第九章 滤波器组
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nk n h0 [ n ] z WM , n
6
§9.1 M通道滤波器组结构
由低通滤波器平移得到相应的带通滤波器
k ), 0 k M 1 H k ( z ) H 0 ( zWM
nk n h0 [ n ] z WM , n
K＝1：M:1抽取后，频谱扩展M倍， 原频谱搬移到了 [2 , ] [ , 2 ] 再以2π为周期延拓
§9.1 M通道滤波器组结构
( k 1) / M k / M 2 / M / M
/ M 2 / M
k / M (k 1) / M
2
第九章 滤波器组
9.1 M通道滤波器组结构 9.2 滤波器组的准确重建 9.3 QMF（正交镜像滤波器组） 9.4 CMFB（余弦调制滤波器组）
§9.1 M通道滤波器组结构
An M-band analysis filter bank is shown below 输入信号被分解成 一组子带信号vk(n) 滤波器称为子带分 解滤波器组
p
0
M
s
2
§9.1 M通道滤波器组结构
由低通滤波器平移得到相应的带通滤波器 希望得到频率响应为
H k (e j ) H 0 (e j ( 2 k /M ) ), 0 k M 1
的带通滤波器，频率响应 H k ( z ) 是 H 0 ( z ) 右移2k/M 的结果 其Z变换 k ), 0 k M 1 H k ( z ) H 0 ( zWM
z ( M 1) z ( M 2 ) G (z) 0 G1 ( z ) T M G2 ( z ) R ( z ) G z ( ) M 1 1
H k ( z ) j 0 z j Ekj ( z M )
M 1
Gk ( z ) j 0 z ( M 1 j ) R jk ( z M )
M 1
10
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量
H k ( z ) j 0 z j Ekj ( z M )
M 1
Gk ( z ) j 0 z ( M 1 j ) R jk ( z M )
M 1
Ekj ( z ) 是 H k ( z ) 的第j个多相分量，定义相应的矩阵 E( z )
R jk ( z ) 是 Gk ( z ) 的第j个多相分量，定义相应的矩阵 R ( z )
4
§9.1 M通道滤波器组结构
理想情况： 若信号分解到M个互不重叠的子带上，那么M个通道 上的信号相加即可恢复原始信号。 M通道滤波器组： 将信号通过M个内插和抽取滤波组分解和恢复的整 个结构 子带信号： 占有各自专门频带的信号 M通道准确重建滤波器组： 信号可以从子带中准确地恢复的M通道滤波器组
0.9
1
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量
1/ 8 3z 1 / 4 z 2 / 8 1/ 4 z 1 / 4 E( z ) 1/ 2 z 1 / 2 1
1 1/ 4 z 1 / 4 R( z) 1 1 2 1/ 2 z / 2 1/ 8 3 z / 4 z / 8
12
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量 ，并给出相应的实现结构 解： R ( z )E( z )
0 -20 -40 -60
0
0.1
0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Normalized Frequency ( rad/sample)
0.9
1
100 Phase (degrees)
0
-100
0
0.1
0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Normalized Frequency ( rad/sample)
R ( z ) E( z ) z I
9
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组， 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量
1/ 2 1/ 2 R ( z ) 1 1/ 2 1 1/ 2 E( z ) 1 1
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量
1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 E( z ) ( z ) R 1 1/ 2 解： 1 1 1 H 0 ( z ) (1 z 1 ) H1 ( z ) 1 z 1 2 1 1 G ( z ) 1 z 1 G0 ( z ) 1 z 1 2
滤波后，每个子带的样点数和原来一样，分解成M个子带 后样点数为原来的M倍
1
§9.1 M通道滤波器组结构
•An L-band synthesis filter bank is shown below
滤波器称为综合滤 波器组
？1 子带带宽为原始的1/M倍，是否可对子带1：M抽取 ？2 是否可以通过内插恢复原始带通信号
I
因此是准确重建滤波器组
E00 ( z ) 1/ 8 3 z 1 / 4 z 2 / 8 E01 ( z ) 1/ 4 z 1 / 4 E10 ( z ) 1/ 2 z 1 / 2 E11 ( z ) 1
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量 ，并给出相应的实现结构 解： R ( z )E( z ) 因此是准确重建滤波器组 1 H 0 ( z ) [ E00 ( z 2 ), E01 ( z 2 )] 1 z
