阳泉市2019年中考数学一轮复习导学案(专题1实数的有关概念)

1.实数的有关概念
题组练习一（问题习题化） 1. 下
列各数中，最小的数是( )
A ．3-
B ．2-
C ．2
)3(-
D ．3102⨯
2. 在实数
，，0，，
，﹣1.414，有理数有（ ）个.
A.1
B.2
C.3
D.4 3.下列运算正确的是（ ） A.-87×(-83)=7221 B.-2.68-7.42=-10 C.3.77-7.11=-4.66 D.101102
102103
-
<-
4.下列说法正确的是（ ） A.一个数的绝对值一定比0大
B.一个数的相反数一定比它本身小
C.绝对值等于它本身的数一定是正数
D.最小的正整数是1 5.设n 为正整数，且n ＜
＜n+1，则n 的值为_____.
6.实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算||a b -的结果为（ ）
7. 某市在一次扶贫助残活动中，共捐款5280000元，将5280000用科学记数法表示为 _______________. ◆ 知识梳理
题组练习二（知识络化）
8. 在实数0 、π 、
7
22
、2 、9 - 中 ，无理数的个数有 . 9.设a n 为正整数n 4
的末位数，如a 1＝1，a 2＝6，a 3＝1,a 4＝6. 则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＋a 2019＋a 2019＝ .
10.数轴上实数b 的对应点的位置如图所示．比较大小：
2
1
b ＋1________0＞ (用“＜”或“＞”填空）．
11.
估计
1
2
介于 ( ) A ．0.4与0.5之间 B ．0.5与0.6之间 C ．0.6与0.7之间 D ．0.7与0.8之间
12石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料 ，其理论厚度仅是0.00000000034m ,这个数用科学记 数法表示正确的是（ ） A. 3.4×109
- B. 0.34×10
9
- C. 3.4×10
10
- D. 3.4×10
11
-
`13如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ） A.
点M B. 点N C. 点P D. 点
Q
实数的概念；实数与数轴上的
14. 如图，M ，N 两点在数轴上表示的数分别是m ，n ，则下列式子中成立的是（ ）
A ． m+n ＜0
B ． ﹣m ＜﹣n
C ．|m|﹣|n|＞0
D ． 2+m ＜2+n 15.将6.18×10﹣3
化为小数的是（ ）
16.如图，正方形ODBC 中，OC=1，OA=OB ，则数轴上点A 表示的数是 ．
第16题图
17.如图3，已知数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示数-2、1、2、3，则表示3P 应落在线段（ ）
18.在数轴上表示数－1和2019的两点分别为A 和B ，则A 、B 两点间的距离为( )
A ．2019
B ．2019
C ．2019
D ．2019
19.已知2-x +（y-4）2
=0，求以x ，y 为两边长的等腰三角形的周长？
20. 一组数1,1,2,x,5,y ，…,满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数
中y 表示的数为A
A.8
B.9
C.13
D.15 题组练习三（中考考点链接） 21.若（±3）2
=a 2
则a 的值是_______ .
