高三数学-【数学】江西省南昌二中2018届高三上学期第

南昌二中高三（理）第四次月考题
一、 选择题
1. 已知集合{}{},,23,,13Z n n x x B Z n n x x A ∈+==∈+=={
36+==n x x C ,
}Z
n ∈,对于任意的B b A a ∈∈,，则b a +一定（ D ）
A 属于.
B A ⋂ B. 属于
C C. 不属于C D. 不属于B A ⋂ 2.已知函数)(log 22a ax x y --=的值域为R,则实数a 的取值范围为(
D ) A.)0,4(- B.[)+∞,0 C.(]0,∞- D.(][)+∞⋃-∞-,04, 3.ac b =2
是c b a ,,成等比数列的( C )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不是充分又不是必要条件 4. .如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，
PA ⊥平面ABC ，则下列结论正确的是 （ D ） A. PB ⊥AD
B. 平面PAB ⊥平面PBC
C. 直线BC ∥平面PAE
D. 直线EF ∥平面PAD
【解析】因为AD 与PB 在平面ABC 内的射影AB 不垂直，所以A 答案不正确.
过点A 作PB 的垂线，垂足为H ，若平面PAB ⊥平面PBC ，则AH ⊥平面PBC ，所以AH ⊥BC.
又PA ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，则BC ⊥AB ，这与底面是正六边形不符，所以B 答案不正确.
若直线BC ∥平面PAE ，则BC ∥AE ，但BC 与AE 相交，所以C 答案不正确.故选D.
5.已知,0cos sin 33<+x x 则函数x x y cos sin +=的值域为( D ) A.),3()0,3(+∞⋃- B.)0,3(- C.),3(+∞ D.[)
0,2- 6．已知某几何体的三视图如下，则该几何体的表面积是（ B ）
A. 24
B. 36＋
C. 36
D. 36＋
【解析】该几何体在四棱锥P －ABCD ，其中底面ABCD
是矩形，PA ⊥底面ABCD ，且AD ＝4，AB ＝3，PA ＝4，如图. 易得各侧面都为直角三角形，计算得，其表面积为36＋ 故选B.
7.不等式)13(log )152(log 2
122
1+>--x x x 的解集为( C )
P
A
B
C
D
正视
侧视
俯
视 4 4
3
A.)7,4(-
B.)3,4(--
C.)7,5()3,4(⋃--
D.)5,4(-
8．设l m n 、、表示不同的直线，αβγ、、表示不同的平面，给出下列4个命题： ①若//m l ，且m α⊥，则l α⊥； ②若//m l ，且m ∥α，则//l α；
③若,,l m n αββγγα=== ，则////l m n ；
④若,,m l n αββγαγ=== ，且//n β，则//m l . 其中正确命题的个数是 （ B ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【解析】易知命题①正确；在命题②的条件下，直线l 可能在平面α内，故命题为假；在命题③的条件下，三条直线可以相交于一点，故命题为假；在命题④中，由n αγ= 知，α⊂n 且γ⊂n ，由α⊂n
及n ∥β，m αβ= ，得n ∥m ，同理n ∥l ，故m ∥l ，命题④正确，
故选B. 9.
9.如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，OD ＝3，
点P 为△BCD 内（含边界）的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈
则αβ+的最大值等于 （ B ） A ．
14 B ．43
C ． 1
3 D ． 1
【解析】以O 为原点，以OD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设点P （x ，y ），则
(,)(0,1)(3,0)(3,)x y =α+β=βα，所以3,,3
x
x y y =β=αα+β=+
. 设3x z y =
+，根据可行域知，当点P 为点B 时，z α+β=最大，其最大值为4
3
，故选B.
