2020版高考文科数学二轮新考势练习：3-2 不等式与线性规划 自测自检

1．若关于x 的不等式－1
2x 2＋mx ＋n >0的解集为{x |－1<x <2}，则m n 的值为( )
A.12
B ．2
C ．－12
D ．－2
解析：原不等式等价于x 2－2mx －2n <0，依题意， 知－1和2是方程x 2－2mx －2n ＝0的两根， ∴⎩⎨⎧－1＋2＝2m ，－1×2＝－2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝1，∴m n ＝1
2. 答案：A
2．不等式4x －2≤x －2的解集是( )
A ．(－∞，0]∪(2，4]
B ．[0，2)∪[4，＋∞)
C ．[2，4)
D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)
解析：①当x －2>0，即x >2时，不等式可化为(x －2)2≥4，所以x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，不等式可化为(x －2)2≤4，所以0≤x <2.综上，不等式的解集是[0，2)∪[4，＋∞)．
答案：B
3．若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围为( )
A.⎝
⎛
⎭
⎪⎫－2，65
B.⎣
⎢⎡
⎭
⎪⎫－2，65
C.⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－2，65
D.⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫－2，65∪{2} 解析：令a 2－4＝0，解得a ＝2或a ＝－2，
当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意； 当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，不成立，解集为空集． 当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集， 则对于方程(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1＝0，
有⎩⎨⎧a 2－4<0，Δ＝（a ＋2）2＋4（a 2
－4）<0，
解得－2<a <6
5.
综上，a 的取值范围为[－2，6
5)． 答案：B
4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，4x －y －4≤0，则y ＋2x ＋1
的最大值为(
)
A ．3
B.1
3
C ．2
D.52
解析：作出不等式组对应的平面区域，如图1中阴影部分所示，
y ＋2
x ＋1的几何意义是区域内的点与定点D (－1，－2)连线的斜率，由图知BD 的斜率最大，
由⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，
即B (1，3)，
此时BD 的斜率k ＝3＋21＋1
＝5
2，故选D.
图1
答案：D
5．(2019年重庆调研)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，y －2≤0，则
2x ＋y 的最小值为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图2中阴影部分所示，令z ＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移该直线，易知当直线经过点A (1，2)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值，且z min ＝2×1＋2＝4，故选B.
图2
答案：B
6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋4y ≤12，则z ＝2x
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12y 的最大
值为( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．3
解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，
y ≥0，3x ＋4y ≤12
表示的平面区域，
如图3中阴影部分所示，又z ＝2x
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫12y
＝2x －y ，
令u ＝x －y ，在点(4，0)处u 取得最大值， 此时z 取得最大值且z max ＝24－0＝16，故选A.
图3
答案：A
7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x
＋5)2＋y 2的最小值为( )
A ．5
B ．3 C. 5
D. 3
解析：作出不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≥0，
x －y ≤0，0≤y ≤k
表示的平面区域，
如图4中阴影部分所示，
图4
作直线x ＋y ＝0并平移，当它经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 的纵截
距最大，此时z 的最大值为6，即x ＋y ＝6，由⎩⎨⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0，
得A (3，3)，
∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3，(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点与D (－5，0)的距离的平方，由数形结合可知，(－5，0)到x ＋2y ＝0的距
离最小，可得(x ＋5)2
＋y
2
的最小值为⎝ ⎛⎭
⎪⎫|－5＋2×0|12＋22
2
＝5. 答案：A
8．函数y ＝x 2－x ＋2
x
(x >0)的最小值为( )
A. 2 B ．2 2 C ．22－1
D ．22＋1
解析：∵x >0，∴y ＝x 2－x ＋2x ＝x ＋2
x －1≥2 x ·2
x －1＝22－1(当
且仅当x ＝2时取等号)．故选C.
答案：C
9．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( )
A ．0 B.12 C ．1
D.32
解析：y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1
x ＋12－2
≥2－2＝0，
当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝1
2时等号成立．
所以函数的最小值为0，故选A. 答案：A
10．当0<m <12时，若1m ＋2
1－2m ≥k 2－2k 恒在立，则实数k 的取值
范围为( )
A ．[－2，0)∪(0，4]
B ．[－4，0)∪(0，2]
C ．[－4，2]
D ．[－2，4]
解析：因为0<m <12，所以1
2×2m ×(1－2m )
≤12×⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤2m ＋（1－2m ）22＝18(当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号)，所以1m ＋21－2m ＝1
m （1－2m ）
≥8，
又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，
所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2，4]． 故选D. 答案：D
11．(2019年高考·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a
＋1
8b 的最小值为________．
解析：由已知，得2a
＋1
8b ＝2a ＋2－3b ≥2
2a ·2－3b
＝2 2
a －3b
＝14，
当且仅当a ＝－3b 时，“＝”成立． 答案：14
12．(2019年百校联盟二模)已知f (x )＝x lg(x 2＋a ＋x )是偶函数，则f (2x －1)≤f (x )的解集为________．
解析：f (x )是偶函数，故g (x )＝lg(
x 2＋a ＋x )为奇函数，g (0)＝0⇒
a ＝1.对0<x 1<x 2⇒0<g (x 1)<g (x 2)⇒0<x 1g (x 1)<x 2g (x 2)，即f (x )在(0，＋∞)上为增函数．
∴f (2x －1)≤f (x )⇔|2x －1|≤|x |⇔(2x －1)2
≤x 2
⇔1
3≤x ≤1.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13，1。