22. 我市2019年参加中考的考生人数约为43400人，将43400用科学记数法表为 ． 23. 32)1(-的立方根是( )
A ．－1
B ．O
C ．1
D ． ±1
24.设边长为3的正方形的对角线长为a ．下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a ＜4；④a 是18的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①②④ D. ①③④ 25. 若﹣2x
m ﹣n y 2
与3x 4y
2m+n
是同类项，则m ﹣3n 的立方根是______．
26.2210b b -+=，则2
2
1
||a b a +
-＝ _____________。

答案：
1.A ；
2.D ；
3.A ；
4.A ；
5.8；
6. b a -；
7. 5.28×106
；
8. 2个； 9.6652； 10. ＞； 11.； C 12.C ； 13.C ； 14.D ； 15. 0.00618； 16.﹣；
17. ．OB 上； 18.C ； 19.10； 20. A
21. 4.34×104
22. 2.5×103
；23.C ；24.C ；25.2；
26.2(1)0b -=
∴23101
a a
b ⎧-+=⎨=⎩， 由2
310a a -+=，得1a a +
＝3，两边平方，得2
21a a
+＝7，∴原式＝7－1＝6
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，在△ABC 中，∠CAB=65°，将△ABC 在平面内绕点 A 旋转到△AB′C′ 的位置，使 CC′∥AB ，则旋转角的度数为（ ）
A ．35°
B ．40°
C ．50°
D ．65°
2．已知，则以下对m 的估算正确的（ ） A.2＜m ＜3
B.3＜m ＜4
C.4＜m ＜5
D.5＜m ＜6
3．“六一”儿童节快到了，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种儿童玩具赠送给某幼儿园，则可供小芳妈妈选择的购买方案有 A.4种
B.5种
C.6种
D.7种
4．下列运算正确的是（ ） A ．2m 2+m 2＝3m 4
B ．（mn 2）2＝mn 4
C ．2m•4m 2＝8m 2
D ．m 5÷m 3＝m 2
5．已知反比例函数y ＝﹣8
x
，下列结论中错误的是（ ） A.图象在二，四象限内 B.图象必经过（﹣2，4） C.当﹣1＜x ＜0时，y ＞8
D.y 随x 的增大而减小
6．扇子是引风用品，夏令必备之物，中国传统扇文化有深厚的文化底蕴，它与竹文化，道教文化，儒家文化有密切的关系。

如图，AD 的长为10cm,贴纸部分BD 的长为20cm,扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB ，AC 夹角为120°，则贴纸部分的面积为( )
A ．100πcm 2
B ．
400
3
πcm 2 C ．800πcm 2
D ．
800
3
πcm 2 7．关于反比例函数2
y x
=的图象，下列说法正确的是( ) A ．图象经过点()1,1
B ．两个分支分布在第二、四象限
C ．当x 0<时，y 随x 的增大而减小
D ．两个分支关于x 轴成轴对称
8．若一次函数y ax b =+（,a b 为常数且0a ≠）满足如表，则方程0ax b +=的解是（ ）
A ．1x =
B ．1x =-
C ．2x =
D ．3x =
9．给出下列各式：①（﹣2）0
＝1；②（a+b ）2
＝a 2
+b 2
；③（﹣3ab 3
）2
＝9a 2b 6
；④-2
1-3⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝9，其中正确的是（ ） A ．①③④
B ．①②③
C ．①②④
D ．②③④
10．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点F ，已知S △AEF ＝3，则下列结论：①1
=2
AF FD ；②S △BCE ＝30；③S △ABE ＝9；④△AEF ∽△ACD ，其中一定正确的是（ ）
A ．①②③④
B ．①③
C ．②③④
D ．①②③
11．如图，已知菱形ABCD 的面积为，对角线AC 长为M 为BC 的中点，若P 为对角线AC 上一动点，则PB 与PM 之和的最小值为（ ）
A B ．C ．2 D ．4
12．如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S ▱AEPH ＝（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
二、填空题
13．如图所示，在正方形ABCD 中，以AB 为边向正方形外作等边三角形ABE ，连接CE 、BD 交于点G ，连接AG ，那么∠AGD 的底数是_____度．
14．如图，已知△ABO 顶点A （－3，6），以原点O 为位似中心，把△ABO 缩小到原来的
1
3
，则与点A 对应
的点A'的坐标是________．
15．如图，是某射手在相同条件下进行射击训练的结果统计图，该射手击中靶心的概率的估计值为_____．
16．如图，已知点A 在反比例函数(0)k
y x x
=
> 的图象上，作Rt ABC ，边BC 在x 轴上，点D 为斜边AC 的中点，连结DB 并延长交y 轴于点E ，若BCE 的面积为6，则k=___。

17．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，对角线AC 平分BAD ∠，点P 是ABC ∆内一点，连接PA ，
PB ，PC ，若6PA =，8PB =，10PC =，则菱形ABCD 的面积等于___________．
18．如图，在等腰Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，4AC =，以边AC 为直径的半圆交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是__________（结果保留π）.