10.已知三棱锥ABC S -的底面是正三角形，点A 在侧面SBC 上的射影H 是SBC ∆的垂心，
,a SA =则此三棱锥体积的最大值是（ D ）
A.363a
B.33
2a C.33a D.63a
解析: ABC S -的三对棱互相垂直,点S 在平面ABC 上的射影必为三角形ABC 的垂心,则
SA=SB=SC,当SA,SB,SC 两两垂直时有体积最大选D 二、填空题
11. 设122010,,,a a a ⋅⋅⋅都为正数，且1220101a a a ++⋅⋅⋅+=，
则22
20102
22010
222a a a a a a ++⋅⋅⋅+
+++211的最小值是14021. 【解析】由柯西不等式，得
222
222201012
122010
()[(]222a a a a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++ D
2
122010()1a a a ≥++⋅⋅⋅+=，所以
222
2010121220101
2224021
a a a a a a ++⋅⋅⋅+≥+++.
12. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3
100
(12)S x dx =+⎰
，2018S =，则30S ＝ 21 .
【解析】因为3231000
(12)()|12S x dx x x =
+=+=⎰
，又2018,S =且{}n a 为等比数列，
又1020103020,,S S S S S --也成等比数列，即3012,6,18S -成等比数列，则
3030
183,21
S S -==
13. .已知一个空间几何体的三视图如下图所示， 则这个几何体的体积是 8π .
【解析】由三视图可知，该空间几何体是一个圆柱内挖去 一个圆锥所得.其中圆柱和圆锥的底半径为2，高为3. 所以2
2
123238.3
V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥
14. 2018年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°
，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为 30 米 . 【解析】设旗杆高为h 米，最后一排为点A ， 第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则
sin 60h BC =
=
. 在△ABC
中，AB =CAB ＝45°，∠ABC=118°，
所以∠ACB ＝30°，
3sin 45=
，故30h =.
15. 设直角三角形的两直角边的长分别为,a b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有
a b c h +<+ 成立，某同学通过类比得到如下四个结论： ①2222a b c h +>+；②3333a b c h +<+；③ 4444a b c h +>+；④5555a b c h +<+.
其中正确结论的序号是 ② ④ ；进一步类比得到的一般结论是n n n n ()a b c h n N *
+<+∈.
【解析】在直角三角形ABC 中，sin ,cos ,a c A b c A ab ch ===，所以sin cos h c A A =. 于是(sin cos ),(1sin cos )n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a b c A A c h c A A +=++=+.
(sin cos 1sin cos )(sin 1)(1cos )0
n n n n n n n n n n n n a b c h c A A A A c A A +--=+--=--<.
所以n n n n ()a b c h n N *
+<+∈.
侧视图
俯视图
旗杆
三、解答题
16. 在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E B BC CC 1142== D,F,G 分别为11111,,C A C B CC 的中点，
（1） 求证：ABD D B 平面⊥1； （2） 求证：平面EFG//平面ABD ； 解：（1）由直三棱锥的性质得
BC AB C C BB ABC ⊥⊥,11平面平面
D
B AB
C C BB
D B C C BB AB 111111,⊥∴⊂⊥∴平面平面由已知010*******,452=∠=∠=∠⇒====BDB BDC DC B BC DC D C C B
即ABD D B B BD AB BD D B 平面⊥⇒=⊥11,
(2)因为F EB E B F B 1111∆⇒==为等腰直角三角形0
1145=∠=∠⇒BD B EF B
ABD EF ABD
BD BD
EF 平面平面////⇒⎩⎨
⎧⊂① 因为FG 分别为1111,C A C B 的中点⎩
⎨
⎧⊂⇒ABD AB AB GF B A AB B A GF 平面,//////111
1 ABD GF 平面//∴②
由①②及EF 、GF 均在平面EFG 内且ABD EFG F GF EF 平面平面//⇒=
17. 设△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，且
3
sin sin 4
A C =
. （Ⅰ）求角B 的大小；
C 1B 1
A
D
C
A
（Ⅱ）若[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域.
