湖北省武汉市第六十三中学2020年高二数学文模拟试卷含解析

湖北省武汉市第六十三中学2020年高二数学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若集合，，则满足条件的实数的个数有
A．个 B．个 C．个 D．个
参考答案：
C
略
2. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）
A．35 B．20 C．18 D．9
参考答案：
C 【考点】程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=3，
故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，
满足进行循环的条件，v=9，i=0，
满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1
不满足进行循环的条件，
故输出的v值为：
故选：C
3. 圆(x－1)2＋(y－1)2＝2被轴截得的弦长等于()。

A 1
B
C 2
D 3
参考答案：
C
略
4. 为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十进制）如图所示，假设得分值的中位数为，众数为，平均值为，则（）
A． B. C. D.
参考答案：
D
5. 过椭圆内一点引一条恰好被点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是
（）
A． B． C.
D．
参考答案：
A
6. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（）
A、1
B、4
C、5
D、6
参考答案：
D
7. 一个圆柱的轴截面为正方形，其体积与一个球的体积之比是3：2，则这个
圆柱的侧面积与这个球的表面积之比为（）
A 1:1
B 1:
C :
D 3:2参考答案：
A
8. 抛物线的准线方程是（）
A．B． C. D．
参考答案：
D
抛物线可以化为则准线方程是
9. 已知满足约束条件则的最大值为( )
A . B. C.
D.
参考答案：
D
10. 若复数，则在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 抛物线的焦点坐标是
.
参考答案：
略
12. 设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|－|PF2|＝1，则cos∠F1PF2＝________
参考答案：
略
13. 若关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根，则实数a的取值范
围．
参考答案：
a＜﹣3
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】计算题．
【分析】令f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6，根据关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根，则f（0）＜0，解之即可求出所求．
【解答】解：令f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6
∵关于x的方程x2+2（a﹣1）x+2a+6=0有一正一负两实数根
∴f（0）=2a+6＜0解得a＜﹣3
故答案为：a＜﹣3
【点评】本题主要考查了方程根的分布，以及函数的零点的判定定理，同时考查了转化的能力，属于基础题．
14. 给定下列命题：
①若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根；
②“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题；
③“矩形的对角线相等”的逆命题；
④“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．
其中真命题的序号是__________．
参考答案：
①②④
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：利用判别式的符号判断①的正误；命题的否命题的真假判断②的正误；逆命题的真假判断③的正误；通过命题的否命题的真假判断④的正误；
解答：解：对于①，若k＞0，则方程x2+2x﹣k=0有实数根，∵△4+4k＞0，∴方程x2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根；①正确；对于②，“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题：若a≤b，则a+c≤b+c，满足不等式的基本性质，∴②正确；
对于③，“矩形的对角线相等”的逆命题：对角线相等的四边形是矩形，显然不正确，例如等腰梯形，∴③不正确；
对于④，“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题：若xy≠0，则x、y中都不为0．正确；正确命题：①②④．
故答案为：①②④．
点评：本题考查命题的真假的判断，命题的否定以及四种命题的关系，考查基本知识的应用
15. 由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是；
参考答案：
正方形的对角线相等
16. 平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C．关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论：
①曲线C关于y轴对称；
②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；
③若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4．
其中，所有正确结论的序号是．
参考答案：
①②③
【考点】轨迹方程．
【分析】设出曲线上的点的坐标，求出曲线方程，画出图象，即可判断选项的正误．
【解答】解：设P（x，y）是曲线C上的任意一点，
因为曲线C是平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的点的轨迹，
所以|PF|+|y+1|=4．即+|y+1|=4，
解得y≥﹣1时，y=2﹣x2，当y＜﹣1时，y=x2﹣2；
显然①曲线C关于y轴对称；正确．
②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；正确．
③若点P在曲线C上，|PF|+|y+1|=4，|y|≤2，则1≤|PF|≤4．正确．
故答案为：①②③．
17. 如图是某算法的程序框图，当输入的值为7
时，则其输出的结果是
参考答案： 4
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （1）已知cos （+x ）=，（＜x ＜），求的值．
（2）若，是夹角60°的两个单位向量，求=2+与=﹣3+2的夹角．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角；三角函数的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；三角函数的求值；平面向量及应用．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得 sin （x+）的值，可得tan （x+）的
值，求出正弦函数与余弦函数值，即可求表达式的值．
（2）利用向量的数量积公式以及向量的模的运算法则化简求解即可．
【解答】解：（1）∵＜x ＜，∴x+∈（，2π），再结合cos （+x ）=＞0，可
得sin （x+
）=﹣，∴tan（x+
）=﹣．
由（cosα﹣sinα）=，（sinα+cosα）=﹣，解得sinα=，cosα=﹣，
tanα=9．
==﹣．
（2），是夹角60°的两个单位向量，=2+与=﹣3+2，
可得cos ====．
=2+与=﹣3+2的夹角为：120°．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式的应用，向量的数量积的应用，属于中档题．
19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cosC+（cosA ﹣
sinA ）cosB=0．
（1）求角B 的大小；
（2）若a+c=1，求b 的取值范围．
参考答案：
【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．
【分析】（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根
据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．
【解答】解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，
即sinAsinB﹣sinAcosB=0，
∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，
又B为三角形的内角，
则B=；
（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac?cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）
2+，
∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，
则≤b＜1．
20. （本题满分14分）
如图所示，已知曲线与曲线交于点O、A，直线
(0<t≤1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连接OD、DA、AB。