三、解答题
19．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设点D是在x轴上方的二次函数图象上的点，且△DAB的面积为5，求出所有满足条件的点D的坐标；（3）能否在抛物线上找点P，使∠APB＝90°？若能，请直接写出所有满足条件的点P；若不能，请说明理由．
20．如图，抛物线的顶点D的坐标为（﹣1，4），抛物线与x轴相交于A．B两点（A在B的左侧），与y
轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，已知点E（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△CEF的周长最小，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AD，若点P是线段OC上的一动点，过点P作线段AD的垂线，在第二象限分别与抛物线、线段AD相交于点M、N，当MN最大时，求△POM的面积．
21．已知：如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AB∥DE，∠A＝∠D，BF＝EC．
（1）求证：△ABC≌△DEF．
（2）若∠A＝120°，∠B＝20°，求∠DFC的度数．
22．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC延长线一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E．
（1）求证：直线EC为⊙O的切线；
（2）设BE与⊙O交于点F，AF的延长线与EC交于点P，已知∠PCF＝∠CBF，PC＝5，PF＝3．求：cos∠
PEF的值．
23．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°的方向上，求C处与灯塔A的距离.
24．一家商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为件；
（2）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
（3）求每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润的最大值是多少元？
25．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，EO⊥AB，垂足为O，EO交AC于E．过点C作⊙O的切线CD 交AB的延长线于点D．
（1）求证：∠AEO+∠BCD＝90°；（2）若AC＝CD＝3，求⊙O的半径．
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．60
14．（-1，2）或（1，-2） 15．600 16．12 17
． 18．6π- 三、解答题 19．（1）213
222
y x x =-
++；（2）点D 的坐标为（0，2）或（3，2）；（3）能，满足条件的点P 的坐标为（0，2）或（3，2）. 【解析】 【分析】
（1）根据点A 、B 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；
（2）设点D 的纵坐标为m （m ＞0），根据三角形的面积公式结合△DAB 的面积为5，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点D 的坐标； （3）假设成立，等点P 与点C 重合时，可利用勾股定理求出AP 、BP 的长度，由AP 2+BP 2=AB 2可得出此时∠APB=90°，再利用二次函数图象的对称性即可找出点P 的另一坐标，此题得解． 【详解】
解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象经过A （﹣1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点，
∴016402a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：12322
a b c ⎧
=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪
=⎪⎪⎩
，
∴该二次函数的解析式为213
222
y x x =-
++． （2）设点D 的纵坐标为m （m ＞0）， 则DAB 11
S AB m 5m 522
∆=⋅=⨯=， ∴m ＝2．
当y ＝2时，有213
2222
x x -++=，
解得：x 1＝0，x 2＝3，
∴满足条件的点D 的坐标为（0，2）或（3，2）． （3）假设能，当点P 与点C 重合时，
有AP AC BC 5=====，
∵222255+==，即AP 2+BP 2＝AB 2， ∴∠APB ＝90°，
∴假设成立，点P的坐标为（0，2）．
由对称性可知：当点P的坐标为（3，2）时，∠APB＝90°．
故满足条件的点P的坐标为（0，2）或（3，2）．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理以及勾股定理的逆运用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式结合△DAB的面积为5，求出点D的纵坐标；（3）利用勾股定理的逆运用，找出∠ACB=90°．20．(1)y=﹣x2﹣2x+3；(2) 存在, F（﹣1，0）,理由见解析；（3）2
【解析】
【分析】
(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式;
(2) 如图 1，作 C关于对称轴的对称点C′，连接EC′交对称轴于 F，根据轴对称的最短路径问题, CF+EF 的值最小，则△CEF的周长最小;