【解】（Ⅰ）因为a 、b 、c 成等比数列，则2
b a
c =.由正弦定理得2
sin sin sin B A C =. 又3sin sin 4A C =
，所以2
3sin 4B =.因为sinB ＞0
，则sin B =. （4分）
因为B ∈(0，π)，所以B ＝
3
π或23π. （5分）
又2
b a
c =，则a b ≤或b c ≤，即b 不是△ABC 的最大边，故3
B =
π
.（6分） （Ⅱ）因为3
B =
π
，则()s i n ()s i n
s i n c o s c o s s i n
s i n
333
f x x x x x x πππ
=-+=-+
3sin )226
x x x π
=-=-. （9分） [0,)x π∈，则56
6
6x π
π
π-
≤-
<
，所以1
sin()[,1]62
x π-∈-. （11分） 故函数()f x
的值域是[2
-. （12分）
18. 在四棱锥P ABCD -中，90ABC ACD ∠=∠=︒，
60BAC CAD ∠=∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，22PA AB ==．
(Ⅰ) 求二面角E AC D --的大小；
(Ⅱ)．求BC 与平面ACE 所成的角的正弦值； 【解】（Ⅰ）取AD 的中点M ，连结EM ，则//EM PA ，
所以EM ⊥平面ACD .
过M 作MQ AC ⊥于Q ，连接EQ ，
则EQM ∠为二面角E AC D --的平面角. （3分） 因为M 为AD 的中点，MQ AC ⊥，CD AC ⊥，则1
2
MQ CD =
=（4分） 又112EM PA =
=，所以tan EM EQM MQ ∠===30EQM ∠=︒. 故二面角E AC D --的大小为30︒. （6分）
（Ⅱ）设点B 到平面ACE 的距离为h ，
1,2
3
,2,2,2==
===∆∆EM S S EQ AC ABC ACE 4
3
=
⇒=--h V V ABC E ACE B ，记直线BC 与平面ACE 所成的角为θ P
A
B
C
D
E
4
1sin ==
∴BC h θ 所以BC 与平面ACE 所成的角的正弦值为
4
1 解法二：以A 为坐标原点AD,AP 分别为y ，z 轴，建立坐标系如右图
则)2,0,0(),0,4,0(),0,0,0(P D A ),0,1,3(C
)0,2
1,23(
),1,2,0(-B E （1）设平面ACE 的法向量),,(z y x n =
)1,2,0(),0,1,3(==AE AC
⎪⎩⎪⎨
⎧⎩⎨⎧=+=+⇒=⋅=⋅02030
0z y y x 取)32,3,,1(-= 平面ACD 的法向量)1,0,0(=m 记二面角E AC D --为α
2
3
432cos =
=
=
∴α 二面角E AC D --的大小为0
30 （2）)0,2
3
,23(
=BC 记BC 与平面ACE 所成的角为θ则
4
1sin =
=
θ 所以BC 与平面ACE 所成的角的正弦值为41
19. 已知数列{}n a 满足，11a =，111
(1)n n a a n
n
+=++(n ∈N *). （I ）设n
n a b n
=
，求数列{}n b 的通项公式； （II ）若对任意给定的正整数m ，使得不等式a n ＋t ≥2m (n ∈N *)成立的所有n 中的最小值为
m ＋2，求实数t 的取值范围. 【解】因为111(1)n n a a n
n +=++，则111(1)n n a a n n n n +=+++，即11(1)
n n b b n n +=++. （2分）
所以111
1
n n b b n n +-=
-+.又111b a ==，所以 121321111111
()()()1(1)()()22231n n n b b b b b b b b n n n
-=+-+-++-=+-+-++-=-
- .
