2017-2018版高中数学第三章指数函数和对数函数习题课对数函数学案北师大版必修1

习题课 对数函数
学习目标 1.巩固和深化对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图像变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．
知识点一 对数概念及其运算 1．由指数式对数式互化可得恒等式：
⎭
⎪⎬⎪
⎫a b ＝N
log a N ＝b ⇒a log a N ＝________(a >0，且a ≠1)． 2．对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即N ________0. (2)log a 1＝________. (3)log a a ＝________. 3．运算公式
已知a >0，且a ≠1，M 、N >0. (1)log a M ＋log a N ＝____________. (2)log a M －log a N ＝____________. (3)log an M m
＝________log a M .
(4)log a M ＝log c M log c a ＝1
log Ma (c >0，且c ≠1)．
知识点二 对数函数及其图像、性质
函数________________________叫作对数函数．
(1)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为____________；值域为________． (2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像过点________． (3)当a >1时，y ＝log a x 是(0，＋∞)上的增函数． 当0<a <1时，y ＝log a x 是(0，＋∞)上的减函数．
(4)直线y ＝1与函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像交点为________． (5)y ＝log a x 与y ＝a x
的图像关于__________对称．
y ＝log a x 与1log a
y x =的图像关于________对称．
类型一 对数式的化简与求值 例1 (1)计算：log (2＋3)
(2－3)；
(2)已知2lg
x －y
2
＝lg x ＋lg y ，求log (3－2
2)
x y
.
反思与感悟 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化． 跟踪训练1 (1)
lg 3
2
－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1 000
lg 0.3·lg 1.2
＝____________.
(2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2
)＋f (b 2
)＝________.
类型二 对数函数图像的应用
例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
|ln x |，0<x ≤e，
2－ln x ，x >e ，
若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，
求abc 的取值范围．
反思与感悟 函数的图像直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题大都可以通过函数的图像解决，即利用数形结合思想，使问题简单化． 跟踪训练2 已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[1
3，2]都有|f (x )|≤1
成立，试求a 的取值范围．
类型三 对数函数的综合应用
例3 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图像上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图像上． (1)写出函数g (x )的解析式；
(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．
跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是(－1,1)，对于任意的x ，y ∈(－1,1)，有f (x )＋f (y )＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋y 1＋xy ，且当x ＜0时，f (x )＞0.
(1)验证函数g (x )＝ln 1－x
1＋x
，x ∈(－1,1)是否满足上述这些条件；
(2)你发现这样的函数f (x )还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明．
1．若log x 7
y ＝z ，则( ) A ．y 7
＝x z
B ．y ＝x 7z
C ．y ＝7x z
D ．y ＝z 7x
2．当0<x ≤12时，4x
<log a x ，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，
22 B.⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，1 C ．(1，2)
D ．(2，2)
3．已知函数y ＝f (2x
)的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1
2
，2] C ．[1,2] D ．[2，4]
4．函数f (x )＝a x
＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( ) A.14 B.1
2 C ．2 D ．4 5．已知2
3
4
(0),9a a =
>则23
log a ＝________.
1．指数式a b
＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键． 2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．
3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n
＝n m ·log a b ，log a b ＝1log b a
在解题中的灵活
应用．
4．在运用性质log a M n
＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n
＝
n log a |M |(n ∈N ＋，且n 为偶数)．
5．指数函数y ＝a x
(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图像和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．
6．明确函数图像的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图像．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图像．
答案精析
知识梳理 知识点一 1．N
2．(1)> (2)0 (3)1
3．(1)log a (MN ) (2)log a M N (3)m n
知识点二
y ＝log a x (a >0，且a ≠1) (1)(0，＋∞)
R (2)(1,0) (4)(a,1) (5)y ＝x
x 轴
题型探究
例1 解 (1)方法一 (利用对数定义求值) 设log (2＋
3)
(2－3)＝x ，
则(2＋3)x
＝2－3＝12＋3
＝(2＋3)－1
， ∴x ＝－1.
方法二 (利用对数的运算性质求解) log (2＋
3)
(2－3)＝log (2＋
3)
1
2＋3
＝log (2＋3)
(2＋3)－1
＝－1.
(2)由已知得lg(x －y
2
)2
＝lg xy ，
∴(
x －y
2
)2＝xy ，即x 2
－6xy ＋y 2
＝0.