(3)如图2,先利用待定系数法求AD的解析式为: y＝2x+6,设M（m，﹣m2﹣2m+3），则G（m，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1）,证明△MNG∽△AHD,列比例式可得MN的表达式,根据配方法可得当m=-2时,MN有最大值,证明△MCP ∽△DHA,同理得PC的长,从而得OP的长,根据三角形的面积公式可得结论,并将m=-2代入计算即可
【详解】
（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4，
把x＝0，y＝3代入得：3＝a（0+1）2+4，解得：a＝﹣1
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；
（2）存在．如图 1，作 C关于对称轴的对称点C′，连接EC′交对称轴于 F，此时 CF+EF的值最小，则△CEF的周长最小．
∵C（0，3），
∴C′（﹣2，3），易得C′E的解析式为：y＝﹣3x﹣3，
当x＝﹣1时，y＝﹣3×（﹣1）﹣3＝0，
∴F（﹣1，0）
（3）如图2，∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），
易得AD的解析式为：y＝2x+6，
过点D作DH⊥x轴于H，过点M作MG⊥x轴交AD于G，
AH＝﹣1﹣（﹣3）＝2，DH＝4，∴AD
=，
设M （m ，﹣m 2
﹣2m+3），则G （m ，2m+6），（﹣3≤m≤﹣1）， ∴MG ＝（﹣m 2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m 2﹣4m ﹣3， 由题易知△MNG ∽△AHD ， ∴
=MG AD
MN AH
即222)
AH MG MN m AD ⨯===+
0 ∴当m ＝﹣2时，MN 有最大值；
此时M （﹣2，3），又∵C （0，3），连接MC ∴MC ⊥y 轴
∵∠CPM ＝∠HAD ，∠MCP ＝∠DHA ＝90°， ∴△MCP ∽△DHA ， ∴
PC MC
AH DH
= 即
2
24
PC = ∴PC ＝1
∴OP ＝OC ﹣PG ＝3﹣1＝2， ∴S △POM ＝
1
222
⨯⨯ ＝2，
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数
的解析式、相似三角形的性质和判定、三角形的面积、轴对称的最短路径问题,根据比例式列岀关于m 的方程是解题答问题(3)的关键 21．（1）见解析；（2）∠DFC ＝40° 【解析】 【分析】
（1）根据题意由全等三角形的性质AAS 可以推出△ABC ≌△DEF （2）由（1）已知△ABC ≌△DEF ，再根据三角形内角和，即可解答 【详解】
（1）证明：∵AB ∥DE ， ∴∠B ＝∠E ， ∵BF ＝EC ∴BF+FC ＝EC+CF ， 即BC ＝EF ，
在△ABC 和△DEF 中， B E BC EF ⎧⎪
=⎨⎪=⎩
∠A=∠D ∠∠ ， ∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；
（2）解：∵∠A ＝120°，∠B ＝20°， ∴∠ACB ＝40°， 由（1）知△ABC ≌△DEF ， ∴∠ACB ＝∠DFE ， ∴∠DFE ＝40°， ∴∠DFC ＝40°． 【点睛】
此题考查全等三角形的判定和三角形内角和，解题关键在于找到三角形全等的条件 22．（1）详见解析；（2）4
5
. 【解析】 【分析】
（1）说明OC 是△BDA 的中位线，利用中位线的性质，得到∠OCE=∠CED=90°，从而得到CE 是圆O 的切线．
（2）利用直径上的圆周角，得到△PEF 是直角三角形，利用角相等，可得到△PEF ∽△PEA 、△PCF ∽△PAC ，从而得到PC=PE=5．然后求出cos ∠PEF 的值． 【详解】
（1）证明：∵CE ⊥AD 于点E ∴∠DEC ＝90°， ∵BC ＝CD ， ∴C 是BD 的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OC是△BDA的中位线，
∴OC∥AD，
∴∠OCE＝∠CED＝90°，
∴OC⊥CE，
又∵点C在圆上，
∴CE是圆O的切线；
（2）连接AC，
∵AB是直径，点F在圆上
∴∠AFB＝∠PFE＝90°＝∠CEA，∵∠EPF＝∠EPA，
∴△PEF∽△PEA，
∴PE2＝PF×PA，
∵∠FBC＝∠PCF＝∠CAF，
又∵∠CPF＝∠CPA，
∴△PCF∽△PAC，
∴PC2＝PF×PA，
∴PE＝PC，
在直角△PEF中，
∴EF＝4，cos∠PEF＝
4
=
5 EF
PE
．
【点睛】
本题考查了切线的判定、三角形的中位线定理、相似三角形的性质和判定等知识点．利用三角形相似，说明PE=PC是解决本题的难点和关键．
23．25海里
【解析】
【分析】
根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的腰长相等即可得出答案．
【详解】
解：由题意得，∠1=∠2=30°，
∵∠ACD=60°，∴∠ACB=90°，
∴∠CBA=75°-30°=45°，
∴ΔABC为等腰直角三角形，
∵BC=50×0.5=25，
∴AC=BC=25海里．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．
24．（1）26；（2）每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元；（3）当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．
【解析】
【分析】
（1）根据题意销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，计算即可.
