高三数学考前指导卷二试题

梁丰高级中学2021届高三数学考前指导卷二
一.选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题要求的〕
1．将函数()y f x =的图象沿x 轴向左平移一个单位，再沿y 轴翻折180，得到x y lg =的 图象，那么 ( C ) A . ()()1lg +=x x f B . ()()[]1lg +-=x x f C . ()()x x f -=1lg D . ()()x x f --=1lg
[提示或者答案]：所求函数图象是将x y lg =的图象沿y 轴翻折︒180，再沿x 轴向右平移
一个单位所得。

或者者利用()()x x f lg 1=+-求得()()x x f -=1lg 。

2．在数列{a n }中，a 1=2，a n+1=1－a n 〔n ∈N *〕，设S n 为数列{a n }的前n 项和，
那么S 2021－2S 2021+S 2021= 〔 A 〕 A ．－3 B. －2 C. 3 D. 2
[提示或者答案]：2111(1)n n n n a a a a ++=-=--=∴数列{}n a 的周期为2。

200220051001(21)1001,21002(12)1004
S S ∴=⨯-==+⨯-+=，
20081004(21)1004S =⨯-=。

20022005200821001200810043S S S ∴-+=-+=-。

3．函数()sin f x x x =⋅，假设A 、B 是锐角三角形两个内角，那么 〔 D 〕
.A (sin )(sin )f A f B ->- .B (cos )(cos )f A f B > .C (cos )(sin )f A f B ->- .D (cos )(sin )f A f B <
[提示或者答案]：()sin f x x x =⋅在)2
,
0(π
内为增函数，
由2
π
>+B A 得：B A ->
2
π
，
∴B B A sin )2
cos(cos =-<π
，故(cos )(sin )f A f B <。

4．定点A .假设动点P 在抛物线2
4y x =上,且点P 在y 轴上的射影为点M ,那么
PA PM -的最大值是 〔 A 〕
A.5
[提示或者答案]：延长PM 交准线于点N ，那么)1(--=-PN PA PM PA
11+≤+-=AF PF PA ，当且仅当P 、A 、F 一共线且P 为AF 延长线与抛物线
的交点时获得最大值。

此时4=AF ，故所求最大值为5
5．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，A 1A=AB=2，假设棱AB 上存在一点P ，使得D 1P ⊥PC ，那么棱
AD 的长的取值范围是
〔 D 〕
A ．]2,1[
B ．]2,0(
C ．)2,0(
D ．]1,0(
[提示或者答案]：过P 作11PQ A B ⊥，连11C Q D Q ，，那么
1111//C Q CP C Q D P C Q PQ ⊥⊥，，
11C Q D Q ∴⊥，故以11C D 为直径的圆与11A B 有交点，111A D AD ∴=≤ 。

6．定义在R 上的奇函数f (x )满足；当x >0时，f (x )=2021x
+log 2021x ，那么在R 上方程f (x )=0的实根个数为 〔 C 〕 A. 1
B. 2
C. 3.
D. 2021
[提示或者答案]：
(0)00f x =∴=是()0f x =的一个实根。

当0x >时，
令200620062006log 0log 2006x x
x x +=⇒=-，在同一坐标系下分别作出函数
120062log ,2006x y x y ==-的图象，得0x >时有一交点，()0f x ∴=在0x >时有一个
实根。

由奇函数图象的对称性知，()0f x =在0x <时也有一个实根。

故()0f x =在x R ∈时有三个实根。

7．b a ,是两个互相垂直的单位向量，4,3,13||=⋅=⋅=b c a c c ，那么对于任意实数21,t t ，
||21b t a t c --的最小值为 〔 C 〕
A ．5
B ．7
C ．12
D ．13
解：b a t t c b t c a t b t a t c b t a t c ⋅+⋅-⋅-++=--21212
2
22
2
12
21222||
144)4()3(861692
221212
22
1+-+-=--++=t t t t t t ，
∴当4,321==t t 时，所求最小值为12。

8． 在1，2，3，4，5的排列1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，中，满足 1a <2a ，2a >3a ，3a <4a ，
4a >5a 的排列个数是
〔 D 〕 A ．10 B ．12
C ．14
D ．16
[提示或者答案]： 2a 、4a 只可能为3、5或者4、5。