（1）写出曲边四边形ABOD（阴影部分）的面积S与t的函数关系式；
（2）求函数在区间上的最大值。

参考答案：
（本题满分14分）解：（1）由
解得或（2分）∴O（0，0），A（a,a2）。

又由已知得B（t,-t2+2at）,D(t,t2),
∴
…… 6分
（2）=t2-2at+a2,令=0，即t2-2at+a2=0。

解得t=(2-)a或t=(2+)a.
∵0<t≤1,a>1, ∴t=(2+)a应舍去。

即t=(2-)a 8分
若(2-)a≥1,即a≥时，∵0<t≤1，∴≥0。

∴在区间上单调递增，S的最大值是=a2-a+. 10分
若(2-)a<1, 即1<a<时，
当0<t<(2-)a时，
.
当(2-)a<t≤1时，.
∴在区间(0, (2-)a]上单调递增，在区间[(2-)a，1]上单调递减。

∴=(2-)a是极大值点，也是最大值点 12分
∴的最大值是f((2-)a)=[ (2-)a]3-a[(2-)a]2+a2(2-)a=.13分
综上所述。

…… 14分
略
21. 设椭圆的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆和x轴正半轴于P，Q两点，且AP：PQ=8：5．
（1）求椭圆的离心率；
（2）已知直线l过点M（﹣3，0），倾斜角为，圆C过A，Q，F三点，若直线l恰好与圆C相切，求椭圆方程．
参考答案：
【考点】椭圆的简单性质；直线与圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）设出P，Q，F坐标，利用以及AP：PQ=8：5，求出P的坐标代入椭圆方程，即可求椭圆的离心率；
（2）利用直线l过点M（﹣3，0），倾斜角为，求出直线的方程，通过圆C过A，Q，F三点，直线l恰好与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，求出a，b，c的值，即可求得椭圆方程．
【解答】解：（1）设点Q（x0，0），F（﹣c，0），P（x，y），其中，A（0，b）．由AP：PQ=8：5，得，
即，得，…（2分）
点P在椭圆上，∴．①…（4分）而，
∴．
∴．②…（6分）
由①②知2b2=3ac，
∴2c2+3ac﹣2a2=0．
∴2e2+3e﹣2=0，
∴．…（8分）
（2）由题意，得直线l的方程，即，
满足条件的圆心为，
又a=2c，∴，∴O′（c，0）．…（10分）圆半径．…（12分）
由圆与直线l：相切得，，…（14分）
又a=2c，∴．
∴椭圆方程为．…（16分）
【点评】本题是中档题，考查题意的离心率的求法，直线与圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查计算能力，转化思想，常考题型．
22. 如图，F是椭圆(a>b>0)的一个焦点，A,B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为．点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线l1：相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程：
（Ⅱ）过点A的直线l2与圆M交于PQ两点，
且，求直线l2的方程．
参考答案：
解析：(1)F(－c，0)，B(0,)，∵k BF=，
k BC=－，C(3c，0)
且圆M的方程为(x－c)2+y2=4c2，圆M与直线l1：x+y+3=0相切，
∴，解得c=1，
∴所求的椭圆方程为 6分
(2) 点A的坐标为(－2，0)，圆M的方程为(x－1)2+y2=4，
过点A斜率不存在的直线与圆不相交，设直线l2的方程为y=k(x+2)，
∵，又，∴cos< >=∴∠PMQ=120°，圆心M到直线l2的距离d=，所以，∴k=所求直线的方程为x±2+2=0． 14分。