（2）设出设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意列出方程求解即可. （3）根据题意设设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元，再根据一元二次方程求解最大值即可.
【详解】
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件．
故答案为：26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，根据题意，得（40﹣x）（20+2x）＝1200 整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20
要求每件盈利不少于25元
∴x2＝20应舍去，解得x＝10
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
（3）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元
则：y＝（40﹣n）（20+2n）
y＝﹣2n2+60n+800
n＝﹣2＜0
∴y有最大值
当n＝15时，y有最大值＝1250元，此时每件利润为25元，符合题意
即当每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用问题，特别注意函数的取值范围，再求最大值是要先分析函数的取值范围，在计算函数值的最大值.
25．（1）见解析；（2）⊙O.
【解析】 【分析】
（1）连接OC ，根据圆周角定理得到∠ACB ＝90°，求得∠A+∠ABC ＝90°，根据余角的性质得到∠AEO ＝∠ABC ，根据切线的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠A ＝∠ACO ，∠A ＝∠D ，解直角三角形即可得到结论． 【详解】
解：（1）连接OC ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°， ∴∠A+∠ABC ＝90°， ∵EO ⊥AB ，
∴∠A+∠AEO ＝90°， ∴∠AEO ＝∠ABC ， ∵OC ＝OB ， ∴∠ABC ＝∠OCB ， ∴∠AEO ＝∠OCB ， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴∠OCD ＝90°， ∴∠AEO+∠BCD ＝90°； （2）∵OA ＝OC ， ∴∠A ＝∠ACO ， ∵AC ＝CD ， ∴∠A ＝∠D ，
∵∠A+∠D+∠ACO+∠OCD ＝180°， ∴3∠A+90°＝180°， ∴∠A ＝30°， ∵AC ＝3，
∴
cos303
2
AC AB =
=
=
∴⊙O
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．关于x 的不等式组0
233(2)
x m x x ->⎧⎨-≥-⎩恰有四个整数解，那么m 的取值范围为( )
A.10m -≤<
B.10m -<<
C.1m ≥-
D.0m <
2．太阳的直径约为1 390 000千米，这个数用科学记数法表示为（ ） A.0.139×107千米 B.1.39×106千米 C.13.9×105
千米
D.139×104
千米
3．如图，直线y ，点A 1坐标为（1，0），过点A 1作x 轴的垂线交直线于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画弧交x 轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画弧交x 轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A 2019的坐标为（ ）
A ．（22017，0）
B ．（22018，0）
C ．（22020，0）
D ．（24034，0）
4．如图,在☉O 中,弦AB ⊥BC,AB=3,BC=4,D 是BC 上一点,弦AD 与BC 所夹的锐角度数是72°,则扇形BOD 的面积为 ( )
A ．
π
2
B ．
5π8
C ．
3π5
D ．
3π4
5．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
6．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，6），点B 在x 轴的负半轴上，将线段AB 绕点A 逆时针旋转90°至AB'，点M 是线段AB'的中点，若反比例函数k
y x
=
(k≠0)的图象恰好经过点B'，M ，则k ＝（ ）
A.4
B.6
C.9
D.12
7．如图，抛物线y=ax 2
+bx+c 经过点(–1，0)，抛物线的对称轴为直线x=1，那么下列结论中：①b<0；②方程ax 2+bx+c=0的解为–1和3；③2a+b=0；④m(ma+b)<a+b(常数m≠0)，正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
8．下列几何体是由4个正方体搭成的，其中主视图和俯视图相同的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若一次函数y ax b =+（,a b 为常数且0a ≠）满足如表，则方程0ax b +=的解是（ ）
