8.1.3向量数量积的坐标运算

c⊥(a ＋b )，求 c 的坐标．
[解析] (1)选 C ∵a ·b ＝－2－8＝－10，
∴(c－b )·a ＝c·a －b ·a ＝c·a ＋10＝125，∴c·a ＝－52.
设 a 与 c 的夹角为 θ，则 cos θ＝|aa|·|cc|＝
－52 5×
5＝－12.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
最大值为________． 解析：2a －b ＝(2cos θ－ 3，2sin θ)，
|2a －b |＝ 2cos θ－ 32＋2sin θ2 ＝ 4cos2θ－4 3cos θ＋3＋4sin2θ＝ 7－4 3cos θ， 当且仅当 cos θ＝－1 时，|2a －b |取最大值 2＋ 3. 答案：2＋ 3
(2,2) ． 设
c
＝
(x
，
y)
，
则
由
题
可
知
2，2·x，y＝14，
Hale Waihona Puke x2＋y2＝5，解得
x＝3， y＝4
或yx＝＝34，，
所以 c＝(3,4)或 c＝(4,3)．
[答案] (1)C (2)A (3)(3,4)或(4,3)
[方法技巧] 平面向量数量积坐标运算的两条途径
进行向量的数量积坐标运算，前提是牢记有关的运算法则和 运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示， 直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开， 再依据已知计算．
[对点练清]
1．已知向量 a ＝(2,1)，b ＝(1，k)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则
实数 k 的取值范围是
()
A．(－2，＋∞)
B．－2，12∪12，＋∞
C．(－∞，－2)
D．(－2,2)
解析：当 a 与 b 共线时，2k－1＝0，k＝12，此时 a ，b 方向
相同，夹角为 0°，所以要使 a 与 b 的夹角为锐角，则有 a ·b >0 且 a ，b 不同向．由 a ·b ＝2＋k>0 得 k>－2，且 k≠12，即 实数 k 的取值范围是－2，12∪12，＋∞，故选 B. 答案：B
设 AC＝a，则 A(a,0)，B(0，a)，D0，a2，C(0,0)，E13a，23a. 所以―A→D ＝－a，a2，―C→E ＝13a，23a. 所以―A→D ·―C→E ＝－a·13a＋a2·23a＝0， 所以―A→D ⊥―C→E ，即 AD⊥CE.
[方法技巧] 用向量方法解决平面几何问题的步骤
()
(2)若 a ＝(a1，a2)，b ＝(b1，b2)，则 a ⊥b ⇔a1b1＋a2b2＝0.( )
(3)若两个非零向量的夹角 θ 满足 cos θ＜0，则两向量的夹角
θ 一定是钝角．
()
答案：(1)× (2)× (3)×
2．已知 a ＝(－3,4)，b ＝(5,2)，则 a ·b 的值是
()
2．已知平面向量 a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若 c＝a －(a ·b )b ，则|c| ＝________. 解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c＝a －(a ·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)， ∴|c|＝ 82＋－82＝8 2. 答案：8 2
[解析] (1)∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，
∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1.
(2)由―A→C ＝―A→B ＋―A→D ＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得 ―A→D ·―A→C ＝(2,1)·(3，－1)＝5.
(3)因为 2b ＝(a ＋2b )－a ＝(6,3)－(2，－1)＝(4,4)，所以 b ＝
(3)平面直角坐标系中两点间的距离公式： 如果 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|―A→B |＝____x_2－__x_1__2＋___y_2－__y_1__2 __. 3．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 a ⊥b ⇔ x1x2＋y1y2＝0 .
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)向量的模等于向量坐标的平方和．
[方法技巧] 求向量的模的两种基本策略
(1)字母表示下的运算： 利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量 积的问题． (2)坐标表示下的运算： 若 a ＝(x，y)，则 a ·a ＝a 2＝|a |2＝x2＋y2，于是有|a |＝ x2＋y2.
[对点练清] 1．已知向量 a ＝(cos θ，sin θ)，向量 b ＝( 3，0)，则|2a －b |的
A．23 C．－23
B．7 D．－7
答案：D 3．已知向量 a ＝(x－5,3)，b ＝(2，x)，且 a ⊥b ，则由 x 的值构
成的集合是 A．{2,3} C．{2}
B．{－1,6} D．{6}
()
答案：C
4．已知 a ＝(1， 3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. 答案：2
题型三 向量的夹角与垂直问题 [学透用活]
[典例 3] (1)已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c|＝ 5，
若(c－b )·a ＝125，则 a 与 c 的夹角为
A．30° C．120°
B．60° D．150°
()
(2)已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(2,3)．若向量 c 满足(c＋a )∥b ，
[对点练清] 如图所示，在正方形 ABCD 中，P 为对角线 AC 上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为 E， F，连接 DP，EF，求证：DP⊥EF. 证明：法一：设正方形 ABCD 的边长为 1，AE＝a(0<a<1)， 则 EP＝AE＝a，PF＝EB＝1－a，AP＝ 2a， ∴―D→P ·―E→F ＝(―D→A ＋―A→P )·(―E→P ＋―P→F ) ＝―D→A ·―E→P ＋―D→A ·―P→F ＋―A→P ·―E→P ＋―A→P ·―P→F ＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋ 2a×a×cos 45° ＋ 2a×(1－a)×cos 45°＝－a＋a2＋a(1－a)＝0. ∴―D→P ⊥―E→F ，即 DP⊥EF.
[典例 2] (1)设平面向量 a ＝(1,2)，b ＝(－2，y)，若 a ∥b ，
则|3a ＋b |等于
()
A. 5 C. 17
B． 6 D． 26
(2)已知|a |＝2 13，b ＝(2，－3)，若 a ⊥b ，求 a ＋b 的坐标
及|a ＋b |.
