故1t 与2t 同号
，
所以6
π
α=
时，
有最大值43. 此时方程①的340∆=>，故11PA PB +有最大值43
. 18、已知函数
（0a > ）.
（1）当2a =时，解不等式()4f x ≤； （2）若()1f x ≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）{x|0≤x≤ 8
3
} （2）[2，＋∞）.
（2）①若a ＞1，f （x ）＝（a －1）|x －1|＋|x －1|＋|x －a|≥a－1，当且仅当x ＝1时，取等号，故只需a －1≥1，得a≥2.
②若a ＝1，f （x ）＝2|x －1|，f （1）＝0＜1，不合题意.
③若0＜a ＜1，f （x ）＝a|x －1|＋a|x －a|＋（1－a ）|x －a|≥a（1－a ）， 当且仅当x ＝a 时，取等号，故只需a （1－a ）≥1，这与0＜a ＜1矛盾. 综上所述， a 的取值范围是[2，＋∞）.
19、已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 2=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建
立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是
（t 为参数）.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）设点P )0,(m ，若直线l 与曲线C 交于B A ,两点，且，求实数m 的值.
【答案】（1） （2）1或21+或21-.
【解析】
（1）由θρcos 2=，得：，∴，即
，
∴曲线C 的直角坐标方程为
.
由，得，即
，
∴直线l 的普通方程为
.
，解得：1=m 或21±=m ，都符合31<<-m ，因此实数m 的值为1
或21+或21-.
20、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），圆C 的标准方程为
.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程；
（2）若射线与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，
求a 的值． 【答案】（1） （2）94
a =
【解析】
（1）在直线l 的参数方程中消去t ，可得，，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入以上方程中，
所以，直线l 的极坐标方程为.
同理，圆C 的极坐标方程为
.
把代入，得，
所以94
a =
. 21、已知函数f （x ）＝|x －1|.
（1） 解不等式f （2x ）＋f （x ＋4）≥8； （2） 若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：
()
f ab a ＞()b f a
. 【答案】（1）⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
x ≤－
10
3或x ≥2 （2）见解析
【解析】
（Ⅰ）f （2x ）＋f （x ＋4）＝|2x －1|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－3x －2，x ＜－3，
－x ＋4，－3≤x ＜12，
3x ＋2，x ≥1
2
，
当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－10
3；
当－3≤x ＜1
2时，－x ＋4≥8无解；
当x ≥1
2
时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.
所以不等式f （2x ）＋f （x ＋4）≥8的解集为⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x ≤－
103或x ≥2.
（II ）证明：
()
f ab a ＞()b f a 等价于f （ab ）＞|a |()b f a
，即|ab －1|＞|a －b |. 因为|a |＜1，|b |＜1，
所以|ab －1|2
－|a －b |2
＝（a 2b 2
－2ab ＋1）－（a 2
－2ab ＋b 2
）＝（a 2
－1）（b 2
－1）＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |.故所证不等式成立．……………10分
22、已知函数
．
（1）求函数()f x 的最小值a ；
（2）在（Ⅰ）的条件下，设,R m n +
∈，且1m n +=，求证：．
【答案】（1）2a = （2）见解析
23、已知函数f （x ）＝|x ＋2|－|ax －2|．
（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）≥2x＋1的解集；
（2）若不等式f （x ）＞x －2对x ∈（0，2）恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）{x|x≤－5或x ＝1} （2）[－1，3] 【解析】
（1）当a ＝2时，
，
当x≤－2时，由x －4≥2x＋1，解得x≤－5； 当－2＜x ＜1时，由3x≥2x＋1，解得x ∈∅； 当x≥1时，由－x ＋4≥2x＋1，解得x ＝1． 综上可得，原不等式的解集为{x|x≤－5或x ＝1}．
24、已知曲线C 的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立
平面直角坐标系，直线l 的参数方程为（t 为参数）.
（1）写出直线l 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；
（2）将曲线C 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到曲线D ，设曲线D 经过伸缩变换
',
'2,
x x y y =⎧⎨
=⎩得到曲线E ，设曲线E 上任一点为(),M x y 12y +的取值范围. 【答案】（1）见解析 （2）[]4,8. 【解析】
（1）直线l 的一般方程为， 曲线C 的直角坐标方程为
.
因为
，所以直线l 和曲线C 相切.
25、已知函数
的定义域为R ；
（1）求实数m 的取值范围；
（2）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足
，
求的最小值．
【答案】（1） （2）
【解析】 （1）由题意可知
恒成立，令，
去绝对值可得：，
画图可知()g x 的最小值为-3，所以实数m 的取值范围为3m ≤-； （2）由（1）可知
，所以
，
，
当且仅当，即等号成立，
所以的最小值为3
5
.
26、已知函数
（1）当1a =时，求不等式()2≥x f 的解集；
（2）若()x x f 2≤的解集包含⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,2
1，求a 的取值范围.
【答案】（1） （2）
（2）因为()x x f 2≥的解集包含⎥⎦
⎤⎢⎣⎡1,2
1不等式可化为1≤+a x
解得
，由已知得11211
a a ⎧
--≤
⎪⎨⎪-+≥⎩，
解得302a -
≤≤，
所以a 的取值范围是3,02⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦. 27、在极坐标系中， 已知圆C 的圆心C
4
π
）， 半径r
（1） 求圆C 的极坐标方程；
（2） 若 α ∈ 0,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， 直线l 的参数方程为为参数）， 直线l 交圆C 于A 、 B 两点，
求弦长|AB |的取值范围． 【答案】（1） （2）]32,22[
【解析】 （1
）由)4
C π
得，C 直角坐标(1,1),所以圆C 的直角坐标方程为
, 由
爱看书的康强
爱看书的康强 得，圆C 的极坐标方程为。