① 假设2a 、4a 为3、5或者5、3，那么5a 必为4，此时一共有4种；
② 假设2a 、4a 为4、5或者5、4，那么一共 有1223
3=⋅A 种。

∴这样的排列有
16种。

9．,,,a b c d R +
∈，2222
a b c d ++=，a b c dx ++=，那么x 的取值范围是〔 C 〕
A ．〔0，3〕 B. (
C. (
D. ⎡⎣
[提示或者答案]：变形为：12
22=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛d c d b d a ，求d c d b d a x ++=的范围。

其中
d c d b d a ,,+∈R 。

令r d
c
q d b p d a ===,,，那么：1222=++r q p ，求r q p x ++=的范围。

由3)(32222
222222=++≤+++++=r q p qr pr pq r q p x 知：3≤
x ；又由
1222=++r q p 知：1,,0222<<r q p ，故1,,0<<r q p ，∴2p p >，2q q >，
2r r >，∴1222=++>++r q p r q p ，应选〔C 〕
注：这里也可以通过构造以p 、q 、r 为边长的长方体说明1>++r q p 。

10．假如3
3
sin cos cos sin θθθθ->-，且()0,2θπ∈，那么角θ的取值范围是〔 C 〕
A ．(0,
4
π ) B ．(
3,
24ππ
) C ．(
5,
44
ππ
) D ． (
5,24
π
π) [提示或者答案]：方法一 注意到不等式3
3
sin cos cos sin θθθθ->-等价于
33
sin sin cos cos θθθθ+>+，而3
()f x x x =+是(),-∞+∞上的增函数，于是由
(sin )(cos )f f θθ>，得sin cos θθ>，再结合()0,2θπ∈，便得
54
4
π
πθ<<
． 方法二 2
2
(sin cos )(sin sin cos cos )sin cos 0θθθθθθθθ-+++->
(sin cos )(1sin cos 1)0(sin cos )(2sin cos )0θθθθθθθθ∴-++>-+>即
2sin cos 0θθ+>恒成立sin cos 0θθ∴->即()sin cos ,0,2θθθπ>∈
5(,)44
ππθ∴∈。

一、
填空题〔本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分，把答案填在题中的
横线上.〕
11．对于实数0≥x ，规定：[]x 表示不超过x 的最大整数. 那么方程[]x sin 2=[]x 的解集〔x 以弧度为单位〕是)2,2
()2,1[)6,
0[π
ππ。

[提示或者答案]：由[]2sin 2:2x x ≤>知时无解〔1〕假设01,x ≤<那么[][]2sin 0x x ==
102sin 10sin 026
x x x π
∴≤<⇒≤<
⇒≤< 〔2〕假设12,x ≤<那么[][]1
2sin 1,12sin 2sin 12
x x x x ==∴≤<⇒
≤< 56
6x π
π∴
≤≤
且2x π≠，12x ∴≤<且2
x π≠ 12．假如函数32
()log ()a f x x ax =＋)1,0(≠>a a 在区间)0,2
1
(-
内单调递增，那么实数a 的范围是 )1,4
3[ 。

[提示或者答案]：
令3
2
2
2(),()323()3
a u x x ax u x x ax x x '=+=+=+ 当203a x x <-
>或时，()0()u x u x '>⇒递增；当203
a
x -<<时，()0()u x u x '<⇒递
减，要使()f x 在1(,0)2-内递增，必须01
3121
43
2a a a <<⎧⎪
∴≤<⎨-≤-⎪⎩ 13．如图是一个正方形纸盒的展开图，假设把1、2、3、4、5、6分别填人小正方形后，再
折成正方体，那么所得正方体对面上两数的和不都相等的概率是
14
15。

[提示或者答案]：考虑对立事件：a 与b ，c 与d ，e 与f 为正方体的对面， ab 有1
32C ⋅种填法，cd 有1
22C ⋅种填法，ef 有2种填法
而整体填法一共有42
62A A ⋅种填法，所以符合题意的概率为：
42
6264214
115
P A A ⋅⋅=-
=⋅ 14．两变量x 、y 之间的关系为x y x y ln ln )ln(-=-，那么以x 为自变量函数y 的最小值为4。