A ．1x =
B ．1x =-
C ．2x =
D ．3x =
10．为选拔一名选手参加全国中学生男子百米比赛，我市四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数x 及其方差s 2如表所示：
如果从中选拔一名学生去参赛，应派（ ）去． A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
11．下列运算正确的是（ ） A ．（y+1）（y ﹣1）＝y 2﹣1 B ．x 3+x 5＝x 8 C ．a 10÷a 2＝a 5
D ．（﹣a 2b ）3＝a 6b 3
12．△OAB 在第一象限中，OA ＝AB ，OA ⊥AB ，O 是坐标原点，且函数y ＝1
x
正好过A ，B 两点，BE ⊥x 轴于E 点，则OE 2﹣BE 2的值为（ ）
A ．3
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．不等式4x ﹣8＜0的解集是______．
14．已知扇形所在圆半径为4，弧长为6π，则扇形面积为_____ 15．因式分解：233m -=____________．
16．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，点M 是BC 上一点，且BM ＝4，点P 是边AB 上一动点，连接PM ，将△BPM 沿PM 翻折得到△DPM ，点D 与点B 对应，连接AD ，则AD 的最小值为_____．
17．计算：（﹣2a ）2
•a＝_____．
18．某商店三月份的利润是25000元，要使五月份的利润达到36000元，假设每月的利润增长率相同，那么这个相同的增长率是________ 三、解答题
19．解不等式组：3
31213(1)8x x x x
-⎧+>+⎪
⎨⎪--≤-⎩．
20．先化简，再求值:22
21
1211x x x x x x ⎛⎫-÷-+ ⎪-+-⎝⎭
，其中1x =.
21．某化工材料经销公司购进一种化工材料若干千克，价格为每千克40元，物价部门规定其销售单价不高于每千克70元，不低于每千克40元．经市场调查发现，日销量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x ＝70时，y ＝80；x ＝60时，y ＝100．在销售过程中，每天还要支付其他费用350元． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式； (3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？
22．根据某网站调查，2016年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐及其他共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
根据所给信息解答下列问题：
（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；
（2）若成都市约有880万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？
（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四人中随机抽取两人进行座谈，试用列表或树形图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
23．从沈阳到大连的火车原来的平均速度是180千米/时，经过两次提速后平均速度为217.8干米/时，这两次提速的百分率相同．
（1）求该火车每次提速的百分率；
（2）填空：若沈阳到大连的铁路长396千米，则第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用了 小时．
24．中国海军亚丁湾护航十年，中国海军被亚丁湾上来往的各国商船誉为“值得信赖的保护伞”如图，在一次护航行动中，我国海军监测到一批可疑快艇正快速向护航的船队靠近．为保证船队安全，我国海军迅速派出甲、乙两架直升机分别从相距20海里的船队首（O 点）尾（A 点）前去拦截，4分钟后同时到达B 点将可疑快艇驱离．已知甲直升机每小时飞行180海里，航向为北偏东25°，乙直升机的航向为北偏西65°，求乙直升机的飞行速度．
25．如图，C 是O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，O 的半径为3，2PB =， 4PC =.
（1）求证: PC 是O 的切线.
（2）求tan CAB ∠的值，
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．x ＜2．
14． ； 15．()()311m m -+
164
17．4a 3
18．20%
三、解答题
19．﹣2≤x＜1．
【解析】
【分析】
分别求出一元一次不等式的解，然后求交集即可解答.
【详解】 331213(1)8x x x x -⎧+>+⎪⎨⎪--≤-⎩①②
， 由①得：x ＜1，
由②得：x≥﹣2，
∴不等式组的解集是﹣2≤x＜1．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握是解题的关键.
