2012级数学单元测试卷

2012 级数学单元测试卷
一、选择题 (本大题共 10 小题，每题
5 分，共 50 分．每题中只有一项
切合题目要求 )
1．如图给出的是计算 1 1 1 1
2＋
4＋6＋ ＋ 2 014的值的程序框图，此中判断框
内
应填入的是 ( )
A ．i ≤2 012？
B ． i>2 012?
C ．i ≤ 2 014?
D ．i>2 014?
答案 C
分析
依据程序框图与已知数据可知此程序框图的功能是计算
1 1 1 2＋ 4＋ 6
1
1 1 1 1
＋ ＋2 014的值，易知当 i ≤ 2 014 时，输出 S ＝2＋4＋6＋ ＋ 2 014，切合要求；
当 i>2 014 时，程序框图是输出 S ＝0，不切合要求．应选 C.
2．会合 2＋y 2 ， ， ∈ R } 中，任选一个元素
(x ，y)，则 x ＋y ≥1 的 {( x ，y)|x<1 x y
概率为 (
)
1
π－2
A.2
B. 4π 3π＋ 2
1
C. 4π
D.4π
答案
B
π 1 π－2 π－ 2 分析
图中暗影部分地区的面积为 4－2＝
4 ，圆的面积为 π，∴P ＝ 4π.
3. 依据以下算法语句 , 当输入 x 为 60 时 , 输出 y 的值为
(A) 25 (B) 30 (C) 31
(D) 61
输入 x
If x ≤ 50 Then
y = 0.5 * x
Else
y = 25 + 0.6*( x-50)
End If
输出 y
3 【答案】 C
－
4．设 i 是虚数单位， z 是复数 z 的共轭复数． 若 z ·z i ＋2＝2z ，则 z ＝(
)
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－ 1＋i
D ．－ 1－ i
答案
A
5．下表供给了某厂节能降耗技术改造后在生产
A 产品过程中记录的产量
x(吨 )与相应的生产能耗 y(吨)的几组对应数据：
x
3456
依据上表供给的数据，求出
^
y 对于 x 的线性回归方程为 y ＝＋，那么
表中 t 的精准值为 () A ．3 B ． C ．
D ．
答案
A
分析
∵ x ＝
3＋4＋5＋6
^
4
＝，代入 y ＝＋，得
^
y ＝，∴t ＝×4－＋ 4＋ 4.5)＝3.应选 A.
注：此题极易将 x ＝4，y ＝ t 代入回归方程求解而选 B ，但那不过近似值而不
是精准值．
6．某班有 48 名学生，在一次考试中统计出均匀分数为
70，方差为 75，后
来发现有 2 名同学的成绩有误，甲实得 80 分却记为 50 分，乙实得 70 分却记为
100 分，改正后均匀分和方差分别是 ()
A．70,25B．70,50
C．D．65,25
答案B
分析易得 x 没有改变， x ＝ 70，
2
1222222
而 s ＝48[(x1＋x2＋＋50＋100＋＋ x48)－48 x]＝75，2
1222222
s′＝48[( x1＋x2＋＋80＋70＋＋ x48)－48 x]
1[(75×48＋ 48 x2－＋－
48 x 2]
＝
4812 50011 300)
1 200
＝75－48＝75－ 25＝50.
7．为认识某校高三学生的视力状况，随机地抽查了该校100 名高三学生的视力状况，获得频次散布直方图如图，因为不慎将部分数据丢掉，但知道前4组的频数成等比数列，后 6 组的频数成等差数列，设最大频次为a，视力在
到 5.0 之间的学生数为b，则a、b 的值分别为()
A．0.27,78B．0.27,83
C．2.7,78D．2.7,83
答案A
分析由频次散布直方图知组距为0.1.
4．3～4.4 间的频数为 100××＝1.
4．4～4.5 间的频数为 100××＝3.
又前 4 组的频数成等比数列，∴公比为 3.
进而～4.7 间的频数最大，且为1×33＝27.
∴a ＝ 0.27.
8．已知 A ，B 是抛物线 y 2＝2px(p>0)上两点， O 为原点，若 |OA|＝ |OB|，且
△ AOB 的垂心恰为此抛物线的焦点，则直线 AB 的方程为 (
)
A ．x ＝p
B ．x ＝3p
3
C ．x ＝2p
5
D ．x ＝ 2p
答案
D
分析
由抛物线的对称性及
|OA|＝ |OB|知， A ， B 两点对于 x 轴对称，又△
p
AOB 的垂心为焦点 F(2，0)，设 A(x 0， y 0)，B(x 0 ，－ y 0)．∵FA ⊥ OB ，∴k FA ·k OB ＝
－ ，即 y 0 ·(－ y 0 2 p
)＝－ 1，∴y 0＝ 0(x 0－ )．
1 p x 0 x 2
x －2
2
0(x 0>0)，∴2px 0＝
p 5 0
0(x 0－ ) ，∴x 0＝ p.