[解析] (1)选 A ∵a ∥b ，∴1×y－2×(－2)＝0， 解得 y＝－4，从而 3a ＋b ＝(1,2)，|3a ＋b |＝ 5. (2)设 a ＝(x，y)，则由|a |＝2 13，得 x2＋y2＝52.① 由 a ⊥b ，解得 2x－3y＝0. ② 由①②，解得yx＝＝46， 或yx＝＝－－46. ∴a ＝(6,4)或 a ＝(－6，－4)． ∴a ＋b ＝(8,1)或 a ＋b ＝(－4，－7)，∴|a ＋b |＝ 65.
[课堂一刻钟巩固训练]
1．已知向量 a ＝(－4,3)，b ＝(5,6)，则 3|a |2－4a ·b 等于( )
A．23 C．63
B．57 D．83
解析：3|a |2－4a ·b ＝3[(－4)2＋32]－4(－4×5＋3×6)＝83.
2．已知平面向量 a ＝(3,4)，b ＝(9，x)，c＝(4，y)，且 a ∥b ， a ⊥c. (1)求 b 与 c； (2)若 m ＝2a －b ，n ＝a ＋c，求向量 m ，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a ∥b ，∴3x＝4×9，∴x＝12. ∵a ⊥c，∴3×4＋4y＝0，∴y＝－3. ∴b ＝(9,12)，c＝(4，－3)．
[对点练清]
1．已知向量 a ＝(1,2)，b ＝(2，x)，且 a ·b ＝－1，则 x 的值等于
()
A.12
B．－12
C.32
D．－32
解析：因为 a ＝(1, 2)，b ＝(2, x)，所以 a ·b ＝(1,2)·(2，x)＝1×
2＋2x＝－1，解得 x＝－32. 答案：D
2．已知向量 a ＝(－1,2)，b ＝(3,2)，则 a ·b ＝________， a ·(a －b )＝________. 解析：a ·b ＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a ·(a －b )＝ (－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4. 答案：1 4
C．1
D．2
(2)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四
边形，―A→B ＝(1，－2)，―A→D ＝(2,1)，则―A→D ·―A→C ＝ ( )
A．5
B．4
C．3
D．2
(3)已知 a ＝(2，－1)，a ＋2b ＝(6,3)，若 b ·c＝14，|c|＝5，
则向量 c 的坐标为________．
3．已知 a ＝(2，－1)，b ＝(3,2)，若存在向量 c，满足 a ·c＝2，b ·c
＝5，则向量 c＝________. 解析：设 c＝(x，y)，因为 a ·c＝2，b ·c＝5，所以23xx－＋y2＝y＝2，5，
解得xy＝＝4797，，
所以 c＝97，47.
答案：97，47
题型二 向量模的问题 [学透用活]
(2)设 c 的坐标为(x，y)，则 a ＋c＝(1＋x,2＋y)． ∵(a ＋c)∥b ， ∴(1＋x)×3－2×(2＋y)＝0，即 3x－2y＝1.① 又 a ＋b ＝(3,5)，且(a ＋b )⊥c，∴3x＋5y＝0.② 由①②，解得yx＝＝－25117，. 故 c＝251，－17.
[方法技巧] 1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤： (1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个 向量的数量积．
(2)求模．利用|a |＝ x2＋y2计算两向量的模． (3)求夹角余弦值．由公式 cos θ＝ x21x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22求夹角余 弦值． (4)求角．由向量夹角的范围及 cos θ 求 θ 的值．
2．涉及非零向量 a ，b 垂直问题时，一般借助 a ⊥b ⇔a ·b ＝x1x2＋y1y2＝0 来解决．
法二：设正方形的边长为 1，建立如图所示的平面直角坐标系， 设 P(x，x)，则 D(0,1)，E(x,0)，F(1，x)，∴―D→P ＝(x，x－1)，―E→F ＝(1－x，x)， 由于―D→P ·―E→F ＝x(1－x)＋x(x－1)＝0，∴―D→P ⊥―E→F ，即 DP⊥ EF.
一、基础经典题
即 m ，n 的夹角为34π.
题型四 向量数量积的坐标表示在平面几何中的应用 [学透用活]
[典例 4] 已知△ABC 是直角三角形，CA＝CB，D 是 CB 的 中点，E 是 AB 上的一点，且 AE＝2EB.求证：AD⊥CE.
[证明] 如图，以 C 为坐标原点，CA，CB 所在直线分别为 x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．
8．1.3 向量数量积的坐标运算
新课程标准
1.会用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的 夹角．
2.能用坐标表示向量的垂直条件．
(一)教材梳理填空 1．向量的坐标
在平面直角坐标系中，分别给定与 x 轴、y 轴正方向相同的 单位向量 e1，e2 之后，如果对于平面内的向量 a ，有 a ＝xe1
＋y e2，则 (x, y) 就是向量 a 的坐标，记作 a ＝ (x, y) ．
2．向量数量积的坐标表示
设 a ＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，
(1)a ·b ＝ x1x2＋y1y2 . x1x2＋y1y2
(2)cos〈a ，b 〉＝______x_21_＋__y_21 __x_22＋__y_22__.
5．已知 a ＝(3，x)，|a |＝5，则 x＝________. 解析：|a |＝ 32＋x2＝5，∴x2＝16.即 x＝±4. 答案：±4
题型一 向量的坐标与数量积运算 [学透用活]
[典例 1] (1)向量 a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝
()
A．－1
B．0
(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)，
n ＝a ＋c＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)．
设 m ，n 的夹角为 θ，
则 cos θ＝|mm|·|nn|＝
－3×7＋－4×1 －32＋－42 72＋12
＝ －25 ＝－ 25 2
2 2.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝34π，