高中数学：归纳法教学课件展示课件新课标人教A版选修2

n k 1 时，
（传递性）
（二）、数学归纳法的步骤
（1）证明当
n 取第一个值 n0 (n0 1 或 2) 时结论正确
n k (k N , 且k n0 ) 时结论正

（2）假设当
确，并证明当 n k 1 时结论也正确。 根据(1)(2)知对任意的 n N 且n n0 时命题成立。 （1） 注： 两个步骤缺一不可：仅靠第一步不能说明结 论的普遍性；仅有第二步没有第一步，就失 去了递推的依据。 （2）只有把第一、二步的结论结合在一起才能得 出普遍性结论。因此完成一二两步后，还要 做一个总的结论。 （3）数学归纳法用来证明与正整数有关的命题。
一、复习与引入
1、在等差数列
an 中，已知首项为
（ 不 完 全 归 纳 法 ）
a1 ，公差为 d，
an
a1 a1 a2 a1 d a3 a2 d a1 2 d a4 a3 d a1 3 d
an a1 (n 1)d

像这种由一 系列有限的 特殊事例得 出一般结论 的推理方法， 通常叫做归 纳法。
（三）数学归纳法的应用举例
例1、用数学归纳法证明 1＋3＋5＋‥＋（2n－1）＝ n2 证明： （1）当n=1时，左边＝1，右边＝1，等式成立。 （2）假设当n＝k时，等式成立，即 2 （假设） 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）＝ k 那么当n=k+1时 1＋3＋5＋‥＋（2k－1）+[2(k+1)－1］ ＝ k2 + [2(k+1)－1］ ＝ k2 ＋2k＋1 （利用假设） ＝ （k+1）2 即当n=k+1时等式也成立。 根据（1）和（2）可知，等式对任何 n N 都成立。
那么当
即
ak 1 a1 k 1 1 d 成立吗？
n k 1 时命题成立吗？
综(1)(2)知命题成立。
证明： （1）当 n 1时，左边 a1 ，右边 a1 0d a1 ， 命题成立。 （依据） （2）假设当
ak a1 ( N*)时,等式成立,就是 ak a1q
k 1
第 那么当n =k+1时,就是 二 ak 1 ak q 步
(a1q )q a1q
k
k 1
这就是说，当n =k +1时，等式也成立。
假设当n =k(k 1,且k N*)时,等式成立,就是 1 1+ 4+7+ +(3k-2)= k (3k 1) 2 那么当n =k+1时,就是
1
2
3
……
k
k+1
（一）、数学归纳法的定义（原理）
n0 ( 例 n0 1) 时命题成立, 然后假设当 n k (k N , 且k n0 ) 时命题成立， 并证明当 n k 1 时命题也成立，
先证明当 n 取第一个值 那么就证明了这个命题成立。 因为证明了这一点，就可断定这个命题对于 第一个值后面的所有正整数也都成立。 这种证明方法叫做
2、粉笔盒内的粉笔是什么颜色的？ 结论：盒内粉笔都是白色的 （完全归纳法）
想 一 想 ：
由两种归纳法得出的结论一定正确吗？
例： an
(n 5n 5)
2
2
说 （1）不完全归纳法有利于发现问题，但结论 不一定正确。 明：
（2）完全归纳法结论可靠，但一一核对困难。
二、新课
例 摆砖问题 （取n块砖）
第 二 步
1+ 4+7+ +(3k 2) [3(k+1) 2] 1 k (3k 1)+[3(k+1) 2] 2 1 (3k 2 5k+2) 2 1 = (k+1)[3(k+1)-1] 2 这就是说，当n =k +1时，等式也成立。
n k (k 1且k N ) 时命题成立，即
*
那么当
即当 n k 1 时命题成立。 （结论） 根据(1)(2)知当对任意的 n N 命题成立。
ak 1 ak d a1 (k 1)d d a1 kd a1 (k 1) 1 d
n取
数学归纳法。
例：用数学归纳法证明首项为
a1 ，公差为 d 的 等差数列 an 的通项公式为 an a1 (n 1)d
。
分析： （1）当
n 1 时， n a1 n 1 d 成立吗？ a （2）假设当 n k (k 1且k N*) 时命题成立， 即 ak a1 k 1 d
练习：用数学归纳法证明
1、1 2 2 2
2 n 1
2 1
n
2、首项是
a1 ，公比是 q
n 1
的等比数列的通项公式是
an a1q
1 3、1 4 7 (3n 2) n(3n 1) 2
三、小结
归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法。 数学归纳法的原理与科学性：基础正确；可递推。 数学归纳法的步骤：两个步骤，一个结论。 数学归纳法的优点：可以帮助我们 认识 事物 由特殊到一般、由有限到无限。 由简到繁、
四、作业
习题2.1
1、（1）（2）
假设当n =k(k 1,且k N*)时,等式成立,就是 1+2+2 + +2 =2 -1
2 k-1 k
那么当n =k+1时,就是
第 二 步
1+2+22 + +2k-1 2k (2 -1)+2
k k
22 -1
k
=2 -1
k+1
这就是说，当n =k +1时，等式也成立。