又∵y ＝2px x
2
2
5
所以直线 AB 的方程为 x ＝2p.
9. 以下图，中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点， M ，N 是双曲线的两极点．若 M ，O ，N 将椭圆长轴四均分，则双曲线与椭圆的离心率的比值
是 (
)
A ．3
B ．2 C. 3
D. 2
答案 B
分析
设焦点为 F( ±c,0)，双曲线的实半轴长为 a ，则双曲线的离心率 e 1
＝ c ，椭圆的离心率 e 2＝ c
，所以 e 1
＝ 2.选 B.
a
2a e 2
2
2 *
，F ，P 为双曲线上
．已知双曲线 x －y
2
10 4 b ＝1(b ∈N )的两个焦点分别为 F 1 2
一点， |OP|<5，若 |PF 1 ， 1 2 ， 2 成等比数列，则双曲线的方程为
()
| |F F | |PF |
x 2 y 2 x 2 y 2
A. 4－
2 ＝1
B. 4－
3＝ 1
x 2 y 2
x 2
2
C.4－ 4＝ 1
D. 4 － y ＝1
答案 D
分析
设 P 是双曲线右支上一点， |F 1
2 ＝
2c. 由双曲线的第必定义，得 1
F |
|PF |
－ |PF 2|＝4.①
由三角形的中线长定理，得
|PF 1|2 ＋|PF 2|2＝2(|PO|2＋|F 1O|2)<50＋2c 2.②
依题意得 |PF 1 2
1 2
2
，即 |PF 1 · 2 ＝ 2 ③ | ·|PF |＝|F F | ||PF| 4c .
2 2 2 17 综合①②③得 16＋ 8c <50＋ 2c ，即 c <
3 . ∵c 2＝4＋b 2
17
，∴b 2
5
∵ ∈ N *
，b 2
＝1. < 3
<3. b
x 2 2
所以所求双曲线的方程为 4 － y ＝1.
二、填空题 (本大题共 7 小题，每题 5
分，共 35 分，把答案填在题中横线
上 )
11．若正数 x ，y 知足 x ＋ 3y ＝5xy ，则 3x ＋ 4y 的最小值是 ________．
答案
5
12. 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率
为 ．
【答案】 2
．
3
13.设 a, b ∈R, |a － b|>2, 则对于实数 x 的不等式 | x a | | x b | 2 的解集是 .
【分析】
观察绝对值不等式的基本知识。

函数
f ( x) | x a | | x b | 的值域为：
[| a b |, ).所以，当x R时， f ( x) | a b |2.所以，不等式 | x a || x b | 2 的解集为R。

14 过椭圆x
2y 21内一点 M(2,1) 作一条弦 ,使得弦被点 M 均分 ,则弦所在的直164
线方程是.
答案 x+2y-4=0
15. 已知抛物线y24x ,直线m的方程是 x y 40 ，在抛物线上有一动点
P 到 y 轴的距离为
d1,P 点到直线的距离为
d2,则 d1d2的最小值是m
答案。

5
21
2
2
x2
16.已知 F1、F2是双曲线2－y ＝ 1 的左、右焦点， P、Q 为右支上的两点，
直线 PQ 过 F2且倾斜角为α，则 |PF1 |＋|QF1 |－|PQ|的值为
答案4 2
17.已知整数的数对列以下： (1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)， (2,4)，则第 60 个数对是 ________．
答案(5,7)
分析察看可知横坐标和纵坐标之和为 2 的数对有 1 个，和为 3 的数对有2 个，和为 4 的数对有 3 个，和为 5 的数对有 4 个，依此类推和为n＋ 1 的数对
有 n 个，多个数对的排序是依据横坐标挨次增大的次序来排的，由n n＋1
＝60
2
? n(n＋ 1)＝120，n∈Z，n＝10 时，n n＋ 1
＝55 个数对，还差 5 个数对，且这 5 2
个数对的横、纵坐标之和为12，它们挨次是 (1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，∴第60 个数对是 (5,7)．
18．（本小题满分13 分）
从一批苹果中，随机抽取50 个，其重量（单位：克）的频数散布表以下：
分组（重量）
[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)
频数（个）5102015
(1)依据频数散布表计算苹果的重量在[90,95) 的频次；
(2) 用分层抽样的方法从重量在[80,85) 和 [95,100) 的苹果中共抽取 4 个，此中重量在[80,85) 的有几个？
(3)在（ 2）中抽出的 4 个苹果中，任取 2 个，求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的概
率．【分析】（ 1）苹果的重量在90,95 的频次为20
；50
（2）重量在80,85的有4
5
=1个；5+15
（3）设这 4 个苹果中80,85分段的为1，95,100分段的为 2、 3、4，从中任取两个，可能的状况有：
（ 1，2）（ 1，3）（ 1，4）（ 2，3）（ 2，4）（3， 4）共 6 种；设任取 2 个，重量在80,85和 95,100中各有 1 个的事件为 A，则事件 A 包括有（ 1，2）（1， 3）（ 1， 4）共 3 种，所以31
P(A)
2
6
19．(本小题满分 12 分)
22
的一个极点为，离心率为2直线
＝
已知椭圆 C：x2＋y2＝
a b1(a>b>0)A(2,0) 2 .