[提示或者答案]：方法一
22(1)2(1)111241110
y y x x x x y x x x x x y x ⎧
-=-+-+⎪
⇒===-++≥⎨
---⎪>>⎩
〔1x >〕
〔当且仅当2x =时取等号〕 方法二
240(0)4y
y x y y y y x
=+≥⇒-≥>⇒≥
15．点P 是直线06=++y x 上的动点，PA 、PB 是圆01222
2
=+--+y x y x 的两条切线，B A ,为切点，C 为圆心，那么当四边形PACB 的面积最小时点P 的坐标为
(3,3)--．
[提示或者答案]：111
()222
PACB S PA r PB r r PA PB r PA =
⋅+⋅=+=⋅，∴当PA 最小时，PACB S 最小，PA CP CP =最小时，PA 也最小，此时
60
(3,3)0x y P x y ++=⎧⇒--⎨
-=⎩
16．*
n N
∈，多项式0
()(21)n
r
n r r n
r P x C
x x -==
-∑可展开成x 的升幂排列
2012n n a a x a x a x +++
+，那么01n a a a ++
+ 4n
[提示或者答案]：
20120
(21)n
r n r r n n
n r C
x x a a x a x a x -=-=+++
+∑，
即01(31)n
n n x a a x a x -=++
+
∴024,,a a a 都大于0，135,,a a a 都小于02
012(31)n n n x a a x a x a x ∴+=+++
+
令1x =得0124n n a a a a +++
+=
三、解答题〔本大题一一共5小题，一共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.
17．有一组数据)(,,,:2121n n x x x x x x <<< 的算术平均值为10，假设去掉其中最大的
一个，余下数据的算术平均值为9；假设去掉其中最小的一个，余下数据的算术平均值为11。

(1) 求出第一个数1x 关于n 的表达式及第n 个数n x 关于n 的表达式。

(2) 假设n x x x ,,,21 都是正整数，试求第n 个数n x 的最大值，并举出满足题目要求且
n x 取到最大值的一组数据。

[提示或者答案]：
（1） 依条件得：⎪⎩⎪
⎨⎧-=+++-=+++=+++-)3()1(11)
2()1(9)1(103
212121n x x x n x x x n
x x x n n n 由)2()1(-得：9+=n x n
，
又由)3()1(-得：n x -=111
（2） 由于1x 是正整数，故 1111≥-=n x ，101≤≤⇒n ，故199≤+=n x n
当n =10时, 11=x ，1910=x ，80932=+++x x x , 此时，62=x ,73
=x ,84=x ,95=x ,116=x ,127=x ,138=x ,149=x 。

18．袋中有重量相等，大小一致的红、白球一共20个，其中红球有x 个(120)x <<，从这袋中取出3个球，取到2个红球和1个白球的概率为()P x ，
(1) 求(5)P ；〔2〕问x 为何值时，()P x 取到最大值。

[提示或者答案]：〔1〕袋中有5只红球和15只白球，从中取出3个球，其中2个红球和
1个白球的概率为21
5153
205
57
C C P C == (2)21
203
203(1)(20)()201918
x x
C C x x x P x C -⋅--==⋅⋅记32()(1)(20)2120g x x x x x x x =---=-+- 由
2()342200
g x x x '=-+-=得
21381
3
x ±=
，而
1
x >，那么
13.51314x x x ≈∴==或
时()g x 取最大值(13)13127(14)14136g g =⋅⋅==⋅⋅
1314x ∴=或时()P x 取最大值
19．如图，矩形ABCD 与ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在
BC 上，设AB =1，PA =h ，AD =y .
(1)试求y 关于h 的函数解析式；
(2)当y 取最小值时，指出点Q 的位置，并求出此时AD 与平面PDQ 所成的角；
(3)在条件(2)下，求三棱锥P —ADQ 内切球的半径.
[提示或者答案]：(1)显然h ＞1，连接AQ ，∵平面ABCD ⊥平面ADQP ,PA ⊥AD ，
∴PA ⊥平面ABCD ，由PQ ⊥DQ , ∴AQ ⊥DQ ,AQ =y 2
－h 2
.
∵Rt △ABQ ∽Rt △QCD ,CQ =12
-h ,∴AB
CQ
AQ DQ =,即11
22
2
-=
-h h
y h . ∴y =
1
2
2-h h (h ＞1). (2)y =
1
2
2-h h =
1
1)1(2
2-+-h h =12-h +
1
12
-h ≥2,
当且仅当1
112
2
-=
-h h ,即h =2时，等号成立. 此时CQ =1,即Q 为BC 的中点，
于是由DQ ⊥平面PAQ ，知平面PDQ ⊥平面PAQ ,PQ 是其交线，那么过A 作AE ⊥平面PDQ ,∴∠
ADE 就是AD 与平面PDQ 所成的角，由得AQ =2,PQ =AD =2,∴AE =1,sin ADE =2
1
=AD AE ,∠ADE =30°
(3)设三棱锥P －ADQ 的内切球半径为r ,那么
3
1
(S △PAD +S △PAQ +S △PDQ +S △ADQ )·r =V P －ADQ . ∵V P －ADQ =
3
1
S △ADQ ·PA =32,S △PAQ =1, S △PAD =2,S △QAD =1,S △PDQ =2,
∴r =
2222
222-=+.
20．函数2
2
()4()f x x ax a a R =-+∈
(1)假如关于x 的不等式()f x x ≥的解集为R ，务实数a 的最大值； (2)在〔1〕的条件下，对于任意实数x ，试比拟[]{}()f
f f x 与x 的大小；
(3)设函数3
()23()g x x af x =+，假如()g x 在区间()0,1上存在极小值，务实数a 的取值范围。