20. 【解析】
【分析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
2
221(1)1
21x x x x x x -÷-+--+，
＝2221(1)(1)(1)1
x x x x x x ----÷-- ＝222211(1)21
x x x x x x --⋅--+- ＝
211121
x x x -⋅-- ＝11x -，
当1x =
== 【点睛】
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
21．(1) y ＝﹣2x +220(40≤x≤70)；(2) w ＝﹣2x 2
+300x ﹣9150；(3) 当销售单价为70元时，该公司日获利最大，为2050元．
【解析】
【分析】
（1）根据y 与x 成一次函数解析式，设为y ＝kx+b （k≠0），把x 与y 的两对值代入求出k 与b 的值，即可确定出y 与x 的解析式，并求出x 的范围即可；
（2）根据利润＝单价×销售量，列出w 关于x 的二次函数解析式即可；
（3）利用二次函数的性质求出w 的最大值，以及此时x 的值即可．
【详解】
(1)设y ＝kx+b(k≠0)， 根据题意得708060100k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：k ＝﹣2，b ＝220，
∴y ＝﹣2x+220(40≤x≤70)；
(2)w ＝(x ﹣40)(﹣2x+220)﹣350＝﹣2x 2+300x ﹣9150＝﹣2(x ﹣75)2+2100；
(3)w ＝﹣2(x ﹣75)2+2100，
∵40≤x≤70，
∴x ＝70时，w 有最大值为w ＝﹣2×25+2100＝2050元，
∴当销售单价为70元时，该公司日获利最大，为2050元．
【点睛】
此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
22．（1）详见解析；（2）88；（3）
16
． 【解析】
【分析】
（1）根据关注消费的人数是420人，所占的比例式是30%，即可求得总人数，然后利用总人数乘以关注
教育的比例求得关注教育的人数；
（2）利用总人数乘以对应的百分比即可得到最关注环保问题的人数；（3）利用列举法画树状图，即可求得抽取的两人恰好是甲和乙的概率．【详解】
（1）调查的总人数是：420÷30%＝1400（人），
关注教育的人数是：1400×25%＝350（人）．
如图所示：
；
（2）最关注环保问题的人数为：880×10%＝88万人；
（3）画树形图得：
则P（抽取的两人恰好是甲和乙）＝
21
= 126
．
【点睛】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（1）该火车每次提速的百分率为10%．（2）0.2．
【解析】
【分析】
(1)设该火车每次提速的百分率为x，根据提速前的速度及经两次提速后的速度，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)利用第一次提速后的速度＝提速前的速度×(1+提速的百分率)可求出第一次提速后的速度，再利用少用的时间＝两地间铁路长÷提速前的速度﹣两地间铁路长÷第一次提速后的速度，即可求出结论．
【详解】
(1)设该火车每次提速的百分率为x，
依题意，得：180(1+x)2＝217.8，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1(舍去)，
答：该火车每次提速的百分率为10%；
(2)第一次提速后的速度为180×(1+10%)＝198(千米/时)，
第一次提速后从甲地到乙地所用的时间比提速前少用的时间为396396
180198
-＝0.2(小时)，
故答案为：0.2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．24．乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里．
【解析】
【分析】
根据已知条件得到∠ABO=25°+65°=90°，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
∵甲直升机航向为北偏东25°，乙直升机的航向为北偏西65°，
∴∠ABO=25°+65°=90°，
∵OA=20，OB=180×4
60
=12，
∴，
∵16÷4
60
=240海里，
答：乙直升机的飞行速度为每小时飞行240海里．
【点睛】
本题考查了解直角三角形-方向角问题，正确的理解题意是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）
1 tan
2
CAB
∠=.
【解析】
【分析】
（1），连接OC、BC，证明OC2＋PC2＝OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；
（2）AB是直径，得∠ACB＝90°，通过角的关系可以证明△PBC∽△PCA，进而得到
21
42 BC PB
AC PC
===，
得出
1 tan
2
BC
CAB
AC
∠==.
【详解】
（1）如图，连接OC、BC，
O的半径为3，2
PB=，
∴3OC OB ==，5OP OB PB =+=，
4PC =，
∴222OC PC OP +=，
∴OCP ∆是直角三角形，
∴OC PC ⊥，
∴PC 是O 的切线．
（2）AB 是直径，
∴90ACB ∠=︒，
∴90ACO OCB ∠+∠=︒，
OC PC ⊥，
∴90BCP OCB ∠+∠=︒，
∴BCP ACO ∠=∠，
OA OC =，
∴A ACO ∠=∠，
∴A BCP ∠=∠，
在PBC ∆和PCA ∆中, BCP A ∠=∠，P P ∠=∠，
∴PBC PCA ∆∆， ∴2142BC PB AC PC ===， 1tan 2
BC CAB AC ∠==. 【点睛】
本题考查了圆的性质、勾股定理逆定理、三角形相似、三角函数等知识，能证明图中三角形相似是解决问题的关键．。