2020版高考数学刷题小卷练：16 Word版含解析

刷题小卷练16 平面向量的概念及线性运算
小题基础练⑯
一、选择题1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b
→与BA→都是单位向量，则a＝b；③向量AB
相等．则所有正确命题的序号是( )
A．①B．③
C．①③D．①②
答案：A
解析：根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位
向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；
向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．
2．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；
③若λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；
④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：C
解析：①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因
为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，
故可以比较大小．③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0；④错误．当
λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．3．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD→等于( )
A ．－BC →＋12BA →
B ．－B
C →－12
BA
→ C.BC →－12BA → D.BC →＋12
BA
→ 答案：A
解析：∵D 是△ABC 的边AB 的中点
∴CD →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫CA →＋CB → ∵CA
→＝BA →－BC →， ∴CA →＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫BA →－BC →－BC →＝－BC →＋12
BA → 故选A.
4．[2019·
合
肥
模
拟]已知向量a ，b 是两个不共线的向量，若向量m ＝4a ＋b 与n ＝a －λb 共线，则实数λ的值为( )
A ．－4
B ．－
14
C.1
4 D ．4
答案：B
解析：因为向量a ，b 是两个不共线的向量，所以若向量m ＝4a ＋b 与
n ＝a －λb 共线，则4×(－λ)＝1×1，解得λ＝－1
4
，故选B.
5．[2019·石家庄质检(一)]在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD
→＝12DA
→，设CB →＝a ，CA →＝b ，则CD →＝( ) A.1
3a ＋2
3b B.23a ＋1
3
b
C.35a ＋4
5b D.45a ＋3
5
b
答案：B
解析：CD
→＝CA →＋AD →＝CA →＋2
3AB →＝CA →＋2
3(AC →＋CB →)＝13CA →＋23CB →＝1
3
b ＋2
3
a ，故选B.
6．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC
→＝a ＋μb (λ，μ∈R )，那么A ，B ，C 三点共线的充要条件是( )
A ．λ＋μ＝2
B ．λ－μ＝1
C ．λμ＝－1
D ．λμ＝1
答案：D 解析：由AB
→＝λa ＋b ，AC →＝a ＋μb (λ，μ∈R )及A ，B ，C 三点共线得AB →＝t AC →，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ，即可得⎩⎨⎧
λ＝t ，1＝tμ，
所以λμ＝1.故选
D.
7．[2019·
江
西
赣
州
寻
乌
中
学
模
拟]在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为A
D 的中点，若AO
→＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝( )
A ．1 B.
12
C.4
3 D.
2
3 答案：D
解析：由题知，AO →＝12AD →＝12(AB →＋BD →)．又因为BD ＝AB ×cos60°＝1，
所以BD →＝13BC →，故AO →＝12AB →＋16BC →，因此λ＋μ＝12＋16＝2
3，故选D.
8．[2019·
太
原
模
拟]设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA
→＋EB →＋FC →＝( )
A.1
2DA → B.13DA → C.14
DA → D ．0 答案：D
解析：因为D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，所以DA →＋EB
→＋FC →＝1
2(BA →＋CA →)＋1
2(AB →＋CB →)＋1
2(AC →＋BC →)＝1
2(BA →＋AB →)＋1
2
(CB →＋BC
→)＋1
2
(CA →＋AC →)＝0，故选D. 二、非选择题
9．已知a 与－b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，
则实数λ的值为________．
答案：－
13
解析：因为a ＋λb 与－(b －3a )共线，所以存在实数μ，使得a ＋λb ＝μ(3a
－b )，即⎩⎨
⎧
1＝3μ，
λ＝－μ，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
μ＝13，λ＝－1
3.
10．[2019·吉林长春
模
拟]已知平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝
3，则|a ＋b ＋c |＝________.
答案：2 解析：由题意可知a ，b ，c 的两两夹角均为120°，由|a |＝|b |＝1可得a
＋b 与c 反向，且|a ＋b |＝1，从而|a ＋b ＋c |＝2.
11．[2019·
盐城
模
拟]在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD ＝
14
AC
→＋λAB →(λ∈R )，则AD 的长为________．
答案：3
3
解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以1
4＋λ＝1，解得λ＝3
4，如图，过
点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝1
4
AC
→，AM →＝34
AB
→，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝33.
12．下列结论：
①若a ，b 共线，则一定存在实数λ，使得a ＝λb ；
②若存在实数λ，使得a ＝λb ，则a ，b 共线； ③若对任意实数λ恒有a ＝λb ，则a ＝b ＝0；
其中正确结论的序号是________．
答案：②③
解析：①中，若a ≠0，b ＝0，则不存在实数λ，使得a ＝λb ，①不正确；②中，若b ＝0，则a ＝0，两个零向量共线，若b ≠0，根据共线向量定理知a ，b 共线，②正确；③中，只有当a ＝b ＝0时，对任意λ恒有a ＝λb ，③正
确．
课时增分练⑯
一、选择题
1．设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使
a
|a|＝
b
|b|成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
答案：C
解析：因为向量a
|a|的方向与向量a 相同，向量b
|b|的方向与向量b 相同，
且
a
|a|＝b
|b|
，所以向量a 与向量b 方向相同，故可排除选项A ，B ，D.当a ＝
2b 时，
a
|a|＝2b
|2b|＝b
|b|，故a ＝2b 是a
|a|＝b
|b|成立的充分条件． 2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a
＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0.假
命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D 解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假
命题的个数是3.