[提示或者答案]：〔1〕()f x x ≥的解集为R ，2
2
(41)0x a x a ∴-++≥恒成立
222(41)4012810a a a a ∴∆=+-≤++≤即解得11
26
a -≤≤-，
故a 的最大值为
16
-
（1） 由〔1〕得()f x x ≥恒成立，[]()()f f x f x ≥，[]{}[]()()f f f x f f x ≥
从而[]{}[]()()()f
f f x f f x f x x ≥≥≥，即[]{}()f f f x x ≥
（2） 由可得3
2
2
3
()23123g x x ax a x a =+-+，那么
2222()66126(2)6()(2)g x x ax a x ax a x a x a '=+-=+-=-+
令()0g x '=得2x a x a ==-或
① 假设0a =，那么()0()g x g x '≥∴在R 上单调递增，在()0,1上无极值
② 假设0a >，那么当2x a x a <->或时，()0g x '>；当2a x a -<<时，()0g x '<
∴当x a =时，()g x 有极小值
()g x 在区间()0,1上存在极小值，01a ∴<<
③ 假设0a <，那么当2x a x a <>-或时，()0g x '>；当2a x a <<-时，()0g x '<
∴ 当2x a =-时，()g x 有极小值
()g x 在区间()0,1上存在极小值
1
02102a a ∴<-<∴-<<
综上所述：当1
0012
a a -<<<<或时，()g x 在区间()0,1上存在极小值
21．如图，在y 轴的正半轴上依次有点12,,
,,
n A A A
其中点1211(0,1),(0,10),3(2,3,4,)n n n n A A A A A A n -+==且，在射线(0)y x x =≥ 上
依次有点12,,
,,n B B B ，点1B 的坐标为(3,3)，
且122(2,3,4,
)n n OB OB n -=+=
(1) 用含n 的式子表示1n n A A +； (2) 用含n 的式子表示,n n A B 的坐标； 〔3〕四边形11n n n n A A B B ++面积的最大值 [提示或者答案]：〔1〕
11211
,10193
n n n n A A A A A A +-==-=且
1
13112111()
9()()3
33
n n n n n A A A A ---+∴===
(2)由〔1〕得441223112711931()()3223
n n n n A A A A A A ---++
+=+++
+=-
∴ 点n A 的坐标4
2911(0,
())223
n --，1n n OB OB --=且1OB =
∴ {}n OB 是以
∴((2n OB n n =-=+(21,21)n B n n ∴++
（3） 连接1n n A B +，设四边形11n n n n A A B B ++的面积为n S ，那么
1113111129271()(23)()2322
23n n n n n n n n n A A B B B A S S S n +++--∆∆⎡⎤⎡=+=
⋅++⋅-⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦ 129923n n -=
+ 113603
n n n n
S S +--∴-=<，即{}1n n n S S S +<∴单调递减 n S ∴的最大值为12947
922
S =+=。