因此：
kn , hk [n] h0[n] e j 2k n/ M h0[ n]WM
原型滤波器为线性相位，现仍为线性相位；（考虑是否对） 原型滤波器为实数，现滤波器为复数 该滤波器即可以作为分解滤波器又可以作为综合滤波器
0 k M 1
§9.2 滤波器组的准确重建
从M通道滤波器组的多相结构开始 将M通道的滤波器组用多相分量替换
1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 E( z ) ( z ) R 1 1/ 2 解： 1 1 1 1 E00 ( z ) , E01 ( z ) , E10 ( z ) 1, E11 ( z ) 1 2 2 1 1 R00 ( z ) 1, R01 ( z ) , R10 ( z ) 1, R11 ( z ) 2 2
x n
M
E0(z) E1(z)
R0(z) R1(z)
M
z-1
M
z-1
M
z-1
z-1
z-1
M
z-1 EM-1(z) RM-1(z)
M
y n
§9.2 滤波器组的准确重建
从M通道滤波器组的多相结构开始 因此，M通道准确重建的条件应为
R ( z ) E( z ) I
I 是单位阵
较为宽松的条件，增加延迟单元
Hale Waihona Puke 2对于子带[3 / M , 2 / M ] [2 / M ,3 / M ]
K＝2：M:1抽取后，频谱扩展M倍， 原频谱搬移到了[3 , 2 ] [2 ,3 ] 再以2π为周期延拓
3
§9.1 M通道滤波器组结构
结论： 1）对于子带序号K为奇数，负频谱部分映射到[0,π] 正频谱部分映射到[ -π,0]。扩展后不会发生混叠 2）对于子带序号K为偶数，正频谱部分映射到[0,π] 负频谱部分映射到[ -π,0] 3）对带通信号[ (k 1) / M , k / M ] [ k / M , (k 1) / M ] 进行1：M的抽取后，频谱不发生混叠
§9.2 滤波器组的准确重建
实际情况： 符合带通滤波器要求的理想滤波器并不存在，因此 上面仅通过内插和抽取滤波器实现准确重建是物理不可实现 仅能设计近似重建的滤波器 是否可以准确重建？ 若内插和抽取滤波器的混叠部分相互抵消，也可以 实现
5
§9.1 M通道滤波器组结构
由低通滤波器平移得到相应的带通滤波器 假设 H 0 ( z ) 是通带边缘和阻带边界在π/M 附近， 通带边缘和阻带边缘分别为 p 和 s
I
1/ 8 1/ 4 z 1 3 z 2 / 4 1/ 4 z 3 1/ 8 1 H1 ( z ) [ E10 ( z 2 ), E11 ( z 2 )] 1 z 1 2 1/ 2 z z / 2
§9.1 M通道滤波器组结构
？2 是否可以通过内插恢复原始带通信号
2
2
2 (k 1) / M k / M
/ M 0 / M
k / M (k 1) / M
2
因此，内插后利用通带为 [(k 1)/ M, k / M][k / M,(k 1)/ M] 的带通滤波器即可以恢复原始带通信号
§9.2 滤波器组的准确重建
从M通道滤波器组的多相结构开始 y n 再利用恒等变换
x n
E0(zM) z-1 E1(zM) z-1
M
M
R0(zM) z-1 R1(zM) z-1
M
M
z-1 EM-1(zM) M
z-1
M
RM-1(zM)
y n
8
§9.2 滤波器组的准确重建
从M通道滤波器组的多相结构开始 y n 再利用恒等变换
称为Haar滤波器组
11
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组
1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 E( z ) ( z ) R 1 1/ 2 1 1
Magnitude (dB)
解： 滤波器远非理想 频谱响应 但由于子带混叠 处互补，因此仍 能实现准确重建
对限带于 [ / M , / M ] 的低通信号，M:1抽取后没有混叠 ？带通信号呢？
2
§9.1 M通道滤波器组结构
( k 1) / M k / M 2 / M / M
/ M 2 / M
k / M (k 1) / M
2
2
对于子带
[2 / M , / M ] [ / M , 2 / M ]
§9.1 M通道滤波器组结构
•对信号进行M个子带分割，分割后频谱形式为：
(k 1)/ M k / M 2 / M / M / M 2 / M k / M (k 1)/ M
第K个子带为： [ (k 1) / M , k / M ] [ k / M , (k 1) / M ]
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量
1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 E( z ) ( z ) R 1 1/ 2 1 1 解： R ( z )E( z ) I 因此是准确重建滤波器组
7
§9.2 滤波器组的准确重建
从M通道滤波器组的多相结构开始 将M通道的滤波器组用多相分量替换
1 z 1 H (z) 0 H1 ( z ) M 2 z H 2 ( z ) E( z ) ( ) H z M 1 ( 1) M z
6
§9.1 M通道滤波器组结构
由低通滤波器平移得到相应的带通滤波器
k ), 0 k M 1 H k ( z ) H 0 ( zWM
nk n h0 [ n ] z WM , n