3．[2019·四川成都七中一
诊
]已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2
OP
→＝2OA
→＋BA →，则( ) A ．点P 在线段AB 上
B ．点P 在线段AB 的反向延长线上
C ．点P 在线段AB 的延长线上
D ．点P 不在直线AB 上
答案：B
解析：∵2OP
→＝2OA →＋BA →，∴2OP →－2OA →＝BA →，即2AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上．故选B. 4．[2019·河南中原名校质检三]
如图，已知在△ABC 中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，
E 为线段AD 的中点．若CE
→＝m AB →＋n AC →，则m ＋n ＝( ) A ．－1
3 B ．－
1
2
C ．－1
4 D.
1
2
答案：B
解析：依题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝2
3AB
→＋1
3AC →，∴CE →＝CA →＋AE →＝CA →＋12AD →＝－AC →＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23AB →＋13AC →＝－AC →＋1
3AB
→＋1
6AC →＝13AB →－56AC →.∵CE →＝m AB →＋n AC →，∴m ＝13，n ＝－56，∴m ＋n ＝1
3
－5
6＝－1
2
.故选B.
5．[2019·洛阳统考(一)]已知a ，b 是不共线的向量，AB
→＝m a ＋b ，AC →＝a ＋n b (m ，n ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则m ，n 的关系一定成立的是(
)
A ．m ＝n
B ．m ＝－n
C ．mn ＝－1
D ．mn ＝1
答案：D 解析：∵A ，B ，C 三点共线，∴存在一个实数t ，使得AB
→＝t AC →，∴m a ＋b ＝t a ＋tn b ，∴⎩⎨⎧
m ＝t ，
tn ＝1，
∴mn ＝1，故选D.
6．[2019·
郑
州
一
测]如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN
上且AP
→＝⎝
⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211BC →，则实数m 的值为( )
A ．1 B.13
C.
9
11 D.
5
11
答案：D
解析：AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211BC →＝⎝
⎛⎭⎪⎫m ＋211AB →＋211⎝ ⎛⎭⎪⎫AC →－AB →＝m AB →＋
2
11
AC
→，设BP →＝λBN →(0≤λ≤1)，则AP →＝AB →＋λBN →＝AB →＋λ(AN →－AB →)＝(1－λ)AB
→＋λAN →，因为AN →＝1
3AC →，所以AP →＝(1－λ)AB →＋1
3
λAC →，则
⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝1－λ，211＝1
3
λ，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
λ＝611，
m ＝511
，故选D.
7．[2019·广东惠州
二
调]如图，在正方形ABCD 中，点E 为DC 的中点，点F 为BC 上靠近点B 的三
等分点，则EF
→＝( )
A.1
2AB →－13AD → B.14AB →＋1
2AD → C.1
3AB →＋12AD → D.12AB →－23
AD → 答案：D
解析：在△CEF 中，EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝1
2DC →.因为点F 为BC 上靠近点B 的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝1
2
DC →＋2
3CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－2
3
AD →.故选D. 8．[2019·
辽宁
联
考]已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足
OP
→＝131
2OA
→＋1
2
OB →＋2OC →，则P 一定为△ABC 的( ) A ．AB 边中线的三等分点(非重心)
B ．AB 边的中点
C ．AB 边中线的中点
D ．重心 答案：A
解析：如图所示，设AB 的中点是E ，则OP
→＝131
2OA →＋12OB →＋2OC →＝1
3
(OE →＋
2OC
→)．∵O 是△ABC 的重心，∴2EO →＝OC →， ∴OP
→＝1
3
(OE →＋4EO →)＝EO →，∴点P 在AB 边的中线上，是中线的三等分点，不是重心．故选A.
二、非选择题
9．[2019·吉林模拟]在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，若AB
→＝λAM
→＋μDB →，则λμ＝________. 答案：
29
解析：∵DB
→＝AB →－AD →＝AB →－BC →＝AB →－2BM →＝3AB →－2AM →，∴AB →＝λAM
→＋3μAB →－2μAM →，∴(1－3μ)AB →＝(λ－2μ)AM →，∵AB →和AM →是不共线向量，∴⎩⎨
⎧
1－3μ＝0，
λ－2μ＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
μ＝13，λ＝23
，∴λμ＝2
9
.
10．如图A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内
一点D ，若OC
→＝x OA →＋y OB →，则x ＋y 的范围为________． 答案：(－∞，－1)
解析：∵C ，O ，D 三点共线，
∴OD
→＝λOC →＝λx OA →＋λy OB →(λ<0)． 又∵A ，B ，D 三点共线，∴λx ＋λy ＝1，∴x ＋y ＝1λ
. ∵0<|OD →|<|OC →|，λ＝－|OD →||OC
→|， ∴－1<λ<0，∴1λ
<－1，即x ＋y <－1. 所以x ＋y 的范围为(－∞，－1)．
11．设两个非零向量a 和b 不共线．
(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD
→＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；
(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． 解析：(1)证明：因为AB
→＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，所以BD →＝BC
→＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝5(a ＋b )＝5AB →， 所以AB
→，BD →共线， 又AB
→与BD →有公共点B ， 所以A 、B 、D 三点共线．
(2)因为k a ＋b 与a ＋k b 共线，
所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )．
即⎩⎨⎧ k ＝λ，1＝λk，
解得k ＝±1. 即k ＝±1时，k a ＋b 与a ＋k b 共线．。