y
k(x－1)与椭圆 C 交于不一样的两点M， N.
(1)求椭圆 C 的方程；
10
(2)当△ AMN 的面积为 3 时，求k的值．
x 2 y 2
答案 (1) 4 ＋
2 ＝1 (2)k ＝±1
a ＝2，
分析
(1)由题意得
c ＝ 2， a
2
a 2
＝ b 2
＋c 2
，
x 2 y 2
解得 b ＝ 2.所以椭圆 C 的方程为 4 ＋ 2 ＝1.
y ＝ k x － 1 ，
得 (1＋2k 2)x 2－ 4k 2x ＋2k 2－4＝0.
(2)由 x 2 y 2 4
＋2＝1，
设点
M ， N 的坐标分别为 1 1)，(x 2， 2 )，则
(x ，y y
y 1 ＝ k(x 1－ 1) ， 2＝ k(x 2－ 1) ，1＋2＝
4k
2
， 1x 2＝
2k 2
－4
.
y x x 1＋ 2k 2 x
1＋2k 2
所以 |MN|＝ x 2－x 1 2
＋ y 2－y 1 2
＝
1＋k 2 [ x 1＋ x 2 2－4x 1x 2]
2
1＋ k 2 4＋6k 2
＝
1＋ 2k 2
.
又因为点 A(2,0)到直线 y ＝k(x －1)的距离 d ＝ |k|
1＋k 2
，
所以△
的面积为
1
|k| 4＋6k 2
.
＝ |MN| d ·＝
1＋ 2k
2
AMN
S 2
|k| 4＋ 6k 2
10
由
1＋2k
2
＝ 3 ，
化简得 7k 4－2k 2－5＝0，解得 k ＝±1.
1－x
20．已知函数 f(x)＝ ax ＋lnx.
(1)若函数 f(x)在[1，＋∞ )上为增函数，求正实数 a 的取值范围；
(2)议论函数 f(x)的单一性．
答案 (1)a ≥1 (2)a<0 时，增区间 (0，＋∞ )； a>0 时，增区间 (1
，＋∞ )，
a
1
减区间 (0， a )
1－x
ax －1
分析 (1)∵f(x)＝ ax
＋lnx ，∴f ′ (x)＝ ax (a>0)．
2
∵函数 f(x)在[1 ，＋ ∞)上为增函数，
ax －1
∴f ′(x)＝ ax 2 ≥ 0 对 x ∈[1，＋ ∞)恒建立，
ax －1≥0 对 x ∈[1 ，＋ ∞)恒建立，
1
即 a ≥ x 对 x ∈ [1 ，＋ ∞ )恒建立，∴a ≥1.
1 1 a x － a x －a (2)∵a ≠0，f ′(x)＝
2
ax
＝
2
，x>0，
x
当 a<0 时， f ′(x)>0 对 x ∈(0，＋ ∞)恒建立，
∴f(x)的增区间为 (0，＋ ∞)．
1
1 当 a>0 时， f ′(x)>0? x>a ， f ′(x)<0? x<a ，
1
1
∴f(x)在增区间为 (a ，＋ ∞)，减区间为 (0， a )．
2
x
2
21.已知椭圆
＋y ＝ 1 的两个焦点是 F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c>0)．
(1)设 E 是直线 y ＝x ＋2 与椭圆的一个公共点，求|EF 1|＋|EF 2|获得最小值时椭
圆的方程；
(2)已知点 N(0，－ 1)，斜率为 k(k ≠0)的直线 l 与条件 (1)下的椭圆交于不一样的
→ → → →
两点 A ，B ，点 Q 知足 AQ ＝QB ，且 NQ ·AB ＝ 0，求直线 l 在 y 轴上的截距的取值
范围．
2
答案
(1)x
3 ＋ y 2＝1
(2)(
1
2，2)
分析
(1)由题意，知 m ＋1>1，即 m>0.
y ＝x ＋2，
由 x 2 ＋y 2＝ 1， 得 (m ＋2)x 2＋ 4(m ＋1)x ＋3(m ＋1)＝0. m
＋1
又由 ＝16(m ＋1)2－12(m ＋2)(m ＋ 1)＝4(m ＋1)(m －2)≥ 0，
解得 m ≥2 或 m ≤－1(舍去 )，∴m ≥2.