K＝1：M:1抽取后，频谱扩展M倍， 原频谱搬移到了 [2 , ] [ , 2 ] 再以2π为周期延拓
§9.1 M通道滤波器组结构
( k 1) / M k / M 2 / M / M
/ M 2 / M
k / M (k 1) / M
2
第九章 滤波器组
9.1 M通道滤波器组结构 9.2 滤波器组的准确重建 9.3 QMF（正交镜像滤波器组） 9.4 CMFB（余弦调制滤波器组）
§9.1 M通道滤波器组结构
An M-band analysis filter bank is shown below 输入信号被分解成 一组子带信号vk(n) 滤波器称为子带分 解滤波器组
p
0
M
s
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§9.1 M通道滤波器组结构
由低通滤波器平移得到相应的带通滤波器 希望得到频率响应为
H k (e j ) H 0 (e j ( 2 k /M ) ), 0 k M 1
的带通滤波器，频率响应 H k ( z ) 是 H 0 ( z ) 右移2k/M 的结果 其Z变换 k ), 0 k M 1 H k ( z ) H 0 ( zWM
z ( M 1) z ( M 2 ) G (z) 0 G1 ( z ) T M G2 ( z ) R ( z ) G z ( ) M 1 1
H k ( z ) j 0 z j Ekj ( z M )
M 1
Gk ( z ) j 0 z ( M 1 j ) R jk ( z M )
M 1
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§9.2 滤波器组的准确重建
例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量
H k ( z ) j 0 z j Ekj ( z M )
M 1
Gk ( z ) j 0 z ( M 1 j ) R jk ( z M )
M 1
Ekj ( z ) 是 H k ( z ) 的第j个多相分量，定义相应的矩阵 E( z )
R jk ( z ) 是 Gk ( z ) 的第j个多相分量，定义相应的矩阵 R ( z )
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§9.1 M通道滤波器组结构
理想情况： 若信号分解到M个互不重叠的子带上，那么M个通道 上的信号相加即可恢复原始信号。 M通道滤波器组： 将信号通过M个内插和抽取滤波组分解和恢复的整 个结构 子带信号： 占有各自专门频带的信号 M通道准确重建滤波器组： 信号可以从子带中准确地恢复的M通道滤波器组
0.9
1
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量
1/ 8 3z 1 / 4 z 2 / 8 1/ 4 z 1 / 4 E( z ) 1/ 2 z 1 / 2 1
1 1/ 4 z 1 / 4 R( z) 1 1 2 1/ 2 z / 2 1/ 8 3 z / 4 z / 8
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§9.2 滤波器组的准确重建
例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量 ，并给出相应的实现结构 解： R ( z )E( z )
0 -20 -40 -60
0
0.1
0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Normalized Frequency ( rad/sample)
0.9
1
100 Phase (degrees)
0
-100
0
0.1
0.2
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Normalized Frequency ( rad/sample)
R ( z ) E( z ) z I
9
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组， 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量
1/ 2 1/ 2 R ( z ) 1 1/ 2 1 1/ 2 E( z ) 1 1
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量
1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 E( z ) ( z ) R 1 1/ 2 解： 1 1 1 H 0 ( z ) (1 z 1 ) H1 ( z ) 1 z 1 2 1 1 G ( z ) 1 z 1 G0 ( z ) 1 z 1 2
滤波后，每个子带的样点数和原来一样，分解成M个子带 后样点数为原来的M倍
1
§9.1 M通道滤波器组结构
•An L-band synthesis filter bank is shown below
滤波器称为综合滤 波器组
？1 子带带宽为原始的1/M倍，是否可对子带1：M抽取 ？2 是否可以通过内插恢复原始带通信号
I
因此是准确重建滤波器组
E00 ( z ) 1/ 8 3 z 1 / 4 z 2 / 8 E01 ( z ) 1/ 4 z 1 / 4 E10 ( z ) 1/ 2 z 1 / 2 E11 ( z ) 1
