华师版九年级数学上册教学课件-第24章 复习

2.如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝ 3.点 D 为 BC 边 上一点，且 BD＝2AD，∠ADC＝60°.求△ABC 的周长(结果保留 根号).
[解析] 要求△ABC的周长，先通过解Rt△ADC求出CD和 AD的长，然后根据勾股定理求出AB的长．
解：在 Rt△ADC 中， ∵sin ∠A DC ＝AADC ， ∴A D＝sin ∠A CA DC＝sin 630°＝2. ∴BD＝2AD＝4. ∵t an ∠A DC ＝DA CC， ∴DC＝tan∠ACADC＝tan630°＝1. ∴BC＝BD＋DC＝5. 在 Rt△ABC 中，AB＝ AC2＋BC2＝2 7. ∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC＝2 7＋5＋ 3.
又BC－CD＝BD
5 x x 4 3
解得x=6
B
D
C
∴CD=6
(2) BC=BD+CD=4+6=10=AD 在Rt△ACD中 AC AD2 CD2 102 62 8 在Rt△ABC中
AB AC 2 BC 2 64 100 2 41
sin B AC 8 4 41 AB 2 41 41
课堂小结
sin
A
A的对边 斜边
a c
cos
A
A的邻边 斜边
b c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
B
ca
A bC
sin
B
B的对边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
解直角三角形的一般思路是：有斜(斜边)用弦(正弦、余 弦)，无斜用切(正切)，宁乘勿除，取原避中．对于较复杂的 图形，要善于将其分解成简单的图形，并借助桥梁(相等的边、 公共边、相等的角等)的作用将两个图形有机地联系在一起， 从而达到解题的目的．
tan 30 3 3
sin 45 2 2
cos 45 2 2
tan 45 1
30° ＋
60° =
90°
sin 60 3 2
cos60 1 2
tan 60 3
解直角 三角形
∠A＋ ∠ B＝90°
a2+b2=c2
三角函数 关系式

a csin A ccosB b tan A b c cos A c sin B a
5
值分．析：题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在 Rt△ACD和ABC中求得，由AD＝BC，图中CD＝BC－BD， 由此可列方程求出CD． A
BD
C
解：（1）设CD＝x，在Rt△ACD中，cos∠ADC= 3 ,
5
x 3 , AD 5 x
AD 5
3
A
AD BC , BC 5 x, 3
1
2
3
sin30°＝ 2 ，sin45°＝ 2 ，sin60°＝ 2 ；
3
2
1
cos30°＝ 2 ，cos45°＝ 2 ，cos60°＝ 2 ；
3
tan30°＝ 3 ，tan45°＝ 1 ，tan60°＝ 3 .
3．解直角三角形的依据
(1) 在 Rt△ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， a ， b ， c 分别 是 ∠ A ， ∠B,∠C的对边．
解法：①一边一锐角，先由锐角关系求出另一锐角；知 斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一 直角边，再用正弦或勾股定理求斜边．②知两边：先用勾股 定理求另一边，再用边角关系求锐角．③斜三角形问题可通 过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
随堂练习
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4， AD＝BC，cos∠AD3C= ，求：（1）DC的长；（2）sinB的
三边关系： a2＋b2＝c2 ；
三角关系： ∠A＝90°－∠B ；
a
边角关系：sinA＝cosB＝ c
sinA
tanA＝ cosA
，tanB＝
，cosA＝sinB＝bc ，
sinB
cosB
.
(2)直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是 边)，就可以求出其余的3个未知元素．
解：(1)由题意得∠ACB＝45°，∠A＝90°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝610(米)． (2)DE＝AC＝610，在 Rt△BDE 中， tan∠BDE＝DBEE， ∴BE＝DE·tan39°. ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE·tan39°＝610－610×tan39°≈116(米)． 答：大楼的高度 CD 约为 116 米．
第24章 解直角三角形 复习和小结
知识构架
A
b
c
C aB
锐角三角 函数
特殊角的三 角函数
解直角三 角形
简单实际 问题
锐角三角 函数
（两边之比）
sin A a c
cos A b c
tan A a b
特殊角的三 角函数
3 30°2 1
1 45° 2 1
1 60° 2
3
sin 30 1 2
cos30 3 2
tan A c a a b b
sin A cosB cos A sin B
计算器
由锐角求三角函数值 由三角函数值求锐角
简单实 际问题
构建 数学模型
解直角三角形
梯形 组合图形 三角形
作高转 化为直 角三角 形
回顾思考
1．锐角三角函数的定义
如图所示：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，
3.如图所示，电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼， 某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔 顶B的仰角为39°.
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC；
(2)求大楼的高度CD(精确到1米)．
[解析] (1)利用△ABC是等腰直角三角形易得AC的长；
(2)在Rt△BDE中，运用直角三角形的边角关系即可求出 BE的长，用AB的长减去BE的长度即可．
解应用题时，先要将实际问题转化为数学问题，找出直角三 角形并寻找联系已知条件和未知量的桥梁，从而利用解直角 三角形的知识得到数学问题的答案，最后得到符合实际情况 的答案．
∠B，∠C 的对边．
(1)∠A 的正弦：sinA＝∠A斜的边对边＝ac；
∠A的邻边 (2)∠A的余弦：cosA＝ 斜边
b
＝c；
∠A的对边 (3)∠A的正切：tanA＝ ∠A的邻边
a
＝b .
[易错点] 忽视用边的比表示锐角的正弦、余弦和正切的前 提是在直角三角形中．
2．30°，45°，60°角的三角函数值