此时 |EF 1|＋|EF 2 |＝2 m ＋ 1≥2 3.
当且仅当 m ＝ 2 时， |EF 1|＋ |EF 2|获得最小值 2 3，
2
x
2
此时椭圆的方程为 3 ＋ y ＝1.
x 2 ＋3y 2 ＝3，
(2)设直线 l 的方程为 y ＝kx ＋t.由方程组
y ＝ kx ＋t ，
消去 y ，得 (1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.
∵直线 l 与椭圆交于不一样的两点 A ，B ，
∴Δ＝(6kt)2－4(1＋3k 2)(3t 2－ 3)>0，
即 t 2<1＋3k 2
.①
1
1)，B(x 2， 2)，Q(x Q ， Q )，则 x 1＋ 2＝－ 6kt .
设 A(x ，y
y
y
x
1＋ 3k
2
→ → 由AQ ＝QB ，得 Q 为线段的 AB 的中点．
则 x Q ＝ x 1＋ 2
3kt ，y Q ＝kx Q ＋ t ＝ t .
x ＝－
2
1＋3k 2
1＋3k 2
→ →
与直线 QN 的斜率 k QN 乘积为－ 1，即 k QN ·k AB
∵NQ ·AB ＝0，∴直线AB 的斜率 k AB
t
1＋ 3k 2
＋ 1
＝－ 1，∴
·k ＝－ 1.
3kt
－
1＋3k
2
化简得 1＋3k2＝2t，代入①式得 t2<2t，解得 0<t<2.
又 k≠0，即 3k2，故21
>02t＝1＋3k >1，得 t>2.
1
综上，直线 l 在 y 轴上的截距 t 的取值范围是 (2，2)．
a
22．已知函数 f(x)＝lnx－x.
(1)若 a>0，试判断 f(x)在定义域内的单一性；
3
(2)若 f(x)在[1， e]上的最小值为2，求 a 的值；
(3)若 f(x)<x2在(1，＋∞ )上恒建立，求 a 的取值范
围．答案 (1)增区间 (0，＋∞ ) (2)a＝－ e (3)a≥－ 1 分
析 (1)由题意知 f(x)的定义域为 (0，＋∞)，
1a x＋a
且 f′(x)＝x＋x2＝x2 .
∵a>0，∴f′ (x)>0.
故 f(x)在 (0，＋∞ )上是单一递加函数．
x＋ a
(2)由 (1)可知， f′(x)＝x2 .
①若 a≥－1，则 x＋ a≥ 0，即 f′(x)≥ 0 在[1，e]上恒建立，此时 f(x)在[1，e]上为增函数，
33
∴f(x)min＝f(1)＝－ a＝2，∴a＝－2(舍去 )．
②若 a≤－e，则 x＋ a≤ 0，即 f′ (x)≤ 0 在[1 ，e]上恒建立，此时 f(x)在[1，e]上为减函数，
a 3
∴f(x)min＝f(e)＝1－e＝2.
e
∴a＝－2(舍去 )．
③若－ e<a<－1，令 f′(x)＝0，得 x＝－ a.
当 1<x<－ a 时， f′(x)<0，
∴f(x)在(1，－a)上为减函数；当－ a<x<e 时， f′(x)>0，
∴f(x)在(－ a， e)上为增函数．
3∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－ a)＋1＝2.
∴a＝－ e.
综上所述， a＝－ e.
2a2
(3)∵f(x)<x ，∴lnx－x<x .
又 x>0，∴a>xlnx－ x3.
令 g(x)＝xlnx－x3，
h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，
1
2 1－6x
h′(x)＝x－ 6x＝x.
∵x∈ (1，＋∞ )时， h′ (x)<0，
∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．
∴h(x)<h(1)＝－ 2<0，即 g′(x)<0.
∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数．
∴g(x)<g(1)＝－ 1.
∴当a≥－ 1 时， f(x)<x2在(1，＋∞)上恒建立．。