∴(x y )2
－6(x y
)＋1＝0. ∴x y
＝3±2 2.
∵⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＞0，x ＞0，y ＞0，
∴x y
＞1，∴x y
＝3＋22， ∴log (3－22)
x
y
＝log (3－22)
(3＋22)
＝log (3－22)
1
3－22
＝－1.
跟踪训练1 (1)－3
2 (2)2
解析 (1)∵lg 3
2
－lg 9＋1
＝
lg 3
2
－2lg 3＋1
＝1－lg 3，
lg 27＋lg 8－lg 1 000 ＝32lg 3＋3lg 2－32 ＝3
2(lg 3－1)＋3lg 2 ＝3
2(lg 3＋2lg 2－1)， lg 0.3·lg 1.2＝lg 310·lg 12
10
＝(lg 3－1)(lg 12－1) ＝(lg 3－1)(lg 3＋2lg 2－1)， ∴原式＝－3
2
.
(2)∵f (ab )＝lg(ab )＝1.
∴f (a 2
)＋f (b 2
)＝lg a 2
＋lg b 2
＝lg(a 2b 2
)＝2lg(ab )＝2. 例2 解 f (x )的图像如图：
设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ， 不妨设a <b <c ，
则直线y ＝m 与f (x )交点横坐标从左到右依次为a ，b ，c ， 由图像易知0<a <1<b <e<c <e 2
， ∴f (a )＝|ln a |＝－ln a ，
f (b )＝|ln b |＝ln b .
∴－ln a ＝ln b ，ln a ＋ln b ＝0， ln ab ＝ln 1，∴ab ＝1. ∴abc ＝c ∈(e，e 2
)．
跟踪训练2 解 ∵f (x )＝log a x ， 则y ＝|f (x )|的图像如图．
由图示，要使x ∈[1
3，2]时恒有|f (x )|≤1，
只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 1
3
≤1，
即log a a －1≤log a 13≤log a a ，亦当a ＞1时，得a －1
≤13≤a ，即a ≥3；
当0＜a ＜1时，a －1
≥13≥a ，
得0＜a ≤1
3
.
综上所述，a 的取值范围是(0，1
3
]∪[3，＋∞)．
例3 解 (1)设P (x ，y )为g (x )图像上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点， ∵Q (－x ，－y )在f (x )的图像上， ∴－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝g (x )＝－log a (1－x )． (2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a
x ＋1
1－x
≥m . 设F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a (－1＋2
1－x )，x ∈[0,1)，
由题意知，只要F (x )min ≥m 即可． ∵F (x )在[0,1)上是增函数， ∴F (x )min ＝F (0)＝0. 故m ≤0即为所求．
跟踪训练3 解 (1)因为g (x )＋g (y )＝ln 1－x 1＋x ＋ln 1－y
1＋y
＝ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫1－x 1＋x ·1－y 1＋y ＝ln 1－x －y ＋xy 1＋x ＋y ＋xy ，
g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝ln 1－
x ＋y 1＋xy 1＋
x ＋y 1＋xy
＝ln 1－x －y ＋xy 1＋x ＋y ＋xy ，
所以g (x )＋g (y )＝g ⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立．
又当x ＜0时，1－x ＞1＋x ＞0， 所以1－x 1＋x
＞1，
所以g (x )＝ln 1－x
1＋x ＞0成立，
综上g (x )＝ln 1－x
1＋x
满足这些条件．
(2)发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是奇函数． 将x ＝y ＝0代入条件， 得f (0)＋f (0)＝f (0)， 所以f (0)＝0.
将y ＝－x 代入条件得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0⇒f (－x )＝－f (x )， 所以函数f (x )在(－1,1)上是奇函数． 又发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是减函数． 因为f (x )－f (y )＝f (x )＋f (－y ) ＝f ⎝
⎛⎭
⎪⎫x －y 1－xy ，
当－1＜x ＜y ＜1时，x －y 1－xy ＜0，由条件知f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －y 1－xy ＞0，
即f (x )－f (y )＞0⇒f (x )＞f (y )， 所以函数f (x )在(－1,1)上是减函数． 当堂训练
1．B 2.B 3.D 4.B 5．3
解析 设23
log a ＝x ，则a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x
，
又2
3
4,9a =∴⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 23
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232，即⎝ ⎛⎭⎪⎫232
3x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232，
∴2
3
x ＝2，解得x ＝3.。