故数列{}n b 的通项公式是1
2n b n
=-
. （6分）
（II ）因为
1
2n n a b n n
==-，则21n a n =-. （7分） 由a n ＋t ≥2m ，得2n －1＋t ≥2m ，即12
t
n m -≥+. （8分）
据题意，区间1[,)2t m -++∞内的最小正整数为m ＋2，则1122
t
m m m -+<+≤+， 即1122
t
-<≤，所以－3≤t ＜－1. 故实数t 的取值范围是[－3，－1). （12分）
20. 如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、
左视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，左视图为直角三角形，尺寸如图)
（1） 证明：PEC BD 面//
（2） 若G 为BC 上的动点，求证：PG AE ⊥ （3）求几何体PEABCD 的体积；
解：分别以BC,BA,BE 所在的直线为x ，y ，z 轴，B 为坐标原点建立坐标系；PC 的中点F 则)0,4,0()0,4,4(),0,0,4(),0,0,0(A D C B
)22,2,2(),24,4,0(),22,0,0(F P E
P
D
C
A
俯视图
4
左视图
主视图
442
4
（1）)0,2,2(),0,4,4(==
EF BD 2=,PEC BD 平面⊄
PEC BD 平面//∴
（2）设)0,0,(x G 则)22,4,0(),24,4,(-=--=x
AE PG AE PG ⊥⇒=-+=⋅016160
（3）3
2
8044222131244431=
⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+=--BEC P ABCD P PEABCD V V V
21. 对于定义在区间D 上的函数()f x ，若存在闭区间[,]a b D ⊆和常数c ，使得对任意1[,]x a b ∈，都有1()f x c =，且对任意2x ∈D ，当2[,]x a b ∉时，2()f x c >恒成立，则称函数()f x 为区间D 上的“平底型”函数.
（Ⅰ）判断函数1()|1||2|f x x x =-+-和2()|2|f x x x =+-是否为R 上的“平底型”函数？
并说明理由；
（Ⅱ）设()f x 是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k 为非零常数，若不等式||||||()t k t k k f x -++≥⋅
对一切t ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围；
（Ⅲ）若函数()g x mx =+是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数，求m 和n 的
值.
【解】（1）对于函数1()|1||2|f x x x =-+-，当[1,2]x ∈时，1()1f x =.
当1x <或2x >时，1()|(1)(2)|1f x x x >---=恒成立，故1()f x 是“平底型”函数.（2分）
对于函数2()|2|f x x x =+-，当(,2]x ∈-∞
时，2()2f x =；当(2,)x ∈+∞时，2()222
f x x =->,所以不存在闭区间[,]a b ，使当[,]x a b ∉时，()2f x >恒成立. 故2()f x 不是“平底型”函数. （4分）
（Ⅱ）若||||||()t k t k k f x -
++≥⋅对一切t ∈R 恒成立，则m i n (||||
)||()t k t k k f x -++≥
⋅.
因为min (||||)2||t k t k k -++=，所以2||||()k k f x ≥⋅.又0≠k ，则()2f x ≤. （6分）
因为()|1||2|f x x x =-+-，则|1||2|2x x -+-≤，解得1522
x ≤≤. 故实数x 的范围是15
[,]22
. （8分）
（Ⅲ）因为函数()g x mx =[2,)-+∞上的“平底型”函数，则
存在区间[,]a b [2,)⊆-+∞和常数c
，使得mx c =恒成立.
所以222()x x n mx c ++=-恒成立，即22122m mc c n
⎧=⎪
-=⎨⎪=⎩.解得111m c n =⎧⎪=-⎨⎪=⎩或1
11m c n =-⎧⎪=⎨⎪=⎩. （10分）
当1
11m c n =⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
时，()|1|g x x x =++. 当[2,1]x ∈--时，()1g x =-，当(1,)x ∈-+∞时，()211g x x =+>-恒成立. 此时，()g x 是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数. （11分）
当111m c n =-⎧⎪
=⎨⎪=⎩
时，()|1|g x x x =-++. 当[2,1]x ∈--时，()211g x x =--≥，当(1,)x ∈-+∞时，()1g x =. 此时，()g x 不是区间[2,)-+∞上的“平底型”函数. （12分） 综上分析，m ＝1，n ＝1为所求. （14分）。