山东省泰安市新泰第五中学高二数学文月考试题含解析

山东省泰安市新泰第五中学高二数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的零点所在区间为（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
C
2. 把化为十进制数为（）
A．20B．12
C．10D．11
参考答案：
C
3.
参考答案：
A
4. 已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列结论一定成立的是（）
A．a2＜b2 B．a3＜b3 C．＞D．ac2＜bc2
参考答案：
B
【考点】不等式的基本性质．
【专题】转化思想；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】A．取a=﹣3，b=﹣2，即可判断出正误；
B．令f（x）=x3，（x∈R），利用导数研究其单调性即可判断出正误
C．取a=﹣2，b=1，即可判断出正误；
D．取c=0，即可判断出正误．
【解答】解：A．取a=﹣3，b=﹣2，不成立；
B．令f（x）=x3，（x∈R），f′（x）=3x2≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，又a＜b，∴a3＜b3，因此正确；
C．取a=﹣2，b=1，不正确；
D．取c=0，不正确．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5. 若方程表示双曲线，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
6. 用数学归纳法证明：“”．从“到”左端需增乘的代数式为（）
A. B．
C．D．
参考答案：
B
7. 不等式组的区域面积是( )
A B C
D
参考答案：
D
略
8. 下列各组函数是同一函数的是（）
①与，②与，
③，④与
A．①③ B．②③ C．②④
D．①④
参考答案：
C
9. 设，则的解集为（）
A． B． C． D．参考答案：
B
10. 圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
C
分析】
根据圆的标准方程的形式写.
【详解】圆心为，半径为2的圆的标准方程是. 故选C.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，故选C.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．
参考答案：
（x﹣1）2+y2=2
【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．
【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．
【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，
∴m=1时，圆的半径最大为，
∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．
故答案为：（x﹣1）2+y2=2．
12. 小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是。

参考答案：
4/9
略
13. 若是边长为的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别为，
若，则满足条件的点有两个，分别设为，则之间的距离为。

参考答案：。

解析：设，由余弦定理得。

一方面，，另一方面，，解得。

同理可得。

从而有。

当时，有最大值，且最大值为，所以。

由于，所以。

设两个根分别为，则。

14. 若关于的不等式(R)的解集为，则的取值范围是．
参考答案：
15. 已知圆锥的底面半径为，高为
，则圆锥的侧面积是
．
参考答案：
16. 曲线y=x 3+x 在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．
参考答案：
考点：导数的几何意义；直线的点斜式方程．
专题：计算题．
分析：先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．
解答：解：∵y=x3+x，∴y'=x2+1∴f'（1）=2
在点（1，）处的切线为：y=2x﹣与坐标轴的交点为：（0，），（，0）
S=，故答案为：．
点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率．属基础题．
17. 若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，则实数m的值为．
参考答案：
1
【考点】复数的基本概念．
【分析】根据复数的概念进行求解即可．
【解答】解：若复数z=（m2﹣m）+mi是纯虚数，
则，
即，
即m=1，
故答案为：1
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）当时，，记函数在上的最大值为m，证明：.
参考答案：
（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.
【分析】
（1）利用导数求函数的单调性即可；
（2）对求导，得，因为，所以，令，
求导得在上单调递增，，使得，进而得在上单调递增，在上单调递减；所以，令，求导得在上单调递增，进而求得m的范围.
【详解】（1）因为，所以，当时，；当时，，
故的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）当时，，
则，
当时，，令，
则，所以在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，即，即.
故当时，，此时；
当时，，此时.
即在上单调递增，在上单调递减.
则.
令，，则. 所以在上单调递增，所以，.
故成立.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.
19. （本小题满分10分）
在△中，角所对的边分别为，已知，，．
(1)求的值；(2)求的值．
参考答案：
解：由余弦定理得：，
得，．
（2）由余弦定理，得
∵是的内角，∴．
20. （本小题满分12分）抛物线的焦点为F，在抛物线
上，且存在实数λ，使0，．
（Ⅰ）求直线AB的方程；
（Ⅱ）求△AOB的外接圆的方程。

参考答案：
解：（1）抛物线的准线方程为．
∵，∴A，B，F三点共线．由抛物线的定义，得||=…1分
设直线AB：，而
由得．………………2分
∴||== ．∴．……4分
从而，故直线AB的方程为，即………6分
（2）由求得A（4，4），B（，－1）………………8分
设△AOB的外接圆方程为，则
解得…………11分
故△AOB的外接圆的方程为．………12分
略
21. 已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．
参考答案：
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切线方程建立方程关系，求出b，c，d，即可求函数f （x）的解析式；
（2）求函数的导数，即可求函数f（x）在定义域上的单调性．
【解答】解：（1）由f（x）的图象经过P（0，2），知d=2，
所以f（x）=x3+bx2+cx+2，则f'（x）=3x2+2bx+c．
由在M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程是6x﹣y+7=0，
知﹣6﹣f（﹣1）+7=0，
即f（﹣1）=1，f'（﹣1）=6
∴，即，
解得b=c=﹣3，
故所求的解析式是f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．
（2）∵f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2．
∴f′（x）=3x2﹣6x﹣3=3（x2﹣2x﹣1）．
由f′（x）=3（x2﹣2x﹣1）＞0，
解得x＞1+或x＜1﹣，此时函数单调递增，
由f′（x）=3（x2﹣2x﹣1）＜0，
解得1﹣＜x＜1+，此时函数单调递减，
即函数的单调递减区间为为（1﹣，1+），
函数的单调递增区间为为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞）．
22. （本小题满分12分）平面内给定三个向量a＝（3，2），b＝（-1，2），c=（4，1）.（1）求满足a=mb+nc的实数m,n；
（2）若（a+kc）∥(2b-a)，求实数k；
参考答案：
（1）因为a=mb+nc,
所以（3，2）＝（-m+4n,2m+n）,
所以………………6分
（2）因为（a+kc）∥(2b-a),
又a+ k c=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
所以2（3+4k）+5（2+k）＝0，即k=-.………………12分。