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.2 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量 ，并给出相应的实现结构 解： R ( z )E( z ) 因此是准确重建滤波器组 1 H 0 ( z ) [ E00 ( z 2 ), E01 ( z 2 )] 1 z
因此：
kn , hk [n] h0[n] e j 2k n/ M h0[ n]WM
原型滤波器为线性相位，现仍为线性相位；（考虑是否对） 原型滤波器为实数，现滤波器为复数 该滤波器即可以作为分解滤波器又可以作为综合滤波器
0 k M 1
§9.2 滤波器组的准确重建
从M通道滤波器组的多相结构开始 将M通道的滤波器组用多相分量替换
1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 E( z ) ( z ) R 1 1/ 2 解： 1 1 1 1 E00 ( z ) , E01 ( z ) , E10 ( z ) 1, E11 ( z ) 1 2 2 1 1 R00 ( z ) 1, R01 ( z ) , R10 ( z ) 1, R11 ( z ) 2 2
x n
M
E0(z) E1(z)
R0(z) R1(z)
M
z-1
M
z-1
M
z-1
z-1
z-1
M
z-1 EM-1(z) RM-1(z)
M
y n
§9.2 滤波器组的准确重建
从M通道滤波器组的多相结构开始 因此，M通道准确重建的条件应为
R ( z ) E( z ) I
I 是单位阵
较为宽松的条件，增加延迟单元
Hale Waihona Puke 2对于子带[3 / M , 2 / M ] [2 / M ,3 / M ]
K＝2：M:1抽取后，频谱扩展M倍， 原频谱搬移到了[3 , 2 ] [2 ,3 ] 再以2π为周期延拓
3
§9.1 M通道滤波器组结构
结论： 1）对于子带序号K为奇数，负频谱部分映射到[0,π] 正频谱部分映射到[ -π,0]。扩展后不会发生混叠 2）对于子带序号K为偶数，正频谱部分映射到[0,π] 负频谱部分映射到[ -π,0] 3）对带通信号[ (k 1) / M , k / M ] [ k / M , (k 1) / M ] 进行1：M的抽取后，频谱不发生混叠
§9.2 滤波器组的准确重建
实际情况： 符合带通滤波器要求的理想滤波器并不存在，因此 上面仅通过内插和抽取滤波器实现准确重建是物理不可实现 仅能设计近似重建的滤波器 是否可以准确重建？ 若内插和抽取滤波器的混叠部分相互抵消，也可以 实现
5
§9.1 M通道滤波器组结构
由低通滤波器平移得到相应的带通滤波器 假设 H 0 ( z ) 是通带边缘和阻带边界在π/M 附近， 通带边缘和阻带边缘分别为 p 和 s
I
1/ 8 1/ 4 z 1 3 z 2 / 4 1/ 4 z 3 1/ 8 1 H1 ( z ) [ E10 ( z 2 ), E11 ( z 2 )] 1 z 1 2 1/ 2 z z / 2
§9.1 M通道滤波器组结构
？2 是否可以通过内插恢复原始带通信号
2
2
2 (k 1) / M k / M
/ M 0 / M
k / M (k 1) / M
2
因此，内插后利用通带为 [(k 1)/ M, k / M][k / M,(k 1)/ M] 的带通滤波器即可以恢复原始带通信号
§9.2 滤波器组的准确重建
从M通道滤波器组的多相结构开始 y n 再利用恒等变换
x n
E0(zM) z-1 E1(zM) z-1
M
M
R0(zM) z-1 R1(zM) z-1
M
M
z-1 EM-1(zM) M
z-1
M
RM-1(zM)
y n
8
§9.2 滤波器组的准确重建
从M通道滤波器组的多相结构开始 y n 再利用恒等变换
称为Haar滤波器组
11
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组
1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 E( z ) ( z ) R 1 1/ 2 1 1
Magnitude (dB)
解： 滤波器远非理想 频谱响应 但由于子带混叠 处互补，因此仍 能实现准确重建
对限带于 [ / M , / M ] 的低通信号，M:1抽取后没有混叠 ？带通信号呢？
2
§9.1 M通道滤波器组结构
( k 1) / M k / M 2 / M / M
/ M 2 / M
k / M (k 1) / M
2
2
对于子带
[2 / M , / M ] [ / M , 2 / M ]
§9.1 M通道滤波器组结构
•对信号进行M个子带分割，分割后频谱形式为：
(k 1)/ M k / M 2 / M / M / M 2 / M k / M (k 1)/ M
第K个子带为： [ (k 1) / M , k / M ] [ k / M , (k 1) / M ]
§9.2 滤波器组的准确重建
例9.1 证明下面两个矩阵可以生成一个准确重建滤波器组 并且写出分析滤波器，合成滤波器及各自的多相分量
1/ 2 1/ 2 1 1/ 2 E( z ) ( z ) R 1 1/ 2 1 1 解： R ( z )E( z ) I 因此是准确重建滤波器组
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§9.2 滤波器组的准确重建
从M通道滤波器组的多相结构开始 将M通道的滤波器组用多相分量替换
1 z 1 H (z) 0 H1 ( z ) M 2 z H 2 ( z ) E( z ) ( ) H z M